ゴミ箱

ゴミ箱

2016_11_16

memo
関数を傾きで割ると何になる？

y=mx+b →　y/m=x+b/m

（もうちょっとまともな文章にする）

結局、εとδは何を意味しているのか？

結局、εとδは何を意味しているのだろう？ ここで関数の極限を見直して考えてみる

関数の極限の収束は以下の論理式になる
\(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad )\)

\(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表す変数である（しかし、決して０にはならない）
では\(\delta\)は？

\(関数の極限の収束を考えた場合、\left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon なので\varepsilon を基準に\delta の値を作ると考えるとf\left( b\pm \delta \right) \simeq \pm \varepsilon としてg\left( \alpha \pm \varepsilon \right) \simeq \pm \delta のような逆関数の近似を作れば良いと考えられる\)
\(この\varepsilon \delta でxとf\left( x \right) を包囲、挟み撃ちしてしまう訳だが、必ずしも\delta が\varepsilon の逆関数である必要はない\)
\(ここで論理式に注目すると\deltaは「\exists \delta >0」と指定されている。「\exists（ターンイー）」は存在量化子と呼ばれる論理記号で日本語では「適当な値が存在する」と訳される。この場合、「0より大きな適当な値 \delta」 が存在するとなる\)
この場合\(\delta\)は「\(\varepsilon \delta \)の論理式の条件を満たせば極限は動く」と考え、εに対応してさえいれば\(\dot { 適 } \dot { 当 } \)（テキトー）な値で良い
\(\delta\)は条件さえ満たせば、どんな形でも良いものだという事になっている

ここで一つ疑問が出てくる。何故、逆関数であると言い切らないのだろうか？・・・「対応している」という言い回しが逆関数をあらわしているのだろうか？（調べる必要アリ）TODO

εδ論法の根拠

TODO

この極限という機関の動力は無限に小さくなっていくεをガソリンにしている。その構造的根拠は数学的帰納で保証されている（微積分と物理​/数学的帰納）。数学的帰納は以下の論理式で定義されている

自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して

\( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \mathbb{N})\quad (p(k)\Rightarrow p(k+1))\quad )\quad )\quad \Rightarrow \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n))\quad )\)

が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている

1. 数列の初期値(この場合\(n=1\))が関数\(P(1)\)で成り立つ事を示している
2. 任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す。これは離散的に連続するすべての自然数を入力とした関数が同じ性質を持っている事を示している
3. 1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける

ニュートンラフソンの極限、εδの観察

2016_12_11

微分の極限の定義

\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \)

\( \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } -f'\left( a \right) \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad f'\left( a \right) -\varepsilon <\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } <f'\left( a \right) +\varepsilon \quad )\quad )\\ \delta は \delta=\varepsilon でOK \)

2016_11_9

\(f'\left( b \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( b \right) \left( b-a \right) =f\left( b \right) -f\left( a \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( b \right) b-f'\left( b \right) a=f\left( b \right) -f\left( a \right) } \\ \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( b \right) b=f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( b \right) a } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( b \right) a }{ f'\left( b \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } -\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( b \right) } +a } \\ \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( b \right) } } \\ \\ ここで、f(a)=0との連立方程式をaに対して解くと考える（bがaに近づいていく）\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } =a-\frac { 0 }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a=b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } } \)

2016_11_8

\(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad ,\quad f'\left( x \right) =2{ x }\quad ,\quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \quad の式のbとaに適当な数字をあてはめて極限をシミュレーションしてみる\\ \\ \lim _{ 7\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 7 \right) -f\left( 3 \right) }{ 7-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 49-9 }{ 7-3 } =10>6\quad \quad \cdots bとaを徐々に近づけていく\\ \lim _{ 6\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 6 \right) -f\left( 3 \right) }{ 6-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 36-9 }{ 6-3 } =9>6\\ \lim _{ 5\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 5 \right) -f\left( 3 \right) }{ 5-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 25-9 }{ 5-3 } =8>6\\ \lim _{ 4\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 4 \right) -f\left( 3 \right) }{ 4-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 16-9 }{ 4-3 } =7>6\\ \lim _{ 3.1\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 3.1 \right) -f\left( 3 \right) }{ 3.1-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 9.61-9 }{ 3.1-3 } =6.1>6\\ \lim _{ 3\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 3 \right) -f\left( 3 \right) }{ 3-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad 計算不可、左辺に\frac { 0 }{ 0 } 型の式が出来て計算できない\frac { 9-9 }{ 3-3 } >6\)

\(\displaystyle f'\left( a \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) \left( b-a \right) =f\left( b \right) -f\left( a \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) b-f'\left( a \right) a=f\left( b \right) -f\left( a \right) } \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) b=f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( a \right) a } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( a \right) a }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( a \right) } -\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } +a } \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( a \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \)

ここで、\(f\left( b \right) =0\)との連立方程式を\(b\)に対して解くと考える

\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { 0 }{ f'\left( a \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \)

\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ }\) の極限の関係を漸化式と考え、\(b={ x }_{ n+1 }、a={ { x }_{ n } }\)、とすると

\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) となる

これをεδ論法で考えるとこうなる

TODO

ニュートンラフソンと極限の考えを接続したい

\(\lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \)

