メモ\(\varepsilon \delta \)論法自体は極限を論理記号、数字、関数を用いて証明するために利用される 収束の場合は「はさみうちの原理」を論理的に考える際に役立つ 鶏が先か卵が先かの話で言えば、最初から極限値が分かっている場合、この場合、鶏が先なので卵の方を考えることになる \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <{ a }_{ n }<\alpha +\varepsilon \quad )\) \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =0\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) 下図は動作イメージ。青色のグラフが \(\frac { 1 }{ n } \)。赤色が \(\varepsilon\) と \(\delta\) 。緑色が \({ a }_{ n }\) と \(n\) 。赤と緑のグラフのy軸は最終的に0に限りなく近くなる \( \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } +3=3\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| \frac { 1 }{ n } +3-3 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 3-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } +3<3+\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) \(\lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad ((a-\delta <x<a+\delta \quad \wedge \quad x≠a)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad ) ) \) \(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1 }{ x } } +2=3\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-1 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \frac { 1 }{ x } +2-3 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad ((1-\delta <x<1+\delta \quad \wedge \quad x≠1)\quad \Rightarrow \quad 1-\varepsilon <\frac { 1 }{ x } <1+\varepsilon \quad ) ) \) 補足 |