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つまり灰色の混ざりきった絵の具から、白黒のマーブル模様の「履歴や状況」を復元する事は難しい筈だ

マイナスの計算をする場合

が成り立つ

• 2016-11-16 (水) 21:00:30 - イプシロンデルタ_メモ3

資料：

• 無限の問題を解消した「極限」ーそれは100年の努力によって生み出され
• 流動性のわな　（りゅうどうせいのわな）

これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる\\ \\ { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \\ \\ この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている\\ 微分の式を再確認すると以下になる\\ \\ \lim _{ b\rightarrow \alpha }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } =f'\left( \alpha \right) } \\ \\ この微分の式の極限が無い状態を考える。右辺が傾きを表す式である事を近似で考えると\\ \\ \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } \simeq f'\left( b \right) \\ \\ と表現できる。記号「\simeq 」は近似を表す\\ 右辺の「到達している傾きの位置」が違う点に留意。極限を使うとbは\alpha に限りなく近づくのでf'\left( \alpha \right) となる\\ しかし、極限を利用しないとf'\left( b \right) となる。これはよくよく考えると当たり前のことを言っている\\ でも、これはよくやりやすい勘違いなので注意してほしい。極限なしで平均値の算出で考えを進めると以下になる\\ \\ f'\left( b \right) \simeq \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } \\ \\ \quad \Leftrightarrow \quad f'\left( b \right) \left( b-\alpha \right) \simeq f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) \quad \Leftrightarrow \quad \quad f'\left( b \right) b-f'\left( b \right) \alpha \simeq f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) \\ \Leftrightarrow \quad \quad f'\left( b \right) b\simeq f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) +f'\left( b \right) \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \quad b\simeq \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) +f'\left( b \right) \alpha }{ f'\left( b \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad b\simeq \frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } -\frac { f\left( \alpha \right) }{ f'\left( b \right) } +\alpha \\ \Leftrightarrow \quad \quad b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } \simeq \alpha -\frac { f\left( \alpha \right) }{ f'\left( b \right) } \\ \\ ここで、f(\alpha )=0との連立方程式を\alpha に対して解くと考える（bが\alpha に近づいていく）\\ \\ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } \simeq \alpha -\frac { 0 }{ f'\left( \alpha \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \alpha \simeq b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) }

下図は動作イメージ。青色のグラフが \(\frac { 1 }{ n } \)。赤色が \(\varepsilon\) と \(\delta\) 。緑色が \({ a }_{ n }\) と \(n\) 。赤と緑のグラフのy軸は最終的に0に限りなく近くなる

• \(\varepsilon\)と\(\delta\)は正の数に縛り付けているのでグラフ第一象限のみを考えればいい 左記は間違い。論理式を読むと絶対値による「＋－の距離」を考える必要がある。今回の件に関して言えば第三象限にあるグラフに対しても同じように考える必要がある

\(e=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) }^{ n } } \quad にx乗した式\quad { e }^{ x }=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) }^{ nx } } \\ この式に対しN=nxとして\\ { e }^{ x }=\lim _{ N\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) }^{ N } } \quad 、n=\frac { N }{ x } なので{ e }^{ x }=\lim _{ N\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { x }{ N } \right) }^{ N } } \\ ここでマクローリン展開（テイラー展開）する。{ \left( a+b \right) }^{ n }に従うような二項定理を利用しながら式にすると\\ { e }^{ x }=\lim _{ N\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=0 }^{ N }{ { _{ N }{ C }_{ r } } } \cdot { 1 }^{ N-r }\cdot { \left( \frac { x }{ N } \right) }^{ r } } \quad となる。これを計算すると\\ \\ { e }^{ x }=\lim _{ N\rightarrow \infty }{ { _{ N }{ C }_{ 0 } } } { \left( \frac { x }{ N } \right) }^{ 0 }+{ _{ N }{ C }_{ 1 } }{ \left( \frac { x }{ N } \right) }^{ 1 }+{ _{ N }{ C }_{ 2 } }{ \left( \frac { x }{ N } \right) }^{ 2 }+{ _{ N }{ C }_{ 3 } }{ \left( \frac { x }{ N } \right) }^{ 3 }+{ _{ N }{ C }_{ 4 } }{ \left( \frac { x }{ N } \right) }^{ 4 }+\cdots \\ =\lim _{ N\rightarrow \infty }{ 1 } +x+\frac { N\left( N-1 \right) }{ 2! } \cdot \frac { { x }^{ 2 } }{ { N }^{ 2 } } +\frac { N\left( N-1 \right) \left( N-2 \right) }{ 3! } \cdot \frac { { x }^{ 3 } }{ { N }^{ 3 } } +\frac { N\left( N-1 \right) \left( N-2 \right) \left( N-3 \right) }{ 4! } \cdot \frac { { x }^{ 4 } }{ { N }^{ 4 } } \cdots \\ =\lim _{ N\rightarrow \infty }{ 1 } +x+\frac { \frac { { N }^{ 2 }-N }{ { N }^{ 2 } } { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { \frac { { N }^{ 3 }-3{ N }^{ 2 }+2N }{ { N }^{ 3 } } { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { \frac { { N }^{ 4 }-6{ N }^{ 3 }+11{ N }^{ 2 }-6N }{ { N }^{ 4 } } { x }^{ 4 } }{ 4! } \cdots \\ =\lim _{ N\rightarrow \infty }{ 1 } +x+\frac { \left( 1-\frac { 1 }{ { N }^{ 2 } } \right) { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { \left( 1-\frac { 3 }{ { N } } +\frac { 2 }{ { N }^{ 2 } } \right) { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { \left( 1-\frac { 6 }{ { N } } +\frac { 11 }{ { N }^{ 2 } } -\frac { 6 }{ { N }^{ 3 } } \right) { x }^{ 4 } }{ 4! } \cdots \quad =\quad 1+x+\frac { \left( 1-0 \right) { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { \left( 1-0+0 \right) { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { \left( 1-0+0-0 \right) { x }^{ 4 } }{ 4! } \cdots \\ =1+x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } \cdots \)