これをなんとか論理的な証明を表現したい。εδ論法の機能は以下の①②の手順を踏んでいる。これを踏襲して表現する

①無限を定義
②無限を使って収束を定義（収束はアルキメデスの原則に従う。数の大小の比較を反転させた仮定に対する否定を利用する）

（虚数の情緒P424とP450～を接続）

\(\lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a+\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } \quad =\quad b } \\ \\ \begin{cases} f\left( x \right) ={ x }^{ n } \\ f'\left( x \right) =n{ x }^{ n-1 } \end{cases}より\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a+\frac { a^{ n } }{ na^{ n-1 } } =b } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad \frac { na^{ n }+a^{ n } }{ na^{ n-1 } } =b } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad na^{ n }+a^{ n }=na^{ n-1 }b } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a^{ n }\left( n+1 \right) =na^{ n-1 }b } \\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| a^{ n }\left( n+1 \right) -na^{ n-1 }b \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad na^{ n-1 }b-\varepsilon <a^{ n }\left( n+1 \right) <na^{ n-1 }b+\varepsilon \quad )\quad )\\ \\ \begin{cases} a^{ n }=f\left( a \right) \\ na^{ n-1 }=f'\left( a \right) \end{cases}より\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( a \right) \cdot \left( n+1 \right) -f'\left( a \right) \cdot b \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad f'\left( a \right) \cdot b-\varepsilon <f\left( a \right) \cdot \left( n+1 \right) <f'\left( a \right) \cdot b+\varepsilon \quad )\quad ) \)

2016_10_21

ここではεδ論法（イプシロンデルタ論法）の仕組み。何の為にこれがあるのか？何をする為に使うのか？その機能を考察する。一番単純なケースである

\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =\alpha \) 、\(\alpha=0\)を例に考えていく。この式のεδ論法の論理式は以下になる

\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\quad \forall n\in \mathbb{N}\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad ))))\quad \)

まず、各命題の意味を機能と仕組みの観点から考えて説明する

\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =0\)　は\(n\)を無限大\(\infty\)にした際、\(\frac { 1 }{ n }\)は\(0\)に収束する事を表している
\(\alpha=0\)として考えた際、\(n\)に対応する数列\(\left| { a }_{ n } \right| \)が\(0\)を下界として単調減少する事を説明できれば収束を証明できた事になる

数列の単調減少とは、すなわち任意の\(n=1,2,3...\)において\({a}_{n-1}>{a}_{n}\)が成り立つ
数列の下界が\(0\)とは、すなわち任意の\(n=1,2,3...\)において\({a}_{n}>0\)が成り立つ

＜収束の証明手順まとめ＞

1. 数列が単調増加（単調減少）する事を証明する
2. 数列が上界（下界）を持つ事を証明する

単調減少や下界は数の大小関係で説明できる。数の大小とは「ふたつの数」が必要となる（ひとつの数では比較対象がいないので、ものの大小すら論じる事が出来ない）
\({a}_{n}\)と\(n\)という2軸上の点をなにかと比較したい時、\(\varepsilon\)と\(\delta\)という2軸上の点という比較対象が必要となる
[添付]

つまり\(\varepsilon\)と\(\delta\)は「一つ隣の点」と言える。数列で言えば\({a}_{n}\)の隣、\({a}_{n+1}\)や\({a}_{n-1}\)となりえる
これと比較すれば証明が出来る

証明

\({a}_{n}\)と\(n\)、\(\varepsilon\)と\(\delta\)は対応する関係にある

\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n } \quad ,\quad n=\frac { 1 }{ { a }_{ n } } \quad ,\quad \varepsilon =\frac { 1 }{ \delta } \quad ,\quad \delta =\frac { 1 }{ \varepsilon } \)

\(n>\delta , \exists \delta >0\)　より　\(n>\delta>0\)　となる。又、

\(\forall \varepsilon >0 , \left| { a }_{ n } \right| <\varepsilon \)　より　\(0<\left| { a }_{ n } \right| <\varepsilon\)　となる

これを踏まえて\(\varepsilon\delta\)を「一つ隣の点（unityのC#で例えればVector2型の配列で一つ隣）」と考えると

\(\varepsilon =\left\{ \varepsilon は\forall \varepsilon >0と\varepsilon =\frac { 1 }{ \delta } を満たし0を下界とする1以下の単調減少する数である \right\} =\left\{ 1,\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 3 } ,\frac { 1 }{ 4 } ... \right\} =\left\{ 限りなく0に近づき小さくなっていく数列 \right\} \)

\(\delta =\left\{ \delta は\exists \delta >0と\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon } を満たし0を下界とする単調増加する数である \right\} =\left\{ 1,2,3,4... \right\} =\left\{ 無限に大きくなっていく数列 \right\} \)

\(n=\left\{ n>\delta \right\} =\left\{ 2,3,4,5... \right\} =\left\{ \delta により下から押し上げられ無限に大きくなっていく数列 \right\} \)

\({ a }_{ n }=\left\{ \frac { 1 }{ n } \right\} =\left\{ \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 3 } ,\frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 5 } ... \right\} =\left\{ 0<\left| { a }_{ n } \right| <\varepsilon より\varepsilon で頭は押さえられ限りなく0に近づき小さくなっていく数列 \right\} \)

になります。補足：{}で括ることにより数列であることを表しています

ここで\({ a }_{ n }\)に注目すると\(0\)の下界を持ち単調減少していることが確認できます。つまり０への収束がこれで証明できた事となります

実務では\(\varepsilon=\frac { 1 }{ 100000000000000000000000000000000000000000000000000000 }\)のような任意の数（勝手な数）をいきなり入れてもかまいません
無限に近い分母の数を入れても\(\left| { a }_{ n } \right|\) は \(0<\left| { a }_{ n } \right| <\varepsilon\)になります

\(\forall n\in \mathbb{N}\)が無い場合を考える

ここまで一見、証明は出来たように見えますが実は細かい事を言うと出来ていません。何故なら\(n\)が自然数でない状況を説明できていないからです
そこで、\(n\)が正の実数の値を取る場合（\(\forall n>0\)）を考えてみます

＜原因＞
例えば\(n\)が\(\pi\)や\(\sqrt { 2 } \)等のような実数だったとします。これに対する\(\varepsilon\)や\(\delta\)は上記の証明方法の場合
表現する事が出来ません。何故なら有理数では無理数である実数を表現する事が出来ないからです

