つまり灰色の混ざりきった絵の具から、白黒のマーブル模様の「履歴や状況」を復元する事は難しい筈だ
¶得たものは「全体の同一性」、トポロジー的なモノ。これは大きな収穫である
¶(むしろ流体の動きを予測計算するようなものの方が利用価値が高いと予想できる→×。乱数は流体ではない)
¶(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } )
三角不等式のような絶対的真理のような物の大小の関係性がある
因数分解と指数の関係のような次元を主題とした「関係性」
5色の絵の具をパレットに出して筆で混ぜるとする
最初はマーブル状に混ざり、それをかき混ぜて行くとやがてひとつの色へと収束していく
たとえば、白と黒の2色の色をパレットに出して混ぜると白黒のマーブル模様はかき混ぜる事を続けるとある一定の灰色になる
つまり、「平均の色になる」
コインを投げて表裏の出た数を測るとする。これを無限回数試行し平均をとると表裏はほぼ50%づつの分布となる
つまり平均値。「確率となる」
もし、知りたい主題がマーブル模様の"溜り"。つまり偏りの原因なり傾向を知りたいのだとするなら平均を知る事には意味が無い?
(むしろ流体の動きを予測計算するようなものの方が利用価値が高いと予想できる→×。乱数は流体ではない)
平均する事によって情報として何を得て何が失われたか?
得たものは「全体の同一性」、トポロジー的なモノ。これは大きな収穫である
失われたのは何か?
おそらく失われたのは「自己同一性」と「時間」だと考えられる
自己同一性を失うとは(a)と(b)、区別がつけられていたものが、どちらのものであったか見分けがつかなくなる事を意味する
つまり灰色の混ざりきった絵の具から、白黒のマーブル模様の「履歴や状況」を復元する事は難しい筈だ
(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } )
12歳の自分と40歳の自分は同じものであって同じでない(この形而下的根拠として時間の経過イコール変化しているだろうという前提がある)
市役所は同一人物として扱い、友人は別人として扱うだろう
多数決原理に幻想を求めても同一性の形而からは逃れられない
そういう事を考えている人も他にいるらしい
https://ja.wikipedia.org/wiki/ノート:同一性
資料:
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1418632974
任意の正の数(a)があり、実数nがあるとすると({ a }^{ n })は0以上となる
(forall a>0quad forall nin Rquad { a }^{ n }ge 0)
以下のようにも考えられるか
(forall b,a>0quad forall nin Rquad left( 0<a<bquad Rightarrow quad { left( b-a right) }^{ n }ge 0 right) )
<相加平均と相乗平均との関係>
( { left( sqrt { b } -sqrt { a } right) }^{ 2 }=b-2sqrt { ba } +age 0\ Leftrightarrow quad frac { b+a }{ 2 } ge sqrt { ba } )
これは(forall b,a ge 0)が前提となっている。負の数だった場合はルートの中の話なので虚数になり実数のくくりから外れる
実数の二乗は非負
(forall ain Rquad { a }^{ 2 }ge 0)
たとえば三乗で考えたら
({ left( sqrt [ 3 ]{ a } -sqrt [ 3 ]{ b } right) }^{ 3 }=a-3sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 2 } } sqrt [ 3 ]{ { b } } +3sqrt [ 3 ]{ a } sqrt [ 3 ]{ { { b }^{ 2 } } } -b\ \ Leftrightarrow quad frac { a-b }{ 3 } =sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 2 } } sqrt [ 3 ]{ { b } } -sqrt [ 3 ]{ a } sqrt [ 3 ]{ { { b }^{ 2 } } } \ Leftrightarrow quad frac { a-b }{ 3 } =sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 2 }{ b }-{ a{ b }^{ 2 } } } )
あんまり意味が無いか?おそらく元は三平方の定理の左辺、({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ c }^{ 2 })を利用していると考えられる(でも中の二項演算子はマイナス?)
ここを一度プログラムを組んで確かめる。abにランダムな正負の数を代入し左辺が毎回大きくなるかどうか確かめる
理屈で考えたらダメなはずだけど一応やっておく
<漸化式の前後の差>
ニュートンラフソンで考えた場合
({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } quad Leftrightarrow quad { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n }=-frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } quad quad Leftrightarrow quad { x }_{ n }-{ x }_{ n+1 }=frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } )
関数が(fleft( { x }_{ n } right) ={ x }_{ n }^{ 2 }-C)だとすると
({ x }_{ n }-{ x }_{ n+1 }=frac { { x }_{ n }^{ 2 }-C }{ 2{ x }_{ n } } )
となる。これは虚数の情緒P424の一番最後の式と同じ結果といえる
・・・あくまでbとaとの関係は正の数となる距離で考えた方が良い。εδ論法と何処かよく似ている・・・
マイナスの計算をする場合
¶ ¶2番目がマイナスから始まって交互にプラスマイナスが来る。以下、面倒なのでPocketCasで出力
¶2番目がマイナスから始まって交互にプラスマイナスが来る
¶奇数の指数でマイナスの計算をする場合
例
( { left( a-b right) }^{ 3 }\ ={ _{ 3 }{ C }_{ 0 }{ a }^{ 3 } }-{ _{ 3 }{ C }_{ 1 }{ a }^{ 2 }b }+{ _{ 3 }{ C }_{ 2 }a{ b }^{ 2 } }-{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }b^{ 3 } }\ ={ a }^{ 3 }-3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 }-b^{ 3 })
マイナスの計算をする場合
例
( { left( a-b right) }^{ 3 }\ ={ _{ 3 }{ C }_{ 0 }{ a }^{ 3 } }-{ _{ 3 }{ C }_{ 1 }{ a }^{ 2 }b }+{ _{ 3 }{ C }_{ 2 }a{ b }^{ 2 } }-{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }b^{ 3 } }\ ={ a }^{ 3 }-3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 }-b^{ 3 })
2番目がマイナスから始まって交互にプラスマイナスが来る。以下、面倒なのでPocketCasで出力
二項定理は「二項式の係数の算出」、「確率の計算」や「極限式の解析、理解」に利用されることが多いようだ
最低限、以下だけは暗記する。非常に単純なので憶え易い
(displaystyle { _{ 9 }{ P }_{ 4 } }quad =underbrace { 9times 8times 7times 6 }_{ 9から始まる4個の積 } quad =quad 3024)
(displaystyle { _{ 7 }C_{ 5 } }quad =quad frac { overbrace { 7times 6times 5times 4times 3 }^{ 7から始まる5個の積 } }{ underbrace { 1times 2times 3times 4times 5 }_{ 1から始まる5個の積 } } quad =quad 21)
({ _{ 9 }{ P }_{ 0 }quad =quad 1 }\ { _{ 7 }C_{ 0 }quad =quad _{ 7 }C_{ 7 } }quad =quad 1quad )
(displaystyle 例: { _{ 8 }{ P }_{ 3 } }quad =quad 8times 7times 6quad =quad 336quad ,quad { _{ 6 }C_{ 3 } }quad =quad frac { 6times 5times 4 }{ 1times 2times 3 } quad =quad 20quad 等々)
Pはパーミュテーション(順列)、Cはコンビネーション(組み合わせ)。確率等の即興計算ではこの方が早い
最低限この計算方法は憶えておくと次の抽象化された公式はうろ覚えでも最悪自分で導ける
コンビネーションの結果値は二項係数と呼ばれ一覧表として「パスカルの三角形」を利用できる
この抽象化された公式は独特な使われ方をするので、その利用方法は出来る限り丸暗記した方が良いが沢山計算して徐々に慣れるしかないと思う
(displaystyle { _{ n }{ P }_{ r } }quad =quad underbrace { ntimes left( n-1 right) times left( n-2 right) times left( n-3 right) times cdots (n-r+1) }_{ nで始まるr個の積 } quad =quad frac { n! }{ left( n-r right) ! } )
(displaystyle { _{ n }C_{ r } }quad =quad frac { overbrace { ntimes left( n-1 right) times left( n-2 right) times left( n-3 right) times cdots times (n-r+1) }^{ nで始まるr個の積 } }{ rtimes left( r-1 right) times left( r-2 right) times left( r-3 right) times cdots times 1 } quad =quad frac { { _{ n }{ P }_{ r } } }{ r! } quad =quad frac { n! }{ left( n-r right) ! } times frac { 1 }{ r! } )
抽象的なコンビネーション式の階乗計算特有の考え方の例
(displaystyle { _{ n }{ C }_{ n-1 } }quad =quad overbrace { frac { n! }{ left{ n-left( n-1 right) right} ! } times frac { 1 }{ left( n-1 right) ! } }^{ { _{ n }{ C }_{ r }の公式を利用 } } quad =quad frac { n! }{ left{ n-n+1 right} ! } times frac { 1 }{ left( n-1 right) ! } quad =quad frac { n! }{ 1! } times frac { 1 }{ left( n-1 right) ! } quad =quad overbrace { frac { n! }{ left( n-1 right) ! } }^{ ここが重要 } )
(=quad overbrace { frac { nleft( n-1 right) left( n-2 right) cdots 1 }{ left( n-1 right) left( n-2 right) cdots 1 } }^{ 階乗を展開するとこうなる } quad =quad overbrace { n }^{ 分母分子を約分するとこうなる } = overbrace { { _{ n }{ C }_{ 1 } } }^{ コンビネーションの左右対称性 } )
が成り立つ
¶極限の収束を一台の車と例えるならば、この機関は無限に小さくなっていく(varepsilon)をガソリンにして走る。この車が壊れずに半永久的に走り続けるために、その構造には保証が必要となる
¶ここで関数の動作確認の為 (lim _{ xrightarrow 2 }{ fleft( x right) =4 })として(varepsilondelta)論法に当てはめると (lim _{ xrightarrow b }{ fleft( x right) =alpha } ) より(b=2,alpha=4)となり、(delta =sqrt { 4+varepsilon } -2 )となる
¶極限の収束を一台の車と例えるならば、この機関は無限に小さくなっていくεをガソリンにして走る。この車が壊れずに半永久的に走り続けるために、その構造には保証が必要となる
¶極限を一台の車と例えるならば、この機関は無限に小さくなっていくεをガソリンにして走る。この車が壊れずに半永久的に走り続けるために、その構造には保証が必要となる
結局、(varepsilon)と(delta)は何を意味しているのだろう? ここで関数の極限を見直して考えてみる
(lim _{ xrightarrow b }{ quad fleft( x right) } =alpha \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad delta >left| x-b right| >0quad Rightarrow quad left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (b-delta <x<b+delta quad wedge quad x≠b)quad Rightarrow quad alpha -varepsilon <fleft( x right) <alpha +varepsilon quad )quad ) )
資料:数学記号の表
「 (forall varepsilon >0quad exists delta >0) 」の部分に注目してみる
この部分を日本語に翻訳すると、「任意の正の数(varepsilon)が与えられたとき、その(varepsilon)に対応して・・・が成り立つ正の数(delta)を見つけることが出来る。」となる
注意するのは、この「(forall) (全称限量記号 forall)」と「(exists) (存在限量記号 exists)」という論理記号が集合を指しているという点と、この「対応して」という部分
「任意の正の数(varepsilon)」とは集合を表している
0でない0より大きい値の数すべて、そのような集合が(varepsilon)だと言う
続く対応という部分。数学で使う「対応」という単語は日常で使う同じ単語と意味が異なる
資料:対応 (数学)
多価関数は入出力に集合を扱う関数みたいなものだと言える(C#のコレクションとLINQとの関係みたいなもの)
これはつまり、(g:varepsilon rightarrow delta ) となるような、0でない0より大きい(delta)があると言っている
この(g)という関数(写像)は論理式内で定義されていないので自分で探す(作る)必要がある
(varepsilon)は無限に小さくなっていく値を表す変数である(しかし、決して0にはならない)
では(delta)は?