• パターン認識

この考えを進めると \(\ln { x } \) は左に９０度回転＋左右反転で \({e}^{x}\) になる？（逆関数の関係。つまり対称性が見つかる筈。そこから推移性、反射性も見つかって群が見つかる筈）

①NVIDIAコントロールパネルを開く　→　3D設定の管理　→　グローバル設定　→　優先するグラフィックスプロセッサを「高パフォーマンスNVIDIAプロセッサ」に設定（普段の利用で何か不具合があったら自動選択にしてください）

\(1-2\div 3\left( 4+5 \right) -6\quad =\quad 1-2\div 3\times \left( 9 \right) -6\quad =\quad 1-6-6\quad =\quad -11\)

これはド・モアブルの定理と呼ばれる計算手法になっている

　　…

ここから問題２が解ける。書籍「なっとくする群・環・体」ではP70に、この問題の答えを書いてくれている（途中経過や式は無い）

\(\iota =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\\ \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}\\ \tau =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)

\(\left< g,\mu \right> =\begin{cases} 1\quad \cdots g\cdot \mu =gの時 \\ 0\quad \cdots それ以外の場合 \end{cases}\)

\(D=\left\{ f\cdot \sigma |\sigma \in R \right\} \\ R=\left\{ \iota ,\sigma ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \\ D=\left\{ f\cdot \iota =f,f\cdot \sigma ,f\cdot { \sigma }^{ 2 },f\cdot { \sigma }^{ 3 },f\cdot { \sigma }^{ 4 },f\cdot { \sigma }^{ 5 } \right\} \\ D=\left\{ f={ g }_{ 1 }=f\cdot { \nu }_{ 1 },f\cdot \sigma ={ g }_{ 2 }=f\cdot { \nu }_{ 2 },f\cdot { \sigma }^{ 2 }={ g }_{ 3 }=f\cdot { \nu }_{ 3 },f\cdot { \sigma }^{ 3 }={ g }_{ 4 }=f\cdot { \nu }_{ 4 },f\cdot { \sigma }^{ 4 }={ g }_{ 5 }=f\cdot { \nu }_{ 5 },f\cdot { \sigma }^{ 5 }={ g }_{ 6 }=f\cdot { \nu }_{ 6 } \right\} \quad \\ \left| D \right| も\left| R \right| も6個ずつある。違いはfを演算した後かどうか\\ そこで\\ { H }_{ j }=\left\{ \mu \in R|f\cdot \mu ={ g }_{ j } \right\} \\ \\ f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}\\ { H }_{ 1 }=\left\{ { \mu }_{ 1 }=\iota ,{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 3 } \right\} =\left\{ f\cdot { \mu }_{ 1 }=f=f\cdot { \sigma }^{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}={ g }_{ 1 }=f\cdot { \nu }_{ 1 }\quad ,\quad f\cdot { \mu }_{ 2 }=f=f\cdot { \sigma }^{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}={ g }_{ 1 }=f\cdot { \nu }_{ 1 } \right\} \\ \left| { H }_{ 1 } \right| =2\\ { H }_{ 2 }=\left\{ { \mu }_{ 1 }={ \sigma },{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 4 } \right\} =\left\{ f\cdot { \mu }_{ 1 }=f\cdot { \sigma }=f\cdot { \sigma }^{ 4 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & A & B & C & A & B \end{pmatrix}={ g }_{ 2 }=f\cdot { \nu }_{ 2 }\quad ,\quad f\cdot { \mu }_{ 2 }=f\cdot { \sigma }=f\cdot { \sigma }^{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & A & B & C & A & B \end{pmatrix}={ g }_{ 2 }=f\cdot { \nu }_{ 2 } \right\} \\ \left| { H }_{ 2 } \right| =2\\ { H }_{ 3 }=\left\{ { \mu }_{ 1 }={ \sigma }^{ 2 },{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 5 } \right\} =\left\{ f\cdot { \mu }_{ 1 }=f\cdot { \sigma }^{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 5 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ B & C & A & B & C & A \end{pmatrix}={ g }_{ 3 }=f\cdot { \nu }_{ 3 }\quad ,\quad f\cdot { \mu }_{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 5 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ B & C & A & B & C & A \end{pmatrix}={ g }_{ 3 }=f\cdot { \nu }_{ 3 } \right\} \\ \left| { H }_{ 3 } \right| =2\\ \\ 事実1:各集合{ H }_{ j }の要素の個数\left| { H }_{ j } \right| はすべて等しい。この場合k=2\\ \\ ①{ { H }_{ j }の各要素は互いに異なる。\mu }_{ 1 }\cdot { \nu }_{ 1 }≠{ \mu }_{ 2 }\cdot { \nu }_{ 1 }\rightarrow { \mu }_{ 1 }≠{ \mu }_{ 2 }\quad \quad 例:{ \nu }_{ 1 }=\iota とすると、{ \mu }_{ 1 }=\iota ,{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 3 }\quad { \mu }_{ 1 }と{ \mu }_{ 2 }が同じになることはない\\ ②gを逆置換\left( 逆関数 \right) して元のfにもどせない要素\mu \in Rは{ H }_{ j }に含まれない\\ Xは番号の集合でYは料理の集合。f:X\rightarrow Y\quad ,\quad g:X\rightarrow Y\quad ,\quad { \sigma }^{ j }\in R\quad ,\quad \mu \in R\quad \quad 以上の事から\nu \in Rにならざる得なくなる\\ { \nu の逆置換\left( 逆関数 \right) は\quad \nu }^{ -1 }:X\rightarrow X\quad ,\quad { \nu }^{ -1 }\in R\quad \left( Rは置換群として定義しているので演算が閉じている。つまり逆元はRの中に必ずある \right) \\ \\ 例:\\ { g }_{ 2 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & A & B & C & A & B \end{pmatrix}\quad ,\quad { \mu }={ \sigma }\quad \rightarrow \quad \overbrace { { \nu }^{ -1 }={ \sigma }^{ 6-1 }={ \sigma }^{ 5 } }^{ P57のやり方で逆元を求める } \quad \rightarrow \quad { { g }_{ 2 } }\cdot { \nu }^{ -1 }=f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}=f\cdot { \mu }\cdot { \nu }^{ -1 }\quad \\ \\ \\ \\ ①と②は全てのパターンが漏れなく対応し異なる事を保証している（つまり数え上げの「組み合わせ」になっている） \)

資料中にある「ラムダ計算は1つの変換規則（変数置換）と1つの関数定義規則のみを持つ」の文に留意。ラムダ計算と群になんらかの関係性を感じる（調査の必要あり）

数学における「群」とは「似ているものをひっくるめる」理論といえる。似ているもの同士がどこが似ているかを人に説明するのは難しい。その対象が抽象的な物であればある程難しいものだと考えられる。

visualStudioではカーソルをbreak;やcontinue;の上に持っていくと関連している構文をマーカー表示する

自分はbackerとして数千円援助させていただきましたが大変満足しています

このfの機能、x∈Xに対応するy∈Yは「あみだくじの図」で人工的に図形で表現される

コインを4回投げて表（1）、裏（0）が出る全パターンは\({2}^{4}=16\)通り。この集合を\({ S }_{ 4 }\)と名付ける
\(\displaystyle \begin{matrix} { S }_{ 4 }= & \left\{ 1111,\\ 1110,\\ 1101,\\ 1100,\\ 1011,\\ 1010,\\ 1001,\\ 1000,\\ 0111,\\ 0110,\\ 0101,\\ 0100,\\ 0011,\\ 0010,\\ 0001,\\ 0000 \right\} \end{matrix}\)