\(\sqrt { 2 } = 1.4142135623730950488016887242097... \) これは有理数で近似は表せるが、そのものズバリは出来ない
つまり二乗すると\(2\)になる有理数表現された数はない

2016_09_11

\(D=\left\{ f\cdot \sigma |\sigma \in R \right\} \\ R=\left\{ \iota ,\sigma ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \\ D=\left\{ f\cdot \iota =f,f\cdot \sigma ,f\cdot { \sigma }^{ 2 },f\cdot { \sigma }^{ 3 },f\cdot { \sigma }^{ 4 },f\cdot { \sigma }^{ 5 } \right\} \\ D=\left\{ f={ g }_{ 1 }=f\cdot { \nu }_{ 1 },f\cdot \sigma ={ g }_{ 2 }=f\cdot { \nu }_{ 2 },f\cdot { \sigma }^{ 2 }={ g }_{ 3 }=f\cdot { \nu }_{ 3 },f\cdot { \sigma }^{ 3 }={ g }_{ 4 }=f\cdot { \nu }_{ 4 },f\cdot { \sigma }^{ 4 }={ g }_{ 5 }=f\cdot { \nu }_{ 5 },f\cdot { \sigma }^{ 5 }={ g }_{ 6 }=f\cdot { \nu }_{ 6 } \right\} \quad \\ \left| D \right| も\left| R \right| も6個ずつある。違いはfを演算した後かどうか\\ そこで\\ { H }_{ j }=\left\{ \mu \in R|f\cdot \mu ={ g }_{ j } \right\} \\ \\ f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}\\ { H }_{ 1 }=\left\{ { \mu }_{ 1 }=\iota ,{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 3 } \right\} =\left\{ f\cdot { \mu }_{ 1 }=f=f\cdot { \sigma }^{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}={ g }_{ 1 }=f\cdot { \nu }_{ 1 }\quad ,\quad f\cdot { \mu }_{ 2 }=f=f\cdot { \sigma }^{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}={ g }_{ 1 }=f\cdot { \nu }_{ 1 } \right\} \\ \left| { H }_{ 1 } \right| =2\\ { H }_{ 2 }=\left\{ { \mu }_{ 1 }={ \sigma },{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 4 } \right\} =\left\{ f\cdot { \mu }_{ 1 }=f\cdot { \sigma }=f\cdot { \sigma }^{ 4 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & A & B & C & A & B \end{pmatrix}={ g }_{ 2 }=f\cdot { \nu }_{ 2 }\quad ,\quad f\cdot { \mu }_{ 2 }=f\cdot { \sigma }=f\cdot { \sigma }^{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & A & B & C & A & B \end{pmatrix}={ g }_{ 2 }=f\cdot { \nu }_{ 2 } \right\} \\ \left| { H }_{ 2 } \right| =2\\ { H }_{ 3 }=\left\{ { \mu }_{ 1 }={ \sigma }^{ 2 },{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 5 } \right\} =\left\{ f\cdot { \mu }_{ 1 }=f\cdot { \sigma }^{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 5 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ B & C & A & B & C & A \end{pmatrix}={ g }_{ 3 }=f\cdot { \nu }_{ 3 }\quad ,\quad f\cdot { \mu }_{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 5 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ B & C & A & B & C & A \end{pmatrix}={ g }_{ 3 }=f\cdot { \nu }_{ 3 } \right\} \\ \left| { H }_{ 3 } \right| =2\\ \\ 事実1:各集合{ H }_{ j }の要素の個数\left| { H }_{ j } \right| はすべて等しい。この場合k=2\\ \\ ①{ { H }_{ j }の各要素は互いに異なる。\mu }_{ 1 }\cdot { \nu }_{ 1 }≠{ \mu }_{ 2 }\cdot { \nu }_{ 1 }\rightarrow { \mu }_{ 1 }≠{ \mu }_{ 2 }\quad \quad 例:{ \nu }_{ 1 }=\iota とすると、{ \mu }_{ 1 }=\iota ,{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 3 }\quad { \mu }_{ 1 }と{ \mu }_{ 2 }が同じになることはない\\ ②gを逆置換\left( 逆関数 \right) して元のfにもどせない要素\mu \in Rは{ H }_{ j }に含まれない\\ Xは番号の集合でYは料理の集合。f:X\rightarrow Y\quad ,\quad g:X\rightarrow Y\quad ,\quad { \sigma }^{ j }\in R\quad ,\quad \mu \in R\quad \quad 以上の事から\nu \in Rにならざる得なくなる\\ { \nu の逆置換\left( 逆関数 \right) は\quad \nu }^{ -1 }:X\rightarrow X\quad ,\quad { \nu }^{ -1 }\in R\quad \left( Rは置換群として定義しているので演算が閉じている。つまり逆元はRの中に必ずある \right) \\ \\ 例:\\ { g }_{ 2 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & A & B & C & A & B \end{pmatrix}\quad ,\quad { \mu }={ \sigma }\quad \rightarrow \quad \overbrace { { \nu }^{ -1 }={ \sigma }^{ 6-1 }={ \sigma }^{ 5 } }^{ P57のやり方で逆元を求める } \quad \rightarrow \quad { { g }_{ 2 } }\cdot { \nu }^{ -1 }=f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}=f\cdot { \mu }\cdot { \nu }^{ -1 }\quad \\ \\ \\ \\ ①と②は全てのパターンが漏れなく対応し異なる事を保証している（つまり数え上げの「組み合わせ」になっている） \)

2016_08_29

この6皿に対し料理の種類が2種であれば順列的に「二次の対称群S」、\(2×2×2×2×2×2={ 2 }^{ 6 }=64\)通りの対称性を持った置換が作られる
3種なら\(3×3×3×3×3×3={ 3 }^{ 6 }=729\)通りの対称性を持った置換（確率などでよく使う順列にちょっと近づいてきた・・・。つまり順列は対称群？）