関数の極限の収束を考えた場合、(left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon) なので(varepsilon) を基準に (delta) の値を作ると考えると (fleft( bpm delta right) simeq pm varepsilon) として (gleft( alpha pm varepsilon right) simeq pm delta)のような逆関数(g)の近似を作れば良いと考えられる
表現したい極限が収束の場合、この(varepsilon delta) で (x) と (f(x))を包囲、挟み撃ちしてしまう訳だ
ここで、(delta)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いか?例えば放物線を描く関数 (y=f(x)={x}^{2}) の一点を (x=p) と定めた時、対応する(y)の値は ({p}^{2}) となる。即ち座標 ((p ,{ p }^{ 2 })) となり、この (p) に (varepsilon >0,delta >0) である事を注意しながら (b + delta) を代入すると ({ left( b +delta right) }^{ 2 }=alpha + varepsilon ) の関係が成り立つ。この式を (delta) に対して解くと
({ left( b+delta right) }^{ 2 }=alpha +varepsilon quad rightarrow quad b+delta =sqrt { alpha +varepsilon } quad rightarrow quad delta =sqrt { alpha +varepsilon } -b ) となる
ここで関数の動作確認の為 (lim _{ xrightarrow 2 }{ fleft( x right) =4 })として(varepsilondelta)論法に当てはめると (lim _{ xrightarrow b }{ fleft( x right) =alpha } ) より(b=2,alpha=4)となり、(delta =sqrt { 4+varepsilon } -2 )となる
極限の収束を一台の車と例えるならば、この機関は無限に小さくなっていく(varepsilon)をガソリンにして走る。この車が壊れずに半永久的に走り続けるために、その構造には保証が必要となる
その構造的根拠は数学的帰納で保証されている(微積分と物理/数学的帰納)。数学的帰納は以下の論理式で定義されている
自然数(ninmathbb{N}) に依存する命題 (p(n)) に対して
( (quad (p(1))quad wedge quad (quad (forall kin mathbb{N})quad (p(k)Rightarrow p(k+1))quad )quad )quad Rightarrow quad (quad (forall nin mathbb{N})quad (p(n))quad ))
が成り立つ
#jsmath
memo
関数を傾きで割ると何になる?
y=mx+b → y/m=x+b/m
(もうちょっとまともな文章にする)
結局、εとδは何を意味しているのだろう? ここで関数の極限を見直して考えてみる
関数の極限の収束は以下の論理式になる
(lim _{ xrightarrow b }{ quad fleft( x right) } =alpha \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad delta >left| x-b right| >0quad Rightarrow quad left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (b-delta <x<b+delta quad wedge quad x≠b)quad Rightarrow quad alpha -varepsilon <fleft( x right) <alpha +varepsilon quad )quad ))
(varepsilon)は無限に小さくなっていく値を表す変数である(しかし、決して0にはならない)
では(delta)は?
(関数の極限の収束を考えた場合、left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon なのでvarepsilon を基準にdelta の値を作ると考えるとfleft( bpm delta right) simeq pm varepsilon としてgleft( alpha pm varepsilon right) simeq pm delta のような逆関数の近似を作れば良いと考えられる)
(このvarepsilon delta でxとfleft( x right) を包囲、挟み撃ちしてしまう訳だが、必ずしもdelta がvarepsilon の逆関数である必要はない)
(ここで論理式に注目するとdeltaは「exists delta >0」と指定されている。「exists(ターンイー)」は存在量化子と呼ばれる論理記号で日本語では「適当な値が存在する」と訳される。この場合、「0より大きな適当な値 delta」 が存在するとなる)
この場合(delta)は「(varepsilon delta )の論理式の条件を満たせば極限は動く」と考え、εに対応してさえいれば(dot { 適 } dot { 当 } )(テキトー)な値で良い
(delta)は条件さえ満たせば、どんな形でも良いものだという事になっている
ここで一つ疑問が出てくる。何故、逆関数であると言い切らないのだろうか?・・・「対応している」という言い回しが逆関数をあらわしているのだろうか?(調べる必要アリ)TODO
TODO
この極限という機関の動力は無限に小さくなっていくεをガソリンにしている。その構造的根拠は数学的帰納で保証されている(微積分と物理/数学的帰納)。数学的帰納は以下の論理式で定義されている
自然数(ninmathbb{N}) に依存する命題 (p(n)) に対して
( (quad (p(1))quad wedge quad (quad (forall kin mathbb{N})quad (p(k)Rightarrow p(k+1))quad )quad )quad Rightarrow quad (quad (forall nin mathbb{N})quad (p(n))quad ))
が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている
(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } =f'left( a right) )
( forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (delta >left| b-a right| >0quad Rightarrow quad left| frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } -f'left( a right) right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (a-delta <b<a+delta quad wedge quad b≠a)quad Rightarrow quad f'left( a right) -varepsilon <frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } <f'left( a right) +varepsilon quad )quad )\ delta は delta=varepsilon でOK )
(f'left( b right) =lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } quad Leftrightarrow quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( b right) left( b-a right) =fleft( b right) -fleft( a right) } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( b right) b-f'left( b right) a=fleft( b right) -fleft( a right) } \ Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( b right) b=fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) a } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=frac { fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) a }{ f'left( b right) } } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } -frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } +a } \ Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } =a-frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } } \ \ ここで、f(a)=0との連立方程式をaに対して解くと考える(bがaに近づいていく)\ \ lim _{ brightarrow a }{ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } =a-frac { 0 }{ f'left( a right) } } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ quad a=b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } } )
(fleft( x right) ={ x }^{ 2 }quad ,quad f'left( x right) =2{ x }quad ,quad lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } =f'left( a right) quad の式のbとaに適当な数字をあてはめて極限をシミュレーションしてみる\ \ lim _{ 7rightarrow 3 }{ frac { fleft( 7 right) -fleft( 3 right) }{ 7-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 49-9 }{ 7-3 } =10>6quad quad cdots bとaを徐々に近づけていく\ lim _{ 6rightarrow 3 }{ frac { fleft( 6 right) -fleft( 3 right) }{ 6-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 36-9 }{ 6-3 } =9>6\ lim _{ 5rightarrow 3 }{ frac { fleft( 5 right) -fleft( 3 right) }{ 5-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 25-9 }{ 5-3 } =8>6\ lim _{ 4rightarrow 3 }{ frac { fleft( 4 right) -fleft( 3 right) }{ 4-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 16-9 }{ 4-3 } =7>6\ lim _{ 3.1rightarrow 3 }{ frac { fleft( 3.1 right) -fleft( 3 right) }{ 3.1-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 9.61-9 }{ 3.1-3 } =6.1>6\ lim _{ 3rightarrow 3 }{ frac { fleft( 3 right) -fleft( 3 right) }{ 3-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad 計算不可、左辺にfrac { 0 }{ 0 } 型の式が出来て計算できないfrac { 9-9 }{ 3-3 } >6)
¶(displaystyle f'left( a right) =lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } quad Leftrightarrow quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( a right) left( b-a right) =fleft( b right) -fleft( a right) } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( a right) b-f'left( a right) a=fleft( b right) -fleft( a right) } )
(displaystyle Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( a right) b=fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( a right) a } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=frac { fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( a right) a }{ f'left( a right) } } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=frac { fleft( b right) }{ f'left( a right) } -frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } +a } )
(displaystyle Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( a right) } =a-frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } } )
ここで、(fleft( b right) =0)との連立方程式を(b)に対して解くと考える
(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ b-frac { 0 }{ f'left( a right) } =a-frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=a-frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } } )
(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ }) の極限の関係を漸化式と考え、(b={ x }_{ n+1 }、a={ { x }_{ n } })、とすると
(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ b=a-frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } } quad Leftrightarrow quad quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } ) となる
これをεδ論法で考えるとこうなる
TODO
結局、εとδは何を意味しているのだろう? ここで関数の極限を見直して考えてみる
関数の極限の収束は以下の論理式になる
(lim _{ xrightarrow b }{ quad fleft( x right) } =alpha \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad delta >left| x-b right| >0quad Rightarrow quad left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (b-delta <x<b+delta quad wedge quad x≠b)quad Rightarrow quad alpha -varepsilon <fleft( x right) <alpha +varepsilon quad )quad ))
(varepsilon)は無限に小さくなっていく値を表す変数である(しかし、決して0にはならない)
では(delta)は?