このようにマイクロソフトのエクセルやグーグルのスプレッドシートの機能を利用することで比較的短時間に数列の性質を見抜くことができる

メモ　調べる

• 外部からのファイルの改編のロック方法

以下、何処か間違えている

\(\displaystyle \begin{eqnarray} (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ a { r }^{ k-1 } } & = & \left( 1-r \right) \left( { a }{ r }^{ 0 }+{ a }{ r }^{ 1 }+{ a }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }{ r }^{ n-1 } \right) \\ \quad & = & { a }{ r }^{ 0 }+{ a }{ r }^{ 1 }+{ a }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }{ r }^{ n-1 }-{ a }{ r }^{ 1 }-{ a }{ r }^{ 2 }-{ a }{ r }^{ 3 }-\cdots -{ a }{ r }^{ n } \\ \quad & = & { a }{ r }^{ 0 }-{ a }{ r }^{ n } \\ \quad & = & { a }-{ { a }r }^{ n } \\ \quad & = & { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \end{eqnarray}\)

#navi

• kを消した数列から、もう一度シグマを組み、それをうまく変形して等比数列の公式の型に誘導し解く

pocketCasで計算すると下記のように計算結果を出せるがこれを手作業で計算するのは大変すぎる

#navi

B。３回投げてずっと裏が出続けて３回目に表が出る　＝\(1\)本

\(P 幾何分布関数\)
\(x\quad 試行回数\)

ここのベルヌーイ確率変数を成立させている考え方はとても重要なので「考え方を身につける必要がある」

#navi

つまり、帰納的に働く無限試行の計算の平均は、振動、拡散、収束のどれかになる

#navi

#navi

本の中で「僕」は「これは簡単だね」と言うがテトラは「不思議です」と言った。これはテトラが正しい。難しいから不思議なのだ

#navi

それが日本を強くさせるかもしれない

論理で使われる記号に割り当てられた自然言語は、日常的に使う意味と必ずしも合致しているとは言えない（たとえば、「ならば」等は直観的感覚で使われている日本語のならばの意味とは少し違ったりする）。その意味は真理値表で表したものが一番正確と言える。（個人的にはC#等のコンピュータ言語で利用される数学記号を使った判定式などの方がより判りやすいと思っている）。また選言標準形に直したものや連言標準形に変換したものの方がより直観的にわかりやすい場合がある

Ｃ＃にこの論理を当てはめると\(p(1)\)は初期設定関数、\(p(k) ⇒ p(k+1)\)はループする帰納関数部を指している。\(p(n)\)が成り立つと主張する部分では、この帰納関数の全入出力は（自然数\(n\)がどんな値をとっても）関数\(p\)の性質を持ち続ける事を結論付けている。この論理式の前提を満たす関数は「数学的帰納法」に適合したものであると、この論理式は定義付けている

#jsmath

逆数とは何者か？

平方根（二乗根）の逆数とは何者か？

\(\sqrt { 2 } の逆数={ \sqrt { 2 } }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } =0.707106...\)

\(\sqrt { 3 } の逆数={ \sqrt { 3 } }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 3 } =0.5773502...\)

\(\sin { \left( 45° \right) } =\cos { \left( 45° \right) } =0.707106...\)

\(\tan { \left( 30° \right) } =0.5773502...\)

三角比、三角形の合同と相似、そして指数法則、逆数を利用して考えてみる…
[添付]

[添付]
\({ 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }=\sqrt { 3 } =1.732...\)となる

\(\begin{cases} y={ x }^{ 2 }-c \\ y=0 \end{cases}\)
簡単に式を変形して\(y=0\)の時の\(x\)を求めると指数部に逆数が現れる
つまり指数の移項で\(-1\)乗していると考えられるが、指数部の\(-1\)乗倍とはどう考えればいいのだろうか？これは虚数\((i)\)なのか？
\(0={ x }^{ 2 }-c\quad \rightarrow \quad { x }^{ 2 }=c\quad \rightarrow \quad x={ c }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)

この放物線の中に三角形を作ればいい？　指数と三角関数と対数は全部繋がると予想される

分数とは何者か？

元をたどっていくと、そもそも分数とは何者か？という話になる

もう一度、論理式に戻ってグラフ図を使いながら、この論理式が何を言いたいのか、表現しているのかを説明するとこうなる