集合の観点で見ると、「 置換群R\(\subseteq\) 対称群S 」となっている。RはSの部分集合の関係にある

2016_08_20

このオイラーの定理の式はユークリッドの互除法や素因数分解に繋がりがあると考えられる。つまり最小非負剰余が１になるイコール（資料：書籍「なっとくする群環体」P36～P37が関係している）・・・

\(p+r\equiv q+1\quad (mod\quad m)\quad という仮説を立てた\\ C(r)\equiv C(1)\\ C(r),C(1)\in { \mathbb{Z} }_{ m }\\ \)
rが0になることはp,qが互いに素となる？・・・（P37）
　・・・考え中（否、余計なことは考えずに読み進めるべき）

2016_06_09

シグマの等比を一つずらしたものと元のものを引き算して数列同士を打ち消し合い式をシンプルにする

\(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \)
\(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \)
\(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \)
\(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \)

これにより初項と末項のみが残る状態になり、両辺を\((1-r)\)で割るだけで式はシンプルになる

2016_06_03

無限級数の検証

あらゆる場面で登場する無限級数の基本的な仕組みを理解することは重要と考えられる。たとえば確率において、無限回数の試行から得られる期待値の算出等にも利用される。微積分（シグマなどの総和）と組んで扱う以上その応用範囲は広い。ここで、等比数列から等比数列の総和、無限級数に至るその仕組みを再検証し「無限級数」を道具として手に入れる事を目的としてみる

資料：等比数列

等比数列

\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad 公比数列:{ a }_{ n }\quad ,\quad 初項:{ a }_{ 1 }\quad ,\quad 公比:r\quad ,\quad 項数:n\)

等比数列の例

\(初項:{ a }_{ 1 }=1\quad ,\quad 公比:r=\frac { 1 }{ 4 } \quad ,\quad 項数:n=5\quad の場合\\ { a }_{ n }\quad =\quad 1\cdot { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n-1 }\quad =\quad \left\{ 1,\frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 16 } ,\frac { 1 }{ 64 } ,\frac { 1 }{ 256 } \right\} \)

0乗はどんな数字でも１になる。{}で囲んだカンマで区切られた数字は数列を表す

等差数列の和

\(\displaystyle{ S }_{ n }=\frac { n\left( { a }+l \right) }{ 2 } \quad \quad \quad \quad \quad （n:総項数\quad { a }:初項\quad l:末項）\)

尚、末項の \(l\) を \({ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d \) とした時、\(\displaystyle{ S }_{ n }=\frac { n\left( { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d \right) }{ 2 } \quad \rightarrow \quad { S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } \left\{ 2{ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d \right\} \) となる

等差数列の総和の計算例

\(1\)から\(10\)までの総和
初項:\(1\)、末項:\(10\)、公差:\(1\)、項数:\(10\)。 式は\(\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 }\) より \(\frac { 10\cdot (1+10) }{ 2 } =55\) となる

等差数列、\({ a }_{ n }=3+(n-1)\cdot 5\) の15項までの総和は \(\frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right)\) より \(\frac { 15 }{ 2 } \left( 2\cdot 3+(15-1)\cdot 5 \right) =570\quad \)となる

等差数列の総和の仕組みをシグマで考えると...

\(\displaystyle \quad 2\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ n } } =n\left\{ 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right\} \)　となる。これを幾何的に図にすると以下になる。長方形の計算を利用している
[添付]

途中の項数から始まる総和を求めたい場合、シグマ同士の引き算を行う

TODO

2016_05_22

考察2

本で行っている計算を別のやり方、具体的には微積分を使って求めてみる
まず、放物線の形はどんなに拡大しようが縮小しようが形は変わらないので全体を４倍にしてしまう。確率は割合を求める計算だから問題ない筈だ

そして　\(y={ x }^{ 2 }\)　の第一象限での面積を考える
[添付]

\(y={ x }^{ 2 }\)　のグラフ上の点は　\(\left( x=\sqrt { y } ,y \right) \)　となり、その外側の面積は積分で考えると　\(\displaystyle \int _{ 0 }^{ \sqrt { y } }{ { x }^{ 2 }dx } \)　となる。この式を解くと

\(\displaystyle \int _{ 0 }^{ \sqrt { y } }{ { x }^{ 2 }dx } \quad \mapsto \quad { \left[ \frac { 1 }{ 2+1 } { x }^{ 2+1 } \right] }_{ 0 }^{ \sqrt { y } }\quad \mapsto \quad { \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ \sqrt { y } }\quad \mapsto \quad \frac { 1 }{ 3 } { \sqrt { y } }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 3 } \cdot { 0 }^{ 3 }\quad \mapsto \quad \frac { 1 }{ 3 } y{ \sqrt { y } }\)

となる。これは放物線のグラフの外側の面積なので内側の面積を求めることにする。積分が適用されている「長方形の矩形の面積」は\(\left( x=\sqrt { y } ,y \right) \)　より　\(y\sqrt { y } \)となる
この矩形と積分の値を引き算すると内側が出てくる筈だ。これは

\(y\sqrt { y } -\frac { 1 }{ 3 } y{ \sqrt { y } }\quad =\quad \frac { 2 }{ 3 } y{ \sqrt { y } }\)　となる

これに対する、乱数の試行範囲は\(y\)の値により\({ y }^{ 2 }\)となる
[添付]
従って確率を求める式は、起こり得る全体の面積と希望するものの面積との割合との計算により

\(\frac { \frac { 2 }{ 3 } y{ \sqrt { y } } }{ { y }^{ 2 } } \quad = \quad \frac { 2 }{ 3 } \cdot \frac { \sqrt { y } }{ y } \)　となる

この式を使って確率の値を確かめると本と同じになることが確認できるので間違いないと思われる
試しに\(y=16\)を求めてみる

\(\frac { 2 }{ 3 } \cdot \frac { \sqrt { 16 } }{ 16 } =0.16666....\)