(関数の極限の収束を考えた場合、left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon なのでvarepsilon を基準にdelta の値を作ると考えるとfleft( bpm delta right) simeq pm varepsilon としてgleft( alpha pm varepsilon right) simeq pm delta のような逆関数の近似を作れば良いと考えられる)
(このvarepsilon delta でxとfleft( x right) を包囲、挟み撃ちしてしまう訳だが、必ずしもdelta がvarepsilon の逆関数である必要はない)
(ここで論理式に注目するとdeltaは「exists delta >0」と指定されている。「exists(ターンイー)」は存在量化子と呼ばれる論理記号で日本語では「適当な値が存在する」と訳される。この場合、「0より大きな適当な値 delta」 が存在するとなる)
この場合(delta)は「(varepsilon delta )の論理式の条件を満たせば極限は動く」と考え、εに対応してさえいれば(dot { 適 } dot { 当 } )(テキトー)な値で良い
(delta)は条件さえ満たせば、どんな形でも良いものだという事になっている
ここで一つ疑問が出てくる。何故、逆関数であると言い切らないのだろうか?・・・「対応している」という言い回しが逆関数をあらわしているのだろうか?(調べる必要アリ)TODO
TODO
この極限という機関の動力は無限に小さくなっていくεをガソリンにしている。その構造的根拠は数学的帰納で保証されている(微積分と物理/数学的帰納)。数学的帰納は以下の論理式で定義されている
自然数(ninmathbb{N}) に依存する命題 (p(n)) に対して
( (quad (p(1))quad wedge quad (quad (forall kin mathbb{N})quad (p(k)Rightarrow p(k+1))quad )quad )quad Rightarrow quad (quad (forall nin mathbb{N})quad (p(n))quad ))
が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている
(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } =f'left( a right) )
( forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (delta >left| b-a right| >0quad Rightarrow quad left| frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } -f'left( a right) right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (a-delta <b<a+delta quad wedge quad b≠a)quad Rightarrow quad f'left( a right) -varepsilon <frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } <f'left( a right) +varepsilon quad )quad )\ delta は delta=varepsilon でOK )
(f'left( b right) =lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } quad Leftrightarrow quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( b right) left( b-a right) =fleft( b right) -fleft( a right) } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( b right) b-f'left( b right) a=fleft( b right) -fleft( a right) } \ Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( b right) b=fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) a } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=frac { fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) a }{ f'left( b right) } } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } -frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } +a } \ Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } =a-frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } } \ \ ここで、f(a)=0との連立方程式をaに対して解くと考える(bがaに近づいていく)\ \ lim _{ brightarrow a }{ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } =a-frac { 0 }{ f'left( a right) } } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ quad a=b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } } )
(fleft( x right) ={ x }^{ 2 }quad ,quad f'left( x right) =2{ x }quad ,quad lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } =f'left( a right) quad の式のbとaに適当な数字をあてはめて極限をシミュレーションしてみる\ \ lim _{ 7rightarrow 3 }{ frac { fleft( 7 right) -fleft( 3 right) }{ 7-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 49-9 }{ 7-3 } =10>6quad quad cdots bとaを徐々に近づけていく\ lim _{ 6rightarrow 3 }{ frac { fleft( 6 right) -fleft( 3 right) }{ 6-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 36-9 }{ 6-3 } =9>6\ lim _{ 5rightarrow 3 }{ frac { fleft( 5 right) -fleft( 3 right) }{ 5-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 25-9 }{ 5-3 } =8>6\ lim _{ 4rightarrow 3 }{ frac { fleft( 4 right) -fleft( 3 right) }{ 4-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 16-9 }{ 4-3 } =7>6\ lim _{ 3.1rightarrow 3 }{ frac { fleft( 3.1 right) -fleft( 3 right) }{ 3.1-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad frac { 9.61-9 }{ 3.1-3 } =6.1>6\ lim _{ 3rightarrow 3 }{ frac { fleft( 3 right) -fleft( 3 right) }{ 3-3 } } >f'left( 3 right) quad quad Leftrightarrow quad quad 計算不可、左辺にfrac { 0 }{ 0 } 型の式が出来て計算できないfrac { 9-9 }{ 3-3 } >6)
(displaystyle f'left( a right) =lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } quad Leftrightarrow quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( a right) left( b-a right) =fleft( b right) -fleft( a right) } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( a right) b-f'left( a right) a=fleft( b right) -fleft( a right) } )
(displaystyle Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ f'left( a right) b=fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( a right) a } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=frac { fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( a right) a }{ f'left( a right) } } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=frac { fleft( b right) }{ f'left( a right) } -frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } +a } )
(displaystyle Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( a right) } =a-frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } } )
ここで、(fleft( b right) =0)との連立方程式を(b)に対して解くと考える
(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ b-frac { 0 }{ f'left( a right) } =a-frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } } quad Leftrightarrow quad quad lim _{ brightarrow a }{ b=a-frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } } )
(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ }) の極限の関係を漸化式と考え、(b={ x }_{ n+1 }、a={ { x }_{ n } })、とすると
(displaystyle lim _{ brightarrow a }{ b=a-frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } } quad Leftrightarrow quad quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } ) となる
これをεδ論法で考えるとこうなる
TODO
(lim _{ brightarrow a }{ b=a-frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } } quad Leftrightarrow quad quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } )
これをなんとか論理的な証明を表現したい。εδ論法の機能は以下の①②の手順を踏んでいる。これを踏襲して表現する
①無限を定義
②無限を使って収束を定義(収束はアルキメデスの原則に従う。数の大小の比較を反転させた仮定に対する否定を利用する)
(虚数の情緒P424とP450~を接続)
(lim _{ brightarrow a }{ quad a+frac { fleft( a right) }{ f'left( a right) } quad =quad b } \ \ begin{cases} fleft( x right) ={ x }^{ n } \ f'left( x right) =n{ x }^{ n-1 } end{cases}より\ \ lim _{ brightarrow a }{ quad a+frac { a^{ n } }{ na^{ n-1 } } =b } quad Leftrightarrow quad lim _{ brightarrow a }{ quad frac { na^{ n }+a^{ n } }{ na^{ n-1 } } =b } quad quad Leftrightarrow quad lim _{ brightarrow a }{ quad na^{ n }+a^{ n }=na^{ n-1 }b } quad quad Leftrightarrow quad lim _{ brightarrow a }{ quad a^{ n }left( n+1 right) =na^{ n-1 }b } \ \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (delta >left| b-a right| >0quad Rightarrow quad left| a^{ n }left( n+1 right) -na^{ n-1 }b right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (a-delta <b<a+delta quad wedge quad b≠a)quad Rightarrow quad na^{ n-1 }b-varepsilon <a^{ n }left( n+1 right) <na^{ n-1 }b+varepsilon quad )quad )\ \ begin{cases} a^{ n }=fleft( a right) \ na^{ n-1 }=f'left( a right) end{cases}より\ \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (delta >left| b-a right| >0quad Rightarrow quad left| fleft( a right) cdot left( n+1 right) -f'left( a right) cdot b right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (a-delta <b<a+delta quad wedge quad b≠a)quad Rightarrow quad f'left( a right) cdot b-varepsilon <fleft( a right) cdot left( n+1 right) <f'left( a right) cdot b+varepsilon quad )quad ) )
ここではεδ論法(イプシロンデルタ論法)の仕組み。何の為にこれがあるのか?何をする為に使うのか?その機能を考察する。一番単純なケースである
(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } =alpha ) 、(alpha=0)を例に考えていく。この式のεδ論法の論理式は以下になる
(forall varepsilon >0quad (quad exists delta >0quad (quad forall nin mathbb{N}quad (quad n>delta quad Rightarrow quad left| { a }_{ n }-alpha right| <varepsilon quad ))))quad )
まず、各命題の意味を機能と仕組みの観点から考えて説明する
(forall varepsilon >0) | 0という下界を持つ単調減少する任意の数(varepsilon) |
(exists delta >0) | 0という下界を持つ単調増加する選ばれた数(delta)。又、(varepsilon)と対応する関係(相互に関数関係)にある この論証を成立させる(delta)は(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } =0) より (displaystyle delta =frac { 1 }{ varepsilon } )と定義できる |
(forall nin mathbb{N}) | これは(forall varepsilon >0)を考えた時、必須ではない。しかし(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } =0) を(n)に対応する数列(| { a }_{ n } |)と考える際に役に立つ 補助用の命題と考えると良い。本来ここは (forall n>0) と書くのがより正確である <追記>デデキント切断で有理数の集合を使う事を考えると自然数である必要がある?? |
(n>delta) (Rightarrow | { a }_{ n } | <varepsilon ) | (n)は(delta)を下界として単調増加する。これは(n)のカウントアップが(delta)に依存している事を示している ならば(| { a }_{ n } | )は(varepsilon)を上界として単調減少する((alpha)は(0)なので省略しています) |
(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } =0) は(n)を無限大(infty)にした際、(frac { 1 }{ n })は(0)に収束する事を表している
(alpha=0)として考えた際、(n)に対応する数列(left| { a }_{ n } right| )が(0)を下界として単調減少する事を説明できれば収束を証明できた事になる
数列の単調減少とは、すなわち任意の(n=1,2,3...)において({a}_{n-1}>{a}_{n})が成り立つ
数列の下界が(0)とは、すなわち任意の(n=1,2,3...)において({a}_{n}>0)が成り立つ
<収束の証明手順まとめ>
単調減少や下界は数の大小関係で説明できる。数の大小とは「ふたつの数」が必要となる(ひとつの数では比較対象がいないので、ものの大小すら論じる事が出来ない)
({a}_{n})と(n)という2軸上の点をなにかと比較したい時、(varepsilon)と(delta)という2軸上の点という比較対象が必要となる
[添付]
つまり(varepsilon)と(delta)は「一つ隣の点」と言える。数列で言えば({a}_{n})の隣、({a}_{n+1})や({a}_{n-1})となりえる
これと比較すれば証明が出来る
({a}_{n})と(n)、(varepsilon)と(delta)は対応する関係にある
({ a }_{ n }=frac { 1 }{ n } quad ,quad n=frac { 1 }{ { a }_{ n } } quad ,quad varepsilon =frac { 1 }{ delta } quad ,quad delta =frac { 1 }{ varepsilon } )
(n>delta , exists delta >0) より (n>delta>0) となる。又、
