イプシロンデルタ_メモ3

結局、\(\varepsilon\)と\(\delta\)は何を意味しているのか？

結局、\(\varepsilon\)と\(\delta\)は何を意味しているのだろう？ ここで関数の極限を見直して考えてみる

\(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad ) \)

資料：数学記号の表

「 \(\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\) 」の部分に注目してみる

この部分を日本語に翻訳すると、「任意の正の数\(\varepsilon\)が与えられたとき、その\(\varepsilon\)に対応して・・・が成り立つ正の数\(\delta\)を見つけることが出来る。」となる
注意するのは、この「\(\forall\) (全称限量記号 forall)」と「\(\exists\) (存在限量記号 exists)」という論理記号が集合を指しているという点と、この「対応して」という部分

「任意の正の数\(\varepsilon\)」とは集合を表している
0でない0より大きい値の数すべて、そのような集合が\(\varepsilon\)だと言う

続く対応という部分。数学で使う「対応」という単語は日常で使う同じ単語と意味が異なる

資料：対応 (数学)

多価関数は入出力に集合を扱う関数みたいなものだと言える（C#のコレクションとLINQとの関係みたいなもの）
これはつまり、\(g:\varepsilon \rightarrow \delta \) となるような、0でない0より大きい\(\delta\)があると言っている
この\(g\)という関数（写像）は論理式内で定義されていないので自分で探す（作る）必要がある

\(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表す変数である（しかし、決して0にはならない）
では\(\delta\)は？

関数の極限の収束を考えた場合、\(\left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon\) なので\(\varepsilon\) を基準に \(\delta\) の値を作ると考えると \(f\left( b\pm \delta \right) \simeq \pm \varepsilon\) として \(g\left( \alpha \pm \varepsilon \right) \simeq \pm \delta\)のような逆関数\(g\)の近似を作れば良いと考えられる

表現したい極限が収束の場合、この\(\varepsilon \delta\) で \(x\) と \(f(x)\)を包囲、挟み撃ちしてしまう訳だ

ここで、\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いか？例えば放物線を描く関数　\(y=f(x)={x}^{2}\) の一点を \(x=p\) と定めた時、対応する\(y\)の値は \({p}^{2}\) となる。即ち座標 \((p ,{ p }^{ 2 })\) となり、この \(p\) に \(\varepsilon >0,\delta >0\) である事を注意しながら \(b + \delta\) を代入すると \({ \left( b +\delta \right) }^{ 2 }=\alpha + \varepsilon \) の関係が成り立つ。この式を \(\delta\) に対して解くと

\({ \left( b+\delta \right) }^{ 2 }=\alpha +\varepsilon \quad \rightarrow \quad b+\delta =\sqrt { \alpha +\varepsilon } \quad \rightarrow \quad \delta =\sqrt { \alpha +\varepsilon } -b \) となる

ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\left( x \right) =4 }\)として\(\varepsilon\delta\)論法に当てはめると \(\lim _{ x\rightarrow b }{ f\left( x \right) =\alpha } \) より\(b=2,\alpha=4\)となり、\(\delta =\sqrt { 4+\varepsilon } -2 \)となる

εδ論法の根拠

極限の収束を一台の車と例えるならば、この機関は無限に小さくなっていく\(\varepsilon\)をガソリンにして走る。この車が壊れずに半永久的に走り続けるために、その構造には保証が必要となる
その構造的根拠は数学的帰納で保証されている（微積分と物理​/数学的帰納）。数学的帰納は以下の論理式で定義されている

自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して
\( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \mathbb{N})\quad (p(k)\Rightarrow p(k+1))\quad )\quad )\quad \Rightarrow \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n))\quad )\)
が成り立つ

1. 数列の初期値(この場合\(n=1\))が関数\(P(1)\)で成り立つ事を示している
2. 任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す。これは離散的に連続するすべての自然数を入力とした関数が同じ性質を持っている事を示している
3. 1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける

ニュートンラフソンの極限、εδの観察