この\(y\)の値、つまり「実数の乱数の試行範囲」を限りなく大きくしていくと虚数の出る確率が極限まで減っていくのがイメージできる

・・・なにか、ひっかかる・・・たぶん間違いがある。答えはあってるが考え方が間違っている箇所がありそう

2015_11_04back

今度は数直線上の\(\frac { 1 }{ 3 } \)を基準にふたつの有理数の集合に切断してみると（この解釈は間違っている可能性がある？？？）

\(\displaystyle 切断\left( \quad A:=\left\{ a\in { { Q } }|a<\frac { 1 }{ 3 } \right\} \quad ,\quad B:=\left\{ b\in { { Q } }|b\ge \frac { 1 }{ 3 } \right\} \quad \right) \quad \Rightarrow \quad 切断\left( \quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } } \quad ,\quad \frac { 1 }{ 3 } \quad \right) \quad \Rightarrow \quad 切断\left( \quad 0.\dot { 3 }2 \quad ,\quad 0.\dot { 3 } \quad \right) \)

2015_11_01back

\(\frac { 4 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 5 } \)

分数に指数や累乗根が入きた場合、指数法則を使う事で考えや計算がシンプルになる
指数法則は掛算が足算に、割算が引算になったりする。ここに対数の性質が見られる

が、しかし、数的感覚（直観）と計算パターンから得られる答えとの差異を埋める為に今一度確認をしてみる

そして分数の逆数として組み合わせて考えると\(-1\)乗の考え方が出てくる

\(\sqrt { 3 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =3\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { 3 }{ \sqrt { 3 } } \)

\(\frac { 1 }{ 5 } \)を\(4\)個集めると\(\frac { 4 }{ 5 }\) 。\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)を\(3\)個集めると\(\sqrt { 3 } \)になる

指数が絡んだ分数計算では等比が何時の間にか等差になっている事に気が付く時がある。つまり対数の性質がここに見られる
続ける・・・

ここまで

\(\frac { 3 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\sqrt { 3 } =1.732050808...={ \sqrt [ 2 ]{ 3 } }^{ 1 }\)

であることを確認している。これはパターンだ。このまま、このような計算を進めてみる

\(\frac { 3 }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } ={ \sqrt [ 3 ]{ 3 } }^{ 2 }=2.080083823...\)

\(\frac { 3 }{ \sqrt [ 4 ]{ 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ 4 ]{ 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt [ 4 ]{ 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt [ 4 ]{ 3 } } ={ \sqrt [ 4 ]{ 3 } }^{ 3 }=2.279507057...\)

\(\frac { 3 }{ \sqrt [ 5 ]{ 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ 5 ]{ 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt [ 5 ]{ 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt [ 5 ]{ 3 } } ={ \sqrt [ 5 ]{ 3 } }^{ 4 }=2.408224685...\)

このような計算が可能な事が計算機で確認できる。つまり

\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt { 3 } } \quad =\quad \frac { 3 }{ { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ 1 } \quad =\quad { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\quad =\quad \sqrt { 3 } \)

\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } \quad =\quad \frac { 3 }{ { 3 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ 1 } \quad =\quad { 3 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\quad =\quad { \sqrt [ 3 ]{ 3 } }^{ 2 }\)

\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt [ 4 ]{ 3 } } \quad =\quad \frac { 3 }{ { 3 }^{ \frac { 1 }{ 4 } } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ \frac { 3 }{ 4 } } }{ 1 } \quad =\quad { 3 }^{ \frac { 3 }{ 4 } }\quad =\quad { \sqrt [ 4 ]{ 3 } }^{ 3 }\)

\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt [ 5 ]{ 3 } } \quad =\quad \frac { 3 }{ { 3 }^{ \frac { 1 }{ 5 } } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ \frac { 4 }{ 5 } } }{ 1 } \quad =\quad { 3 }^{ \frac { 4 }{ 5 } }\quad =\quad { \sqrt [ 5 ]{ 3 } }^{ 4 } \)

となる。そして...

\(\displaystyle \frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { 3 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } \quad =\quad { 3 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\quad =\quad \sqrt [ 6 ]{ 3 } \quad =\quad 1.20093.6955\)

\(\displaystyle \frac { \sqrt [ 3 ]{ 3 } }{ \sqrt { 3 } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }{ { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \quad =\quad { 3 }^{ -\frac { 1 }{ 6 } }\quad =\quad \frac { 1 }{ \sqrt [ 6 ]{ 3 } } \quad =\quad 0.832683177\)

のような計算もできる。指数法則で考え直してみる

。これを応用して考えると...

\(\frac { 256 }{ \sqrt [ 8 ]{ 256 } } ={ \sqrt [ 8 ]{ 256 } }^{ 7 }=128\\ \frac { 64 }{ \sqrt [ 32 ]{ 64 } } ={ \sqrt [ 32 ]{ 64 } }^{ 31 }=56.20006913...\\ \frac { 12 }{ \sqrt [ 5 ]{ 12 } } ={ \sqrt [ 5 ]{ 12 } }^{ 4 }=7.300372103...\)

のような計算も可能となる。これを何かに使えるかもしれない

back2015_10_25

極限

＜アルキメデスの原則を論理記号を使って数式化したもの＞

イプシロンデルタ論法を利用する
\(\forall \varepsilon ,a\in\mathbb{R}\quad \quad \exists n\in \mathbb{N}\quad \varepsilon ,a>0\quad \Rightarrow \quad n\varepsilon >a\)
これを日本語に直すと「全ての正の実数\(\varepsilon,a\)に対して、ある自然数\(n\)が必ず存在し、\(n\varepsilon >a\)を満たす」となる

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back1

unityで考えるとこうなるのかな？というコード（実際に計算で大小比較に使えるのかは未確認。あくまでメモ程度）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