(forall varepsilon >0 , left| { a }_{ n } right| <varepsilon ) より (0<left| { a }_{ n } right| <varepsilon) となる
これを踏まえて(varepsilondelta)を「一つ隣の点(unityのC#で例えればVector2型の配列で一つ隣)」と考えると
(varepsilon =left{ varepsilon はforall varepsilon >0とvarepsilon =frac { 1 }{ delta } を満たし0を下界とする1以下の単調減少する数である right} =left{ 1,frac { 1 }{ 2 } ,frac { 1 }{ 3 } ,frac { 1 }{ 4 } ... right} =left{ 限りなく0に近づき小さくなっていく数列 right} )
(delta =left{ delta はexists delta >0とdelta =frac { 1 }{ varepsilon } を満たし0を下界とする単調増加する数である right} =left{ 1,2,3,4... right} =left{ 無限に大きくなっていく数列 right} )
(n=left{ n>delta right} =left{ 2,3,4,5... right} =left{ delta により下から押し上げられ無限に大きくなっていく数列 right} )
({ a }_{ n }=left{ frac { 1 }{ n } right} =left{ frac { 1 }{ 2 } ,frac { 1 }{ 3 } ,frac { 1 }{ 4 } ,frac { 1 }{ 5 } ... right} =left{ 0<left| { a }_{ n } right| <varepsilon よりvarepsilon で頭は押さえられ限りなく0に近づき小さくなっていく数列 right} )
になります。補足:{}で括ることにより数列であることを表しています
ここで({ a }_{ n })に注目すると(0)の下界を持ち単調減少していることが確認できます。つまり0への収束がこれで証明できた事となります
実務では(varepsilon=frac { 1 }{ 100000000000000000000000000000000000000000000000000000 })のような任意の数(勝手な数)をいきなり入れてもかまいません
無限に近い分母の数を入れても(left| { a }_{ n } right|) は (0<left| { a }_{ n } right| <varepsilon)になります
ここまで一見、証明は出来たように見えますが実は細かい事を言うと出来ていません。何故なら(n)が自然数でない状況を説明できていないからです
そこで、(n)が正の実数の値を取る場合((forall n>0))を考えてみます
<原因>
例えば(n)が(pi)や(sqrt { 2 } )等のような実数だったとします。これに対する(varepsilon)や(delta)は上記の証明方法の場合
表現する事が出来ません。何故なら有理数では無理数である実数を表現する事が出来ないからです
(sqrt { 2 } = 1.4142135623730950488016887242097... ) これは有理数で近似は表せるが、そのものズバリは出来ない
つまり二乗すると(2)になる有理数表現された数はない
(D=left{ fcdot sigma |sigma in R right} \ R=left{ iota ,sigma ,{ sigma }^{ 2 },{ sigma }^{ 3 },{ sigma }^{ 4 },{ sigma }^{ 5 } right} \ D=left{ fcdot iota =f,fcdot sigma ,fcdot { sigma }^{ 2 },fcdot { sigma }^{ 3 },fcdot { sigma }^{ 4 },fcdot { sigma }^{ 5 } right} \ D=left{ f={ g }_{ 1 }=fcdot { nu }_{ 1 },fcdot sigma ={ g }_{ 2 }=fcdot { nu }_{ 2 },fcdot { sigma }^{ 2 }={ g }_{ 3 }=fcdot { nu }_{ 3 },fcdot { sigma }^{ 3 }={ g }_{ 4 }=fcdot { nu }_{ 4 },fcdot { sigma }^{ 4 }={ g }_{ 5 }=fcdot { nu }_{ 5 },fcdot { sigma }^{ 5 }={ g }_{ 6 }=fcdot { nu }_{ 6 } right} quad \ left| D right| もleft| R right| も6個ずつある。違いはfを演算した後かどうか\ そこで\ { H }_{ j }=left{ mu in R|fcdot mu ={ g }_{ j } right} \ \ f=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ A & B & C & A & B & C end{pmatrix}\ { H }_{ 1 }=left{ { mu }_{ 1 }=iota ,{ mu }_{ 2 }={ sigma }^{ 3 } right} =left{ fcdot { mu }_{ 1 }=f=fcdot { sigma }^{ 3 }=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ A & B & C & A & B & C end{pmatrix}={ g }_{ 1 }=fcdot { nu }_{ 1 }quad ,quad fcdot { mu }_{ 2 }=f=fcdot { sigma }^{ 3 }=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ A & B & C & A & B & C end{pmatrix}={ g }_{ 1 }=fcdot { nu }_{ 1 } right} \ left| { H }_{ 1 } right| =2\ { H }_{ 2 }=left{ { mu }_{ 1 }={ sigma },{ mu }_{ 2 }={ sigma }^{ 4 } right} =left{ fcdot { mu }_{ 1 }=fcdot { sigma }=fcdot { sigma }^{ 4 }=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ C & A & B & C & A & B end{pmatrix}={ g }_{ 2 }=fcdot { nu }_{ 2 }quad ,quad fcdot { mu }_{ 2 }=fcdot { sigma }=fcdot { sigma }^{ 3 }=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ C & A & B & C & A & B end{pmatrix}={ g }_{ 2 }=fcdot { nu }_{ 2 } right} \ left| { H }_{ 2 } right| =2\ { H }_{ 3 }=left{ { mu }_{ 1 }={ sigma }^{ 2 },{ mu }_{ 2 }={ sigma }^{ 5 } right} =left{ fcdot { mu }_{ 1 }=fcdot { sigma }^{ 2 }=fcdot { sigma }^{ 5 }=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ B & C & A & B & C & A end{pmatrix}={ g }_{ 3 }=fcdot { nu }_{ 3 }quad ,quad fcdot { mu }_{ 2 }=fcdot { sigma }^{ 2 }=fcdot { sigma }^{ 5 }=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ B & C & A & B & C & A end{pmatrix}={ g }_{ 3 }=fcdot { nu }_{ 3 } right} \ left| { H }_{ 3 } right| =2\ \ 事実1:各集合{ H }_{ j }の要素の個数left| { H }_{ j } right| はすべて等しい。この場合k=2\ \ ①{ { H }_{ j }の各要素は互いに異なる。mu }_{ 1 }cdot { nu }_{ 1 }≠{ mu }_{ 2 }cdot { nu }_{ 1 }rightarrow { mu }_{ 1 }≠{ mu }_{ 2 }quad quad 例:{ nu }_{ 1 }=iota とすると、{ mu }_{ 1 }=iota ,{ mu }_{ 2 }={ sigma }^{ 3 }quad { mu }_{ 1 }と{ mu }_{ 2 }が同じになることはない\ ②gを逆置換left( 逆関数 right) して元のfにもどせない要素mu in Rは{ H }_{ j }に含まれない\ Xは番号の集合でYは料理の集合。f:Xrightarrow Yquad ,quad g:Xrightarrow Yquad ,quad { sigma }^{ j }in Rquad ,quad mu in Rquad quad 以上の事からnu in Rにならざる得なくなる\ { nu の逆置換left( 逆関数 right) はquad nu }^{ -1 }:Xrightarrow Xquad ,quad { nu }^{ -1 }in Rquad left( Rは置換群として定義しているので演算が閉じている。つまり逆元はRの中に必ずある right) \ \ 例:\ { g }_{ 2 }=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ C & A & B & C & A & B end{pmatrix}quad ,quad { mu }={ sigma }quad rightarrow quad overbrace { { nu }^{ -1 }={ sigma }^{ 6-1 }={ sigma }^{ 5 } }^{ P57のやり方で逆元を求める } quad rightarrow quad { { g }_{ 2 } }cdot { nu }^{ -1 }=f=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ A & B & C & A & B & C end{pmatrix}=fcdot { mu }cdot { nu }^{ -1 }quad \ \ \ \ ①と②は全てのパターンが漏れなく対応し異なる事を保証している(つまり数え上げの「組み合わせ」になっている) )
この6皿に対し料理の種類が2種であれば順列的に「二次の対称群S」、(2×2×2×2×2×2={ 2 }^{ 6 }=64)通りの対称性を持った置換が作られる
3種なら(3×3×3×3×3×3={ 3 }^{ 6 }=729)通りの対称性を持った置換(確率などでよく使う順列にちょっと近づいてきた・・・。つまり順列は対称群?)
集合の観点で見ると、「 置換群R(subseteq) 対称群S 」となっている。RはSの部分集合の関係にある
このオイラーの定理の式はユークリッドの互除法や素因数分解に繋がりがあると考えられる。つまり最小非負剰余が1になるイコール(資料:書籍「なっとくする群環体」P36~P37が関係している)・・・
(p+requiv q+1quad (modquad m)quad という仮説を立てた\ C(r)equiv C(1)\ C(r),C(1)in { mathbb{Z} }_{ m }\ )
rが0になることはp,qが互いに素となる?・・・(P37)
・・・考え中(否、余計なことは考えずに読み進めるべき)
シグマの等比を一つずらしたものと元のものを引き算して数列同士を打ち消し合い式をシンプルにする
(displaystyle (1-r)sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } )
(displaystyle rightarrow (1-r)sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =left{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } right} -left{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } right} )
(displaystyle rightarrow (1-r)sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }left( 1-{ r }^{ n } right) )
(displaystyle rightarrow sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =frac { { a }_{ 1 }left( 1-{ r }^{ n } right) }{ 1-{ r } } quad )
これにより初項と末項のみが残る状態になり、両辺を((1-r))で割るだけで式はシンプルになる
あらゆる場面で登場する無限級数の基本的な仕組みを理解することは重要と考えられる。たとえば確率において、無限回数の試行から得られる期待値の算出等にも利用される。微積分(シグマなどの総和)と組んで扱う以上その応用範囲は広い。ここで、等比数列から等比数列の総和、無限級数に至るその仕組みを再検証し「無限級数」を道具として手に入れる事を目的としてみる
資料:等比数列
({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }quad quad quad 公比数列:{ a }_{ n }quad ,quad 初項:{ a }_{ 1 }quad ,quad 公比:rquad ,quad 項数:n)
(初項:{ a }_{ 1 }=1quad ,quad 公比:r=frac { 1 }{ 4 } quad ,quad 項数:n=5quad の場合\ { a }_{ n }quad =quad 1cdot { left( frac { 1 }{ 4 } right) }^{ n-1 }quad =quad left{ 1,frac { 1 }{ 4 } ,frac { 1 }{ 16 } ,frac { 1 }{ 64 } ,frac { 1 }{ 256 } right} )
0乗はどんな数字でも1になる。{}で囲んだカンマで区切られた数字は数列を表す
(displaystyle{ S }_{ n }=frac { nleft( { a }+l right) }{ 2 } quad quad quad quad quad (n:総項数quad { a }:初項quad l:末項))
尚、末項の (l) を ({ a }_{ 1 }+left( n-1 right) d ) とした時、(displaystyle{ S }_{ n }=frac { nleft( { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }+left( n-1 right) d right) }{ 2 } quad rightarrow quad { S }_{ n }=frac { n }{ 2 } left{ 2{ a }_{ 1 }+left( n-1 right) d right} ) となる
(1)から(10)までの総和
初項:(1)、末項:(10)、公差:(1)、項数:(10)。 式は(frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 }) より (frac { 10cdot (1+10) }{ 2 } =55) となる
等差数列、({ a }_{ n }=3+(n-1)cdot 5) の15項までの総和は (frac { n }{ 2 } left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d right)) より (frac { 15 }{ 2 } left( 2cdot 3+(15-1)cdot 5 right) =570quad )となる
等差数列の総和の仕組みをシグマで考えると...
(displaystyle quad 2sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ n } } =nleft{ 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d right} ) となる。これを幾何的に図にすると以下になる。長方形の計算を利用している
[添付]
途中の項数から始まる総和を求めたい場合、シグマ同士の引き算を行う
TODO
本で行っている計算を別のやり方、具体的には微積分を使って求めてみる
まず、放物線の形はどんなに拡大しようが縮小しようが形は変わらないので全体を4倍にしてしまう。確率は割合を求める計算だから問題ない筈だ
そして (y={ x }^{ 2 }) の第一象限での面積を考える
[添付]
(y={ x }^{ 2 }) のグラフ上の点は (left( x=sqrt { y } ,y right) ) となり、その外側の面積は積分で考えると (displaystyle int _{ 0 }^{ sqrt { y } }{ { x }^{ 2 }dx } ) となる。この式を解くと
(displaystyle int _{ 0 }^{ sqrt { y } }{ { x }^{ 2 }dx } quad mapsto quad { left[ frac { 1 }{ 2+1 } { x }^{ 2+1 } right] }_{ 0 }^{ sqrt { y } }quad mapsto quad { left[ frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } right] }_{ 0 }^{ sqrt { y } }quad mapsto quad frac { 1 }{ 3 } { sqrt { y } }^{ 3 }-frac { 1 }{ 3 } cdot { 0 }^{ 3 }quad mapsto quad frac { 1 }{ 3 } y{ sqrt { y } })
となる。これは放物線のグラフの外側の面積なので内側の面積を求めることにする。積分が適用されている「長方形の矩形の面積」は(left( x=sqrt { y } ,y right) ) より (ysqrt { y } )となる
この矩形と積分の値を引き算すると内側が出てくる筈だ。これは
(ysqrt { y } -frac { 1 }{ 3 } y{ sqrt { y } }quad =quad frac { 2 }{ 3 } y{ sqrt { y } }) となる
これに対する、乱数の試行範囲は(y)の値により({ y }^{ 2 })となる
[添付]
従って確率を求める式は、起こり得る全体の面積と希望するものの面積との割合との計算により
(frac { frac { 2 }{ 3 } y{ sqrt { y } } }{ { y }^{ 2 } } quad = quad frac { 2 }{ 3 } cdot frac { sqrt { y } }{ y } ) となる
この式を使って確率の値を確かめると本と同じになることが確認できるので間違いないと思われる
試しに(y=16)を求めてみる
(frac { 2 }{ 3 } cdot frac { sqrt { 16 } }{ 16 } =0.16666....)
この(y)の値、つまり「実数の乱数の試行範囲」を限りなく大きくしていくと虚数の出る確率が極限まで減っていくのがイメージできる
・・・なにか、ひっかかる・・・たぶん間違いがある。答えはあってるが考え方が間違っている箇所がありそう
今度は数直線上の(frac { 1 }{ 3 } )を基準にふたつの有理数の集合に切断してみると(この解釈は間違っている可能性がある???)