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using UnityEngine; using System.Collections; public class Cutter : MonoBehaviour { void Start () { DedekindCut cut; cut = new DedekindCut (); cut.B = 2.5f; print (string.Format ("DedekindCut( {0} , {1} )", cut.A, cut.B)); } class DedekindCut { double a; double b; public double A { get { return a; } } public double B { set { //一つ隣の点、計算機イプシロンが引算された値 //unityでの最小値　資料：http://d.hatena.ne.jp/nakamura001/20150117/1421501942 a = value - 1.192093E-07; b = value; } get { return b; } } } }

結果
DedekindCut( 2.4999998807907 , 2.5 )

＜考え中＞
根本的な考え違いをしていたらしい
「切断そのものを実数とみなす」

＜メモ＞
切断の境目が有理数で割り切れている時と無理数である時のケースがあって、
割切れている時は、その値の表し方はAとBの2通りある。無理数の場合はより近い値の方を利用する

数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデキント切断と言う
[添付]
これから数直線上の１を基準に有理数の集合をふたつに切断する
境目が有理数の場合、その境目を切断したふたつのどちらかに入れて置く事になります。ここでは集合\(B\)に入れる事にしておきます

1. \(\mathbb{Q}=A\cup B\)
2. \(A\cap B=0,A≠0,B≠0\)
3. \(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\)

\(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは\(0\)を含まない
\(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば、\(a\le b\)が成り立つ

上記の条件を踏まえて実際に１を基準に切断するとこうなる
[添付]
\(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|a<1 \right\} \quad ,\quad B:=\left\{ b\in \mathbb{Q}|b\ge 1 \right\} \)

（補足：式の読み方→基礎​/数学に関する暗黙と習慣）
「１」は有理数で様々に表現できる。例えば\(\frac { 1 }{ 1 }\)、\(\frac { 2 }{ 2 }\)等、このような\(1\)を表現できる有理数の数列を\(B=\left\{ \frac { 1 }{ 1 } ,\frac { 2 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 3 } ,... \right\}\)とする。この集合\(B\)は「切断の境目と寸分狂いなく重なっている」。つまり、\(B:=\left\{ b\in \mathbb{Q}|b\ge 1 \right\}\)となる。
次に集合\(A\)は認識出来うる、もっとも\(1\)に近い有理数となる。例えば\(\frac { 9 }{ 10 }\)や\(\frac { 99 }{ 100 }\)、\(\frac { 999 }{ 1000 }\)と近づけていく事が出来る。つまり\(A=\left\{ \frac { 9 }{ 10 } ,\frac { 99 }{ 100 } ,\frac { 999 }{ 1000 } ,... \right\} \)となり、\(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|a<1 \right\}\)となる。この集合は決して\(1\)という「切断の境目に重なることは無い」。しかし、「境目に限りなく近づける事は出来る」

＜実数の定義＞

• \(A\in \mathbb{Q}\quad ,\quad A≠\mathbb{Q} \quad ,\quad A≠\emptyset\)
  \(A\)は有理数で全体ではない。\(A\)は空集合ではない

• \(A\)には最大値が無い

• \((a\in A\quad \wedge \quad t\in \mathbb{Q} \quad \wedge \quad t<a)\quad \Rightarrow \quad t\in A\)
  \(A\)は最大値を持たないが認識できる有理数tよりも大きな値aを見つける事により無限に大きくなり続ける。従って集合\(A\)は上界を持つ
  [添付]
  集合\(A\)を実数と呼ぶことが約束事として決められている

bは有理数なので以下のようにも表せる

\(\displaystyle b\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \times 3\quad =\quad 0.3333\dot { 3 } \times 3\quad =\quad 0.\dot { 9 } \quad =\quad 1\)

ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる（実際に計算機を用意して以下を試す）

\(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0.\dot { 2 } \\ 3\div 9=0.33333...=0.\dot { 3 } \\ \quad \quad \quad \vdots \\ 8\div 9=0.88888...=0.\dot { 8 } \\ 9\div 9=0.99999...=0.\dot { 9 } =1\)

tes

有理数の隙間（穴）に切断の境目がある。デデキントはこの隙間を数とみなすことにした

次に数直線上の\(\sqrt { 2 } \)を基準に有理数の集合をふたつに切断する事を考えて行く

＜帰納を使った偶数の証明＞

\(\begin{cases} { a }_{ 1 }=2 \\ { a }_{ n+1 }={ a }_{ n }+2 \end{cases}\)

この帰納を使って生成される数列が偶数であることを証明する
数列の漸化式は帰納的定義となる。帰納的に定義された対象(つまり数列)は「数学的帰納法による証明」が行える

1. \(p(1)\) が数列の一番端（1や0）が成り立つ事を示す
   
   数列は関数だから\({ a }_{ 1 }=2\)は\(P(1)=2\)と考えられる。数列の一番始めが\(2\)という偶数なので、この数列が偶数であると言える
   　
2. 任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す
   
   \(P(k+1)\)の時　\({ a }_{ n+1 }={ a }_{ n }+2\)を関数の形に変えて\(P(k+1)=P(k)+2\cdots ①\)
   \(P(k)\)の時、数列をひとつズラす \(P(k)=P(k-1)+2\quad (k\ge 2)\cdots ②\)
   ①に②を代入して\(P(k+1)=(P(k-1)+2)+2\cdots ③\)
   ②と③からこの計算が偶数になる事がわかる
   　
3. 1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける
4. 従って、この数列が生成する値は偶数である事が結論づけられる（偶数を生むと言う性質が伝播して行く）

ここから具体的に\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限について考えてみる。これは\(n\)を無限に近づけると\(\frac { 1 }{ n }\)が限りなく\(0\)に近づく事を表現している
この場合の極限の論証は以下になる

\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\forall n\in { \mathbb{N} \quad }(n>\delta \quad (\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon )\quad )))\)
どんな正の数\(\varepsilon\)に対しても、正の数\(\delta\)をうまく定めると、\(n>\delta \)であるどんな自然数\(n\)に対しても\(\left| \frac { 1 }{ n } \right| <\varepsilon \)となる

テンプレートである基本の論証から\(\exists \delta \in { \mathbb{N} }\)の部分を\(\exists \delta >0\)に、\({ a }_{ n }\)の部分を\(\frac { 1 }{ n }\)に、\(a\)の部分を\(0\)にチョコチョコと書き換えている
このように式に合わせてテンプレートを書き換えてεδ論法を利用した

では論証の意味を検証していく
εδ論法はその内容を代数だけで考えるよりもグラフを見ながら考えた方が理解しやすい。以下にこの論証の内容を図で表す
[添付]
まず、論証式の括弧の一番内側から始める。内側に対して外側の条件を全て満たしながら値を追いかける必要がある
括弧の一番内側は\(\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon \)、それと同時に一番外側の\(∀ε>0\)を満たしておく、\(\forall n\in { \mathbb{N} }\)より\(n\)が自然数である必要がある。グラフ図のεを見ると正の数であり、数列値\(\frac { 1 }{ n }\)と極限値\(0\)との距離より大きい値が勝手に自由に選ばれている。グラフ図のεの値は条件を満たしている

次にひとつ外側の論証式、\(n>\delta \quad\)を見てみる。これはグラフ図を見ればどんな値が相応しいか良く分る。特に重要なのは「\(\varepsilon\)は\(\delta\)に対応する」関係を満たす必要がある点。これは、\(\delta =f(\varepsilon )\)という"なんらかの関数関係"にする必要があるという事。この場合、適切な\(\delta\)は\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n } \)より\(\varepsilon =\frac { 1 }{ \delta } \)となり、これを\(\delta\)に対して変形すると\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)が適切だと導ける（この場合、グラフ図をみた方が直観的に分るかも）
この\(\delta\)が、先ほどの説明にあった、「うまく定めたクランクシャフト」。これは自分で考えて適切なものを考える必要がある

A点を数列値。B点を極限まで近づけるための点（しかし、A点とB点は完全には重ならない）とすると
このグラフ図の関係をそのまま利用するならば\(\varepsilon=2\)、\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }=\frac { 1 }{ 2 } \)、ここで\(n>\delta \quad\)を満し、かつ自然数である必要があるので\(n=1\)となる。ここで全体の論証をチェックすると全て真になっている

また、Ａ点を\(\left( n,{ a }_{ n } \right)\)、Ｂ点を\(\left( \delta =\frac { 1 }{ \varepsilon } ,\varepsilon \right) \)として論証をチェックすると、このＡ点とＢ点は微分の関係になっている事に気が付く

\(\displaystyle \lim _{ b-a\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } \quad } =\quad \lim _{ A点の横軸値-B点の横軸値は0に限りなく近づく }{ \frac { A点の縦軸値-B点の縦軸値 }{ A点の横軸値-B点の横軸値 } } \quad =\quad \lim _{ \delta-n \rightarrow 0 }{ \frac { \varepsilon -{ a }_{ n } }{ \delta -n } } \)

従ってＡ点、Ｂ点は永久に重ならず、\({a}_{n}\)よりも大きい\(\varepsilon\)を小さくし続けることによって限りなくＢ点をＡ点に近づける事が可能となった。さらにＡ点はこの数列の極限の論証による\(n\)の値の更新によりグラフの右側にどんどん移動していく。しかし、さらに更新された\(\varepsilon\)によりＢ点はＡ点を追いかけ続ける。ここに一種の漸化式の様な無限ループの計算が出来上がる事になる

ネットの海で拾った画像。イメージとしてはこんな感じ（猫パンエンジン画像）

実際に値を入れてその動きを確かめてみる

\(\varepsilon\) を論証を満たす範囲で小さくするとＢ点はＡ点に極限まで近づく。Ａ点は右に移動し、さらにＢ点はそれを追う。その様子を実際に値を入れながら確認してみる。

\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1000 } \)とする

\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)より\(\delta =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 1000 } } =1000\)となる

\(n>\delta\)　と　\(\forall n\in { \mathbb{N} }\)　より　\(n=\delta+1=1000+1=1001\)

ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1000 }\)、\(\delta=1000\)、\(n=1001\)。これはεδ論法を満たしている

この時、Ａ点は\(\left( 1001,\frac { 1 }{ 1001 } \right) \)、Ｂ点は\(\left( 1000,\frac { 1 }{ 1000 } \right)\)であり間の距離\(\varepsilon\)は\(\frac { 1001-1000 }{ 1001\times 1000 } =\frac { 1 }{ 1001000 } \)となる

もう一度、この計算を繰り返してみる

\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1001000 } \)とする

\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)より\(\delta =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 1001000 } } =1001000\)となる

\(n>\delta\)　と　\(\forall n\in { \mathbb{N} }\)　より　\(n=\delta+1=1001000+1=1001001\)

ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1001000 }\)、\(\delta=1001000\)、\(n=1001001\)。これはεδ論法を満たしている

この時、Ａ点は\(\left( 1001001,\frac { 1 }{ 1001001 } \right) \)、Ｂ点は\(\left( 1001000,\frac { 1 }{ 1001000 } \right)\)であり間の距離\(\varepsilon\)は\(\frac { 1001001-1001000 }{ 1001001\times 1001000 } =\frac { 1 }{ 1002002001000 } \)となる

もう一度、この計算を繰り返してみる

（以下略）

このようにεδ論法によって"作られた数式"を利用する事により\(\varepsilon\)は数回の計算を繰り返すことで人間には認識しづらい程、\(0\)に向かって小さな値に、つまり「限りなく\(0\)に近づく」事になる。この計算には終わりが無く無限回数これを繰り返す。従って\(\varepsilon\)は\(0\)に収束すると言い、そんな\(\varepsilon\)よりも小さい\(\frac{1}{n}\)は\(0\)だろうと予測できる。これを数式にすると\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)と表現できるが、これは予測であってまだ確認できていない