(displaystyle 切断left( quad A:=left{ ain { { Q } }|a<frac { 1 }{ 3 } right} quad ,quad B:=left{ bin { { Q } }|bge frac { 1 }{ 3 } right} quad right) quad Rightarrow quad 切断left( quad lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ 3 } -frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } } quad ,quad frac { 1 }{ 3 } quad right) quad Rightarrow quad 切断left( quad 0.dot { 3 }2 quad ,quad 0.dot { 3 } quad right) )
(frac { 4 }{ 5 } =frac { 1 }{ 5 } +frac { 1 }{ 5 } +frac { 1 }{ 5 } +frac { 1 }{ 5 } )
分数に指数や累乗根が入きた場合、指数法則を使う事で考えや計算がシンプルになる
指数法則は掛算が足算に、割算が引算になったりする。ここに対数の性質が見られる
が、しかし、数的感覚(直観)と計算パターンから得られる答えとの差異を埋める為に今一度確認をしてみる
そして分数の逆数として組み合わせて考えると(-1)乗の考え方が出てくる
(sqrt { 3 } =frac { 1 }{ sqrt { 3 } } +frac { 1 }{ sqrt { 3 } } +frac { 1 }{ sqrt { 3 } } =3left( frac { 1 }{ sqrt { 3 } } right) =frac { 3 }{ sqrt { 3 } } )
(frac { 1 }{ 5 } )を(4)個集めると(frac { 4 }{ 5 }) 。(frac { 1 }{ sqrt { 3 } } )を(3)個集めると(sqrt { 3 } )になる
指数が絡んだ分数計算では等比が何時の間にか等差になっている事に気が付く時がある。つまり対数の性質がここに見られる
続ける・・・
ここまで
(frac { 3 }{ sqrt { 3 } } =frac { 1 }{ sqrt { 3 } } +frac { 1 }{ sqrt { 3 } } +frac { 1 }{ sqrt { 3 } } =sqrt { 3 } =1.732050808...={ sqrt [ 2 ]{ 3 } }^{ 1 })
であることを確認している。これはパターンだ。このまま、このような計算を進めてみる
(frac { 3 }{ sqrt [ 3 ]{ 3 } } =frac { 1 }{ sqrt [ 3 ]{ 3 } } +frac { 1 }{ sqrt [ 3 ]{ 3 } } +frac { 1 }{ sqrt [ 3 ]{ 3 } } ={ sqrt [ 3 ]{ 3 } }^{ 2 }=2.080083823...)
(frac { 3 }{ sqrt [ 4 ]{ 3 } } =frac { 1 }{ sqrt [ 4 ]{ 3 } } +frac { 1 }{ sqrt [ 4 ]{ 3 } } +frac { 1 }{ sqrt [ 4 ]{ 3 } } ={ sqrt [ 4 ]{ 3 } }^{ 3 }=2.279507057...)
(frac { 3 }{ sqrt [ 5 ]{ 3 } } =frac { 1 }{ sqrt [ 5 ]{ 3 } } +frac { 1 }{ sqrt [ 5 ]{ 3 } } +frac { 1 }{ sqrt [ 5 ]{ 3 } } ={ sqrt [ 5 ]{ 3 } }^{ 4 }=2.408224685...)
このような計算が可能な事が計算機で確認できる。つまり
(displaystyle frac { 3 }{ sqrt { 3 } } quad =quad frac { 3 }{ { 3 }^{ frac { 1 }{ 2 } } } quad =quad frac { { 3 }^{ frac { 1 }{ 2 } } }{ 1 } quad =quad { 3 }^{ frac { 1 }{ 2 } }quad =quad sqrt { 3 } )
(displaystyle frac { 3 }{ sqrt [ 3 ]{ 3 } } quad =quad frac { 3 }{ { 3 }^{ frac { 1 }{ 3 } } } quad =quad frac { { 3 }^{ frac { 2 }{ 3 } } }{ 1 } quad =quad { 3 }^{ frac { 2 }{ 3 } }quad =quad { sqrt [ 3 ]{ 3 } }^{ 2 })
(displaystyle frac { 3 }{ sqrt [ 4 ]{ 3 } } quad =quad frac { 3 }{ { 3 }^{ frac { 1 }{ 4 } } } quad =quad frac { { 3 }^{ frac { 3 }{ 4 } } }{ 1 } quad =quad { 3 }^{ frac { 3 }{ 4 } }quad =quad { sqrt [ 4 ]{ 3 } }^{ 3 })
(displaystyle frac { 3 }{ sqrt [ 5 ]{ 3 } } quad =quad frac { 3 }{ { 3 }^{ frac { 1 }{ 5 } } } quad =quad frac { { 3 }^{ frac { 4 }{ 5 } } }{ 1 } quad =quad { 3 }^{ frac { 4 }{ 5 } }quad =quad { sqrt [ 5 ]{ 3 } }^{ 4 } )
となる。そして...
(displaystyle frac { sqrt { 3 } }{ sqrt [ 3 ]{ 3 } } quad =quad frac { { 3 }^{ frac { 1 }{ 2 } } }{ { 3 }^{ frac { 1 }{ 3 } } } quad =quad { 3 }^{ frac { 1 }{ 6 } }quad =quad sqrt [ 6 ]{ 3 } quad =quad 1.20093.6955)
(displaystyle frac { sqrt [ 3 ]{ 3 } }{ sqrt { 3 } } quad =quad frac { { 3 }^{ frac { 1 }{ 3 } } }{ { 3 }^{ frac { 1 }{ 2 } } } quad =quad { 3 }^{ -frac { 1 }{ 6 } }quad =quad frac { 1 }{ sqrt [ 6 ]{ 3 } } quad =quad 0.832683177)
のような計算もできる。指数法則で考え直してみる
。これを応用して考えると...
(frac { 256 }{ sqrt [ 8 ]{ 256 } } ={ sqrt [ 8 ]{ 256 } }^{ 7 }=128\ frac { 64 }{ sqrt [ 32 ]{ 64 } } ={ sqrt [ 32 ]{ 64 } }^{ 31 }=56.20006913...\ frac { 12 }{ sqrt [ 5 ]{ 12 } } ={ sqrt [ 5 ]{ 12 } }^{ 4 }=7.300372103...)
のような計算も可能となる。これを何かに使えるかもしれない
<アルキメデスの原則を論理記号を使って数式化したもの>
イプシロンデルタ論法を利用する
(forall varepsilon ,ainmathbb{R}quad quad exists nin mathbb{N}quad varepsilon ,a>0quad Rightarrow quad nvarepsilon >a)
これを日本語に直すと「全ての正の実数(varepsilon,a)に対して、ある自然数(n)が必ず存在し、(nvarepsilon >a)を満たす」となる
unityで考えるとこうなるのかな?というコード(実際に計算で大小比較に使えるのかは未確認。あくまでメモ程度)
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結果
DedekindCut( 2.4999998807907 , 2.5 )
<考え中>
根本的な考え違いをしていたらしい
「切断そのものを実数とみなす」
<メモ>
切断の境目が有理数で割り切れている時と無理数である時のケースがあって、
割切れている時は、その値の表し方はAとBの2通りある。無理数の場合はより近い値の方を利用する
数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデキント切断と言う
[添付]
これから数直線上の1を基準に有理数の集合をふたつに切断する
境目が有理数の場合、その境目を切断したふたつのどちらかに入れて置く事になります。ここでは集合(B)に入れる事にしておきます
(A)と(B)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは(0)を含まない
(a)が(A)の集合に属し、(b)が(B)の集合に属すならば、(ale b)が成り立つ
上記の条件を踏まえて実際に1を基準に切断するとこうなる
[添付]
(A:=left{ ain mathbb{Q}|a<1 right} quad ,quad B:=left{ bin mathbb{Q}|bge 1 right} )
(補足:式の読み方→基礎/数学に関する暗黙と習慣)
「1」は有理数で様々に表現できる。例えば(frac { 1 }{ 1 })、(frac { 2 }{ 2 })等、このような(1)を表現できる有理数の数列を(B=left{ frac { 1 }{ 1 } ,frac { 2 }{ 2 } ,frac { 3 }{ 3 } ,... right})とする。この集合(B)は「切断の境目と寸分狂いなく重なっている」。つまり、(B:=left{ bin mathbb{Q}|bge 1 right})となる。
次に集合(A)は認識出来うる、もっとも(1)に近い有理数となる。例えば(frac { 9 }{ 10 })や(frac { 99 }{ 100 })、(frac { 999 }{ 1000 })と近づけていく事が出来る。つまり(A=left{ frac { 9 }{ 10 } ,frac { 99 }{ 100 } ,frac { 999 }{ 1000 } ,... right} )となり、(A:=left{ ain mathbb{Q}|a<1 right})となる。この集合は決して(1)という「切断の境目に重なることは無い」。しかし、「境目に限りなく近づける事は出来る」
<実数の定義>
bは有理数なので以下のようにも表せる
(displaystyle bquad =quad frac { 1 }{ 3 } times 3quad =quad 0.3333dot { 3 } times 3quad =quad 0.dot { 9 } quad =quad 1)
ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる(実際に計算機を用意して以下を試す)
(1div 9=0.11111...=0.dot { 1 } \ 2div 9=0.22222...=0.dot { 2 } \ 3div 9=0.33333...=0.dot { 3 } \ quad quad quad vdots \ 8div 9=0.88888...=0.dot { 8 } \ 9div 9=0.99999...=0.dot { 9 } =1)
有理数の隙間(穴)に切断の境目がある。デデキントはこの隙間を数とみなすことにした
次に数直線上の(sqrt { 2 } )を基準に有理数の集合をふたつに切断する事を考えて行く
<帰納を使った偶数の証明>
(begin{cases} { a }_{ 1 }=2 \ { a }_{ n+1 }={ a }_{ n }+2 end{cases})
この帰納を使って生成される数列が偶数であることを証明する
数列の漸化式は帰納的定義となる。帰納的に定義された対象(つまり数列)は「数学的帰納法による証明」が行える
ここから具体的に(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } =0 } )の極限について考えてみる。これは(n)を無限に近づけると(frac { 1 }{ n })が限りなく(0)に近づく事を表現している
この場合の極限の論証は以下になる
(forall varepsilon >0quad (quad exists delta >0quad (forall nin { mathbb{N} quad }(n>delta quad (left| frac { 1 }{ n } -0 right| <varepsilon )quad ))))
どんな正の数(varepsilon)に対しても、正の数(delta)をうまく定めると、(n>delta )であるどんな自然数(n)に対しても(left| frac { 1 }{ n } right| <varepsilon )となる
テンプレートである基本の論証から(exists delta in { mathbb{N} })の部分を(exists delta >0)に、({ a }_{ n })の部分を(frac { 1 }{ n })に、(a)の部分を(0)にチョコチョコと書き換えている
このように式に合わせてテンプレートを書き換えてεδ論法を利用した
では論証の意味を検証していく
εδ論法はその内容を代数だけで考えるよりもグラフを見ながら考えた方が理解しやすい。以下にこの論証の内容を図で表す
[添付]
まず、論証式の括弧の一番内側から始める。内側に対して外側の条件を全て満たしながら値を追いかける必要がある
括弧の一番内側は(left| frac { 1 }{ n } -0 right| <varepsilon )、それと同時に一番外側の(∀ε>0)を満たしておく、(forall nin { mathbb{N} })より(n)が自然数である必要がある。グラフ図のεを見ると正の数であり、数列値(frac { 1 }{ n })と極限値(0)との距離より大きい値が勝手に自由に選ばれている。グラフ図のεの値は条件を満たしている
次にひとつ外側の論証式、(n>delta quad)を見てみる。これはグラフ図を見ればどんな値が相応しいか良く分る。特に重要なのは「(varepsilon)は(delta)に対応する」関係を満たす必要がある点。これは、(delta =f(varepsilon ))という"なんらかの関数関係"にする必要があるという事。この場合、適切な(delta)は({ a }_{ n }=frac { 1 }{ n } )より(varepsilon =frac { 1 }{ delta } )となり、これを(delta)に対して変形すると(delta =frac { 1 }{ varepsilon })が適切だと導ける(この場合、グラフ図をみた方が直観的に分るかも)
この(delta)が、先ほどの説明にあった、「うまく定めたクランクシャフト」。これは自分で考えて適切なものを考える必要がある
A点を数列値。B点を極限まで近づけるための点(しかし、A点とB点は完全には重ならない)とすると
このグラフ図の関係をそのまま利用するならば(varepsilon=2)、(delta =frac { 1 }{ varepsilon }=frac { 1 }{ 2 } )、ここで(n>delta quad)を満し、かつ自然数である必要があるので(n=1)となる。ここで全体の論証をチェックすると全て真になっている
また、A点を(left( n,{ a }_{ n } right))、B点を(left( delta =frac { 1 }{ varepsilon } ,varepsilon right) )として論証をチェックすると、このA点とB点は微分の関係になっている事に気が付く
(displaystyle lim _{ b-arightarrow 0 }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } quad } =quad lim _{ A点の横軸値-B点の横軸値は0に限りなく近づく }{ frac { A点の縦軸値-B点の縦軸値 }{ A点の横軸値-B点の横軸値 } } quad =quad lim _{ delta-n rightarrow 0 }{ frac { varepsilon -{ a }_{ n } }{ delta -n } } )
従ってA点、B点は永久に重ならず、({a}_{n})よりも大きい(varepsilon)を小さくし続けることによって限りなくB点をA点に近づける事が可能となった。さらにA点はこの数列の極限の論証による(n)の値の更新によりグラフの右側にどんどん移動していく。しかし、さらに更新された(varepsilon)によりB点はA点を追いかけ続ける。ここに一種の漸化式の様な無限ループの計算が出来上がる事になる
(varepsilon) を論証を満たす範囲で小さくするとB点はA点に極限まで近づく。A点は右に移動し、さらにB点はそれを追う。その様子を実際に値を入れながら確認してみる。
(varepsilon =frac { 1 }{ 1000 } )とする
(delta)は(delta =frac { 1 }{ varepsilon })より(delta =frac { 1 }{ frac { 1 }{ 1000 } } =1000)となる
(n>delta) と (forall nin { mathbb{N} }) より (n=delta+1=1000+1=1001)
ここまでをまとめると(varepsilon =frac { 1 }{ 1000 })、(delta=1000)、(n=1001)。これはεδ論法を満たしている
この時、A点は(left( 1001,frac { 1 }{ 1001 } right) )、B点は(left( 1000,frac { 1 }{ 1000 } right))であり間の距離(varepsilon)は(frac { 1001-1000 }{ 1001times 1000 } =frac { 1 }{ 1001000 } )となる
もう一度、この計算を繰り返してみる
(varepsilon =frac { 1 }{ 1001000 } )とする
(delta)は(delta =frac { 1 }{ varepsilon })より(delta =frac { 1 }{ frac { 1 }{ 1001000 } } =1001000)となる
(n>delta) と (forall nin { mathbb{N} }) より (n=delta+1=1001000+1=1001001)
ここまでをまとめると(varepsilon =frac { 1 }{ 1001000 })、(delta=1001000)、(n=1001001)。これはεδ論法を満たしている
この時、A点は(left( 1001001,frac { 1 }{ 1001001 } right) )、B点は(left( 1001000,frac { 1 }{ 1001000 } right))であり間の距離(varepsilon)は(frac { 1001001-1001000 }{ 1001001times 1001000 } =frac { 1 }{ 1002002001000 } )となる
もう一度、この計算を繰り返してみる
(以下略)
このようにεδ論法によって"作られた数式"を利用する事により(varepsilon)は数回の計算を繰り返すことで人間には認識しづらい程、(0)に向かって小さな値に、つまり「限りなく(0)に近づく」事になる。この計算には終わりが無く無限回数これを繰り返す。従って(varepsilon)は(0)に収束すると言い、そんな(varepsilon)よりも小さい(frac{1}{n})は(0)だろうと予測できる。これを数式にすると(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } =0 } )と表現できるが、これは予測であってまだ確認できていない
εδ論法のテンプレートとなる基本フォーマットは以下の形を持っていれば良いようです(個人で調べた範囲の結論なのでまちがってるかも)
(forall varepsilon >0quad (quad exists delta >0quad (n>delta quad ({ a }_{ n }-alpha<varepsilon )quad )) )
これは(varepsilon)に正の数の整数を入れようとした時に気が付いた事なのですが、無理に(delta)や(n)を自然数にしようとすると計算が出来ない事になります。そもそもアルキメデスの原則は各変数に対し自然数でなければならないというような指定はありませんでした。一度、「~(in { mathbb{N} })」を外して計算してみると論証に真がだせるので、たぶん間違っていないのではないかと予想しています
論証:(forall varepsilon >0quad (quad exists delta >0quad (forall nin { mathbb{N} quad }(n>delta quad (left| frac { 1 }{ n } -0 right| <varepsilon )quad ))))
例として(varepsilon =1000 )とする
(delta)は(delta =frac { 1 }{ varepsilon })より(delta =frac { 1 }{ 1000 })となる
(n>delta) と (forall nin { mathbb{N} }) より (frac { 1 }{ n } <frac { 1 }{ delta } ) となり ( frac { 1 }{ frac { 1 }{ 1000+1 } } <frac { 1 }{ frac { 1 }{ 1000 } } ) なので (n=frac{1}{1001}) となる(ここで(forall nin { mathbb{N} })が邪魔になるので外してしまって良い)
<ToDO>
この場合、εがカウンタになるので、(forall varepsilon in { mathbb{ N }quad }(quad exists delta >0quad (n>delta quad (left| frac { 1 }{ n } -0 right| <varepsilon )quad ))) という書き方をしても良いのではないだろうかと思う
<簡単な論理定項の紹介>
否定詞 | でない | ( ) |
接続詞 | または、ならば | (s.t.)(結論に関わる「ならば」) |
量化詞 | すべて、every,a | (forall)(すべて) ,( exists )(適当な) |
これを、(傾き)微分係数(f'left( x right) =frac { y }{ x } )をメインに考えて整理すると
(displaystyle begin{cases} 0quad <quad frac { left| fleft( x right) -b right| }{ left| x-a right| } quad <quad frac { varepsilon }{ delta } \ quad \ frac { b-varepsilon }{ a-delta } quad <quad frac { fleft( x right) }{ x } quad <quad frac { b+varepsilon }{ a+delta } end{cases})
となる。ここで、(delta)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いか?この事に対して考えると
(この「適当」とはカタカナのテキトォーじゃなくて「適切と思われる値を考えて狙って当てる」の適当)
例えば放物線を描く関数 (y=f(x)={x}^{2})の一点を(x=p ) と定めた時、対応する(y)の値は({p}^{2})となる。即ち座標((p ,{ p }^{ 2 }))となり、この(p)に(varepsilon >0,delta >0)である事を注意しながら(a +delta )を代入すると ({ left( a +delta right) }^{ 2 }=b+varepsilon ) の関係が成り立つ。この式を(delta)に対して解くと
({ left( a+delta right) }^{ 2 }=b+varepsilon quad rightarrow quad a+delta =sqrt { b+varepsilon } quad rightarrow quad delta =sqrt { b+varepsilon } -a ) となる
ここで関数の動作確認の為 (lim _{ xrightarrow 2 }{ fleft( x right) =4 })としてδε論法に当てはめると (lim _{ xrightarrow a }{ fleft( x right) =b } ) より(a=2,b=4)となり、(delta =sqrt { 4+varepsilon } -2 )となる
また、 (0<left| x-a right| <delta quad Rightarrow quad left| fleft( x right) -b right| <varepsilon )に当てはめると (0<left| x-2 right| <sqrt { 4+varepsilon } -2quad Rightarrow quad left| { x }^{ 2 }-4 right| <varepsilon ) となる
これを展開すると
(0<left| x-2 right| quad rightarrow quad begin{cases} 0<x-2quad rightarrow quad x>2 \ 0<-x+2quad rightarrow quad x<2 end{cases}quad rightarrow quad x≠2)
(left| x-2 right| <sqrt { 4+varepsilon } -2quad rightarrow quad begin{cases} x-2<sqrt { 4+varepsilon } -2quad rightarrow quad x<sqrt { 4+varepsilon } \ -x+2<sqrt { 4+varepsilon } -2quad rightarrow quad -x<sqrt { 4+varepsilon } -4quad rightarrow quad x<4-sqrt { 4+varepsilon } end{cases})
(left| { x }^{ 2 }-4 right| <varepsilon quad rightarrow quad begin{cases} { x }^{ 2 }-4<varepsilon quad rightarrow quad { x }^{ 2 }<varepsilon +4 \ -{ x }^{ 2 }+4<varepsilon quad rightarrow quad { -x }^{ 2 }<varepsilon -4quad rightarrow quad { -x }^{ 2 }<varepsilon -4quad ???? \ end{cases})
虚数と向き合う必要があるので、一端この問題はここでストップ
先に虚数を勉強する事にする
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! TODO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
({ varepsilon }_{ n }<{ varepsilon }_{ n-1 })とすると(displaystyle frac { { varepsilon }_{ n } }{ { delta }_{ n } } <frac { { varepsilon }_{ n-1 } }{ { delta }_{ n-1 } } )になり・・・
<memo>
資料:高校数学/相加相乗平均の関係
(frac { a+b }{ 2 } ge sqrt { ab } )
(delta)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いだろうか?