おまけ（たぶんテンプレート論証に自然数の指定は必要ない）

εδ論法のテンプレートとなる基本フォーマットは以下の形を持っていれば良いようです（個人で調べた範囲の結論なのでまちがってるかも）
\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (n>\delta \quad ({ a }_{ n }-\alpha<\varepsilon )\quad )) \)

これは\(\varepsilon\)に正の数の整数を入れようとした時に気が付いた事なのですが、無理に\(\delta\)や\(n\)を自然数にしようとすると計算が出来ない事になります。そもそもアルキメデスの原則は各変数に対し自然数でなければならないというような指定はありませんでした。一度、「～\(\in { \mathbb{N} }\)」を外して計算してみると論証に真がだせるので、たぶん間違っていないのではないかと予想しています

論証：\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\forall n\in { \mathbb{N} \quad }(n>\delta \quad (\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon )\quad )))\)

例として\(\varepsilon =1000 \)とする

\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)より\(\delta =\frac { 1 }{ 1000 }\)となる

\(n>\delta\)　と　\(\forall n\in { \mathbb{N} }\)　より　\(\frac { 1 }{ n } <\frac { 1 }{ \delta } \)　となり \( \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 1000+1 } } <\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 1000 } } \)　なので　\(n=\frac{1}{1001}\)　となる（ここで\(\forall n\in { \mathbb{N} }\)が邪魔になるので外してしまって良い）

＜ToDO＞

この場合、εがカウンタになるので、\(\forall \varepsilon \in { \mathbb{ N }\quad }(\quad \exists \delta >0\quad (n>\delta \quad (\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon )\quad ))\)　という書き方をしても良いのではないだろうかと思う

＜簡単な論理定項の紹介＞

これを、（傾き）微分係数\(f'\left( x \right) =\frac { y }{ x } \)をメインに考えて整理すると

\(\displaystyle \begin{cases} 0\quad <\quad \frac { \left| f\left( x \right) -b \right| }{ \left| x-a \right| } \quad <\quad \frac { \varepsilon }{ \delta } \\ \quad \\ \frac { b-\varepsilon }{ a-\delta } \quad <\quad \frac { f\left( x \right) }{ x } \quad <\quad \frac { b+\varepsilon }{ a+\delta } \end{cases}\)

となる。ここで、\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いか？この事に対して考えると
（この「適当」とはカタカナのテキトォーじゃなくて「適切と思われる値を考えて狙って当てる」の適当）

例えば放物線を描く関数　\(y=f(x)={x}^{2}\)の一点を\(x=p \)　と定めた時、対応する\(y\)の値は\({p}^{2}\)となる。即ち座標\((p ,{ p }^{ 2 })\)となり、この\(p\)に\(\varepsilon >0,\delta >0\)である事を注意しながら\(a +\delta \)を代入すると　\({ \left( a +\delta \right) }^{ 2 }=b+\varepsilon \)　の関係が成り立つ。この式を\(\delta\)に対して解くと

\({ \left( a+\delta \right) }^{ 2 }=b+\varepsilon \quad \rightarrow \quad a+\delta =\sqrt { b+\varepsilon } \quad \rightarrow \quad \delta =\sqrt { b+\varepsilon } -a \) となる

ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\left( x \right) =4 }\)としてδε論法に当てはめると \(\lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right) =b } \) より\(a=2,b=4\)となり、\(\delta =\sqrt { 4+\varepsilon } -2 \)となる
また、 \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \)に当てはめると　\(0<\left| x-2 \right| <\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \) となる

これを展開すると

\(0<\left| x-2 \right| \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<x-2\quad \rightarrow \quad x>2 \\ 0<-x+2\quad \rightarrow \quad x<2 \end{cases}\quad \rightarrow \quad x≠2\)

\(\left| x-2 \right| <\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \rightarrow \quad \begin{cases} x-2<\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \rightarrow \quad x<\sqrt { 4+\varepsilon } \\ -x+2<\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \rightarrow \quad -x<\sqrt { 4+\varepsilon } -4\quad \rightarrow \quad x<4-\sqrt { 4+\varepsilon } \end{cases}\)

\(\left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad \rightarrow \quad \begin{cases} { x }^{ 2 }-4<\varepsilon \quad \rightarrow \quad { x }^{ 2 }<\varepsilon +4 \\ -{ x }^{ 2 }+4<\varepsilon \quad \rightarrow \quad { -x }^{ 2 }<\varepsilon -4\quad \rightarrow \quad { -x }^{ 2 }<\varepsilon -4\quad ???? \\ \end{cases}\)

虚数と向き合う必要があるので、一端この問題はここでストップ
先に虚数を勉強する事にする

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! TODO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

\({ \varepsilon }_{ n }<{ \varepsilon }_{ n-1 }\)とすると\(\displaystyle \frac { { \varepsilon }_{ n } }{ { \delta }_{ n } } <\frac { { \varepsilon }_{ n-1 } }{ { \delta }_{ n-1 } } \)になり・・・

<memo>
資料：高校数学​/相加相乗平均の関係
\(\frac { a+b }{ 2 } \ge \sqrt { ab } \)

\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いだろうか？
\(\displaystyle f'(x)\quad =\quad \frac { f(x) }{ x } \quad =\quad \frac { f(a+\delta )-f(a) }{ (b+\varepsilon )-b } \)
\(\displaystyle 0\quad <\quad \frac { \left| f(x)-b \right| }{ \left| x-a \right| } \quad <\quad \frac { \varepsilon }{ \delta } \quad <\quad \frac { f(x) }{ x } \quad <\quad \frac { b+\varepsilon }{ a+\delta } \)