(displaystyle f'(x)quad =quad frac { f(x) }{ x } quad =quad frac { f(a+delta )-f(a) }{ (b+varepsilon )-b } )
(displaystyle 0quad <quad frac { left| f(x)-b right| }{ left| x-a right| } quad <quad frac { varepsilon }{ delta } quad <quad frac { f(x) }{ x } quad <quad frac { b+varepsilon }{ a+delta } )
資料:
#youtube(jgthg8qfYlQ)
¶資料:無限の問題を解消した「極限」ーそれは100年の努力によって生み出され
¶fleft( x right) ={ x }^{ 2 }-5としてlim _{ hrightarrow 0 }{ frac { fleft( x+h right) -fleft( x right) }{ h } =f'left( x right) } の極限をvarepsilon delta 論法で考える\ この微分の公式から極限を除いたquad gleft( h right) =frac { fleft( x+h right) -fleft( x right) }{ h } quad を作りfleft( x right) を適用して展開する\ \ gleft( h right) =frac { left{ { left( x+h right) }^{ 2 }-5 right} -left( { x }^{ 2 }-5 right) }{ h } =frac { left( x^{ 2 }+2xh+h^{ 2 }-5 right) -{ x }^{ 2 }+5 }{ h } =2x+h\ \ このquad gleft( h right) =2x+hquad に極限を付けなおして計算すると\ \ lim _{ hrightarrow 0 }{ gleft( h right) =2x+h } =2x+0=2x=g'left( h right) quad となる\ \ left( もちろん冪の微分「fleft( x right) mapsto f'left( x right) quad { x }^{ n }mapsto n{ x }^{ n-1 }」を利用して{ x }^{ 2 }-5mapsto 2xを利用してもよい right) \ 結果、lim _{ hrightarrow 0 }{ gleft( h right) =2x } quad となる\ \ これをlim _{ xrightarrow b }{ fleft( x right) =alpha } のvarepsilon delta 論法のフレームワーク\ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (delta >left| x-b right| >0quad Rightarrow quad left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon quad )quad に適切に載せると\ \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (delta >left| h-0 right| >0quad Rightarrow quad left| left( 2x+h right) -2x right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (-delta <h<delta quad wedge quad h≠0)quad Rightarrow quad -varepsilon <h<varepsilon quad )quad )quad となる\ \ これはグラフを見るまでもなくvarepsilon とdelta によってhが挟み撃ちにされて閉じ込められている事を意味している\ 実際に利用してみる。εは任意(自由な値を選ぶ)。とりあえずε=1とする\ δは導出はともかくdelta =varepsilon にして計算すると論理式は\ \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (-1<h<1quad wedge quad h≠0)quad Rightarrow quad -1<h<1quad )quad )quad となる\ このままεの値を1から小さくしていくと、δの値はεの値に引きずられて絶対値的に小さくなり、\ hはこの挟み撃ちされた空間内で限りなく小さな値となり、極限の計算結果は真値g'left( h right) =2xに向かい無限に収束していく
¶資料:
(
lim _{ xrightarrow 2 }{ { quad x }^{ 2 } } =4\ \ この極限式のvarepsilon delta 論法のフレームワークは以下になる\ \ lim _{ xrightarrow b }{ quad fleft( x right) } =alpha \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad delta >left| x-b right| >0quad Rightarrow quad left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (b-delta <x<b+delta quad wedge quad x≠b)quad Rightarrow quad alpha -varepsilon <fleft( x right) <alpha +varepsilon quad )quad )\ \ これに最初の式を乗せて絶対値を展開すると以下になる\ \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (delta >left| x-2 right| >0quad Rightarrow quad left| { x }^{ 2 }-4 right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (2-delta <x<2+delta quad wedge quad x≠2)quad Rightarrow quad 4-varepsilon <{ x }^{ 2 }<4+varepsilon quad )\ \ varepsilon は任意(自由な値を選ぶ)。とりあえずvarepsilon =1とする。\ delta は導出はともかくwikiの式を使う。delta =sqrt { varepsilon +4 } -2\ すると以下のような論理式になる\ \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (2-left( sqrt { 1+4 } -2 right) <x<2+left( sqrt { 1+4 } -2 right) quad wedge quad x≠2)quad Rightarrow quad 4-1<{ x }^{ 2 }<4+1quad quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (4-sqrt { 5 } <x<sqrt { 5 } quad wedge quad x≠2)quad Rightarrow quad 3<{ x }^{ 2 }<5quad )quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (1.763...<x<2.236...quad wedge quad x≠2)quad Rightarrow quad 3<{ x }^{ 2 }<5quad )quad )\ \ これをグラフ図で確認すると以下のようになっている\ 青色のグラフがfleft( x right) ={ x }^{ 2 }。赤色のグラフがbとalpha 。緑色のグラフがb-delta ,b+delta ,alpha -varepsilon ,alpha +varepsilon
)
赤色の線が緑色の線に挟み撃ちにされて閉じ込められている事がグラフを見てわかる。このようにεδ論法のフレームワーク内にエラーが無ければ極限が正常に動くという事になっている
このまま(varepsilon)の値を1から小さくしていくと、(delta)の値は(varepsilon)の値に引きずられて絶対値的に小さくなり、緑の線は赤色の線に向かってどんどん限りなく近づいていく(しかし、(x≠2)と論理式で指定されているので重なることはない)
(f(x)={x}^{2}は、この緑の線に囲まれた空間内に閉じ込められ外に出られないので、どんどん小さくなる、この空間内で真値alphaに向かい収束していく)
以上を踏まえて考えをまとめてみる
εδ論法の機能は以下の①②の手順を踏んでいる
①無限っぽい有限を定義
②無限を使って収束を定義(収束はアルキメデスの原則に従う。数の大小の比較を反転させた仮定に対する否定を利用する)
(虚数の情緒P424とP450~に詳しく書いている)
資料:
(
fleft( x right) ={ x }^{ 2 }-5としてlim _{ hrightarrow 0 }{ frac { fleft( x+h right) -fleft( x right) }{ h } =f'left( x right) } の極限をvarepsilon delta 論法で考える\ この微分の公式から極限を除いたquad gleft( h right) =frac { fleft( x+h right) -fleft( x right) }{ h } quad を作りfleft( x right) を適用して展開する\ \ gleft( h right) =frac { left{ { left( x+h right) }^{ 2 }-5 right} -left( { x }^{ 2 }-5 right) }{ h } =frac { left( x^{ 2 }+2xh+h^{ 2 }-5 right) -{ x }^{ 2 }+5 }{ h } =2x+h\ \ このquad gleft( h right) =2x+hquad に極限を付けなおして計算すると\ \ lim _{ hrightarrow 0 }{ gleft( h right) =2x+h } =2x+0=2x=g'left( h right) quad となる\ \ left( もちろん冪の微分「fleft( x right) mapsto f'left( x right) quad { x }^{ n }mapsto n{ x }^{ n-1 }」を利用して{ x }^{ 2 }-5mapsto 2xを利用してもよい right) \ 結果、lim _{ hrightarrow 0 }{ gleft( h right) =2x } quad となる\ \ これをlim _{ xrightarrow b }{ fleft( x right) =alpha } のvarepsilon delta 論法のフレームワーク\ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (delta >left| x-b right| >0quad Rightarrow quad left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon quad )quad に適切に載せると\ \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (delta >left| h-0 right| >0quad Rightarrow quad left| left( 2x+h right) -2x right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (-delta <h<delta quad wedge quad h≠0)quad Rightarrow quad -varepsilon <h<varepsilon quad )quad )quad となる\ \ これはグラフを見るまでもなくvarepsilon とdelta によってhが挟み撃ちにされて閉じ込められている事を意味している\ 実際に利用してみる。εは任意(自由な値を選ぶ)。とりあえずε=1とする\ δは導出はともかくdelta =varepsilon にして計算すると論理式は\ \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad (-1<h<1quad wedge quad h≠0)quad Rightarrow quad -1<h<1quad )quad )quad となる\ このままεの値を1から小さくしていくと、δの値はεの値に引きずられて絶対値的に小さくなり、\ hはこの挟み撃ちされた空間内で限りなく小さな値となり、極限の計算結果は真値g'left( h right) =2xに向かい無限に収束していく
)
資料:
(Fleft( x right) を微分したものがfleft( x right) とする\ \ int _{ a }^{ b }{ fleft( x right) dx } quad =quad { left[ Fleft( x right) right] }_{ a }^{ b }quad =quad Fleft( b right) -Fleft( a right) quad cdots ①\ \ lim _{ brightarrow a }{ frac { Fleft( b right) -Fleft( a right) }{ b-a } } =f(a)\ \ h=b-aquad Leftrightarrow quad b=a+hquad cdots ④quad として\ \ lim _{ hrightarrow 0 }{ frac { Fleft( a+h right) -Fleft( a right) }{ h } } =f(a)quad Leftrightarrow quad lim _{ hrightarrow 0 }{ Fleft( a+h right) -Fleft( a right) } =f(a)cdot hquad cdots ②\ \ fleft( x right) のグラフを区分求積法を利用して和を求めるとする。②の左辺がFleft( a+h right) -Fleft( a right) 、右辺がf(a)cdot h。右辺に注目し\ 区分間の幅をh、分割数をnと考えれば、このaを等差にして{ a }_{ n }=left{ aquad ,quad a+hquad ,quad a+2hquad ,cdots ,quad a+left( n-1 right) h right} の総和をとれば面積が求められる\ \ begin{matrix} begin{eqnarray} Fleft( a+h right) -Fleft( a right) & quad =quad & f(a)cdot h \ Fleft( a+2h right) -Fleft( a+h right) & = & f(a+h)cdot h \ Fleft( a+3h right) -Fleft( a+2h right) & = & f(a+2h)cdot h \ Fleft( a+4h right) -Fleft( a+3h right) & = & f(a+3h)cdot h \ vdots & = & vdots \ Fleft( a+left( n-1 right) h right) -Fleft( a+left( n-2 right) h right) & = & f(a+left( n-2 right) h)cdot h \ Fleft( a+nh right) -Fleft( a+left( n-1 right) h right) & = & f(a+left( n-1 right) h)cdot h end{eqnarray} \ +)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ \ Fleft( a+nh right) -Fleft( a right) quad =quad f(a)cdot h+f(a+h)cdot h+f(a+2h)cdot h+cdots +f(a+left( n-1 right) h)cdot hquad cdots ③ end{matrix}\ \ この③式の左辺にあるnhは分割数と区分幅を掛算したものでb=a+nhquad cdots ⑤と考えられる。従って③は\ \ Fleft( b right) -Fleft( a right) quad =quad lim _{ hrightarrow 0 }{ f(a)cdot h+f(a+h)cdot h+f(a+2h)cdot h+cdots +f(a+left( n-1 right) h)cdot h } quad となり、これに①を代入すると\ \ int _{ a }^{ b }{ fleft( x right) dx } quad =quad lim _{ hrightarrow 0 }{ f(a)cdot h+f(a+h)cdot h+f(a+2h)cdot h+cdots +f(a+left( n-1 right) h)cdot h } \ \ となる。\ \ <補足>\ ④は微分内の考えであり⑤は積分内で考えている点に留意\ つまり④のhは総和される前の幅であり、⑤のnhは総和された幅)
( lim _{ hrightarrow 0 }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } } =f'left( a right) \ \ b-a=hquad Leftrightarrow quad b=a+hquad ,quad a=x\ \ lim _{ hrightarrow 0 }{ frac { fleft( x+h right) -fleft( x right) }{ h } } =f'left( x right) \ \ 代数的な微分quad { x }^{ n }quad mapsto quad n{ x }^{ n-1 }\ その使用例:fleft( x right) ={ x }^{ 2 }quad mapsto quad f'left( x right) =2{ x }quad quad ,quad quad fleft( t right) ={ 4.9t }^{ 2 }quad mapsto quad f'left( t right) =9.8t\ \ このこの微分への記号的操作による変換の根拠は以下の方程式を解くことで確かめられる\ \ begin{cases} fleft( x right) =x^{ n }quad cdots ① \ lim _{ hrightarrow 0 }{ frac { fleft( x+h right) -fleft( x right) }{ h } } =f'left( x right) quad cdots ② end{cases}\ \ ①を②に代入\ \ lim _{ hrightarrow 0 }{ frac { left( x+h right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'left( x right) \ \ left( x+h right) ^{ n }の部分を二項定理quad { left( a+b right) }^{ n }=_{ n }{ C }_{ r }{ a }^{ n-r }b^{ r }quad を利用して展開する\ \ lim _{ hrightarrow 0 }{ frac { left( x+h right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'left( x right) quad Leftrightarrow quad lim _{ hrightarrow 0 }{ frac { { _{ n }{ C }_{ 0 }x^{ n } }+{ _{ n }{ C }_{ 1 }x^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+cdots +{ _{ n }{ C }_{ n-1 }xh^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ r }h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'left( x right) \ quad Leftrightarrow quad lim _{ hrightarrow 0 }{ frac { { x^{ n } }+{ nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'left( x right) \ quad Leftrightarrow quad lim _{ hrightarrow 0 }{ frac { { nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } } }{ h } } =f'left( x right) quad quad quad cdots 式を整理\ quad Leftrightarrow quad lim _{ hrightarrow 0 }{ { quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 2 } }+cdots +{ nxh^{ n-2 } }+{ h^{ n-1 } } } =f'left( x right) quad quad quad cdots 分母を払う\ quad Leftrightarrow quad { quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }0 }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }0 }+cdots +{ nx0 }+0=f'left( x right) quad quad quad cdots 極限を取る\ quad Leftrightarrow quad { quad nx^{ n-1 } }=f'left( x right) \ \ 微分の本質に二項定理が深く関係している事がよくわかる )
ネイピア数を求める際にも、テイラー展開やマクローリン展開する際でも「無限が関わってくる指数計算では」ほぼ必ず関係してくる
これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる\ \ { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } \ \ この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている\ 微分の式を再確認すると以下になる\ \ lim _{ brightarrow alpha }{ frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } =f'left( alpha right) } \ \ この微分の式の極限が無い状態を考える。右辺が傾きを表す式である事を近似で考えると\ \ frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } simeq f'left( b right) \ \ と表現できる。記号「simeq 」は近似を表す\ 右辺の「到達している傾きの位置」が違う点に留意。極限を使うとbはalpha に限りなく近づくのでf'left( alpha right) となる\ しかし、極限を利用しないとf'left( b right) となる。これはよくよく考えると当たり前のことを言っている\ でも、これはよくやりやすい勘違いなので注意してほしい。極限なしで平均値の算出で考えを進めると以下になる\ \ f'left( b right) simeq frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } \ \ quad Leftrightarrow quad f'left( b right) left( b-alpha right) simeq fleft( b right) -fleft( alpha right) quad Leftrightarrow quad quad f'left( b right) b-f'left( b right) alpha simeq fleft( b right) -fleft( alpha right) \ Leftrightarrow quad quad f'left( b right) bsimeq fleft( b right) -fleft( alpha right) +f'left( b right) alpha quad Leftrightarrow quad quad bsimeq frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) +f'left( b right) alpha }{ f'left( b right) } quad Leftrightarrow quad quad bsimeq frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } -frac { fleft( alpha right) }{ f'left( b right) } +alpha \ Leftrightarrow quad quad b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } simeq alpha -frac { fleft( alpha right) }{ f'left( b right) } \ \ ここで、f(alpha )=0との連立方程式をalpha に対して解くと考える(bがalpha に近づいていく)\ \ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } simeq alpha -frac { 0 }{ f'left( alpha right) } quad Leftrightarrow quad quad alpha simeq b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) }
¶これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる\ \ { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } \ \ この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている\ 微分の式を再確認すると以下になる\ \ lim _{ brightarrow alpha }{ frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } =f'left( alpha right) } \ \ この微分の式の極限が無い状態を考える。右辺が傾きを表す式である事を近似で考えると\ \ frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } simeq f'left( b right) \ \ と表現できる。記号「simeq 」は近似を表す\ 右辺の「到達している傾きの位置」が違う点に留意。極限を使うとbはalpha に限りなく近づくのでf'left( alpha right) となる\ しかし、極限を利用しないとf'left( b right) となる。これはよくよく考えると当たり前のことを言っている\ でも、これはよくやりやすい勘違いなので注意してほしい。極限なしで平均値の算出で考えを進めると以下になる\ \ f'left( b right) simeq frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } \ \ quad Leftrightarrow quad f'left( b right) left( b-alpha right) simeq fleft( b right) -fleft( alpha right) quad Leftrightarrow quad quad f'left( b right) b-f'left( b right) alpha simeq fleft( b right) -fleft( alpha right) \ Leftrightarrow quad quad f'left( b right) bsimeq fleft( b right) -fleft( alpha right) +f'left( b right) alpha quad Leftrightarrow quad quad bsimeq frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) +f'left( b right) alpha }{ f'left( b right) } quad Leftrightarrow quad quad bsimeq frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } -frac { fleft( alpha right) }{ f'left( b right) } +alpha \ Leftrightarrow quad quad b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } simeq alpha -frac { fleft( alpha right) }{ f'left( b right) } \ \ ここで、f(alpha )=0との連立方程式をalpha に対して解くと考える(bがalpha に近づいていく)\ \ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } simeq alpha -frac { 0 }{ f'left( alpha right) } quad Leftrightarrow quad quad alpha simeq b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } \ 1111
¶その前に以下の違いを確認しておく\ \ lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } =f'left( a right) } \ \ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } simeq f'left( b right) \ \ わかるだろうか?これは「到達している傾きの位置」が違うという事だ。極限を使うとbはaに限りなく近づくのでf'left( a right) となる\ しかし、極限を利用しないとf'left( b right) となる。これはよくよく考えると当たり前のことを言っている\ でも、これはよくやりやすい勘違いなので注意してほしい。極限なしで平均値の算出で考えを進めると以下になる\ \ f'left( b right) simeq frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } \ \ quad Leftrightarrow quad f'left( b right) left( b-a right) simeq fleft( b right) -fleft( a right) quad Leftrightarrow quad quad f'left( b right) b-f'left( b right) asimeq fleft( b right) -fleft( a right) \ Leftrightarrow quad quad f'left( b right) bsimeq fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) aquad Leftrightarrow quad quad bsimeq frac { fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) a }{ f'left( b right) } quad Leftrightarrow quad quad bsimeq frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } -frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } +a\ Leftrightarrow quad quad b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } simeq a-frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } \ \ ここで、f(a)=0との連立方程式をaに対して解くと考える(bがaに近づいていく)\ \ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } simeq a-frac { 0 }{ f'left( a right) } quad Leftrightarrow quad quad asimeq b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) }
)
その前に以下の違いを確認しておく\ \ lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } =f'left( a right) } \ \ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } =f'left( b right) \ \ わかるだろうか?これは「到達している傾きの位置」が違うという事だ。極限を使うとbはaに限りなく近づくのでf'left( a right) となる\ しかし、極限を利用しないとf'left( b right) となる。これはよくよく考えると当たり前のことを言っている\ でも、これはよくやりやすい勘違いなので注意してほしい。極限なしで平均値の算出で考えを進めると以下になる\ \ f'left( b right) =frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } \ \ quad Leftrightarrow quad f'left( b right) left( b-a right) =fleft( b right) -fleft( a right) quad Leftrightarrow quad quad f'left( b right) b-f'left( b right) a=fleft( b right) -fleft( a right) \ Leftrightarrow quad quad f'left( b right) b=fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) aquad Leftrightarrow quad quad b=frac { fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) a }{ f'left( b right) } quad Leftrightarrow quad quad b=frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } -frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } +a\ Leftrightarrow quad quad b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } =a-frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } \ \ ここで、f(a)=0との連立方程式をaに対して解くと考える(bがaに近づいていく)\ \ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } =a-frac { 0 }{ f'left( a right) } quad Leftrightarrow quad quad a=b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } )
¶(
その前に以下の違いを確認しておく\ \ lim _{ brightarrow a }{ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } =f'left( a right) } \ \ frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } =f'left( b right) \ \ わかるだろうか?これは「到達している傾きの位置」が違うという事だ極限を使うとbはaに限りなく近づくのでf'left( a right) となる\ しかし、極限を利用しないとf'left( b right) となる。これはよくよく考えると当たり前のことを言っている\ でも、これはよくやりやすい勘違いなので注意してほしい。極限なしで平均値の算出で考えを進めると以下になる\ \ f'left( b right) =frac { fleft( b right) -fleft( a right) }{ b-a } \ \ quad Leftrightarrow quad f'left( b right) left( b-a right) =fleft( b right) -fleft( a right) quad Leftrightarrow quad quad f'left( b right) b-f'left( b right) a=fleft( b right) -fleft( a right) \ Leftrightarrow quad quad f'left( b right) b=fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) aquad Leftrightarrow quad quad b=frac { fleft( b right) -fleft( a right) +f'left( b right) a }{ f'left( b right) } quad Leftrightarrow quad quad b=frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } -frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } +a\ Leftrightarrow quad quad b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } =a-frac { fleft( a right) }{ f'left( b right) } \ \ ここで、f(a)=0との連立方程式をaに対して解くと考える(bがaに近づいていく)\ \ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } =a-frac { 0 }{ f'left( a right) } quad Leftrightarrow quad quad a=b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } )
追加資料:はじめMath! Javaでコンピュータ数学_第67回 微分・積分の数学 ニュートン・ラフソン法 [前編]
①(x+{ e }^{ x }=0)
②({ x }^{ 2 }=5)
この二つの方程式の未知数(x)をニュートンラフソンを用いて解いてみようと思う(この「仕組み」自体は何気にゲームのいろんな場面で利用されている)
ニュートンラフソンの式は非常にシンプルで以下のようになっている
({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } )
この式がどのようにして導かれるのか、はじまりは直線の方程式から来ている
点 (left( alpha ,beta right)) を通る傾き (m) の直線の方程式は (y=mleft( x-alpha right) +beta )
これを変形すると (y-beta =mleft( x-alpha right) )
例えば点 (left( alpha =3,beta =5 right)) を通る、傾き (m=frac { 1 }{ 2 }) の直線は ( y=frac { 1 }{ 2 } left( x-3 right) +5) となる
(y=frac { 1 }{ 2 } left( x-3 right) +5quad) と (y=0quad) との連立方程式を(x)に対して解くことにより…
(0=frac { 1 }{ 2 } left( x-3 right) +5quad Leftrightarrow quad frac { 1 }{ 2 } x-frac { 3 }{ 2 } +5=0quad Leftrightarrow quad frac { 1 }{ 2 } x=frac { 3 }{ 2 } -5quad Leftrightarrow quad frac { 1 }{ 2 } x=-frac { 7 }{ 2 } quad Leftrightarrow quad x=-7)
グラフ上の両グラフ線の交点が求まる。これを踏まえたうえで
この「直線の方程式」を「微積分を利用した関数」で考えると
(y=fleft( x right) のx=alpha) における接線の傾きは (m=f'left( alpha right) )
関数 (y=fleft( x right)) 上の点 (left( alpha ,fleft( alpha right) right)) における接線の方程式は
(y=f'left( alpha right) left( x-alpha right) +fleft( alpha right) )
これを変形すると
(y-fleft( alpha right) =f'left( alpha right) left( x-alpha right) quad quad cdots ③ )
となる。この③式は「接線の方程式」と呼ばれるもので非常に有名な公式なので微積分と一緒に覚えておいた方が良い
この式を約分して式変形すると (frac { y-fleft( alpha right) }{ x-alpha } =f'left( alpha right) ) となる
ここで (y=fleft( x right)) とするならば、この式は (frac { fleft( x right) -fleft( alpha right) }{ x-alpha } =f'left( alpha right) ) となり、この(x)を(b)に変えると (frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } =f'left( alpha right) ) になる
さらに、この式に「極限」(displaystyle lim _{ brightarrow alpha }{ } )を加えると (displaystyle f'left( alpha right) =lim _{ brightarrow alpha }{ frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } } ) という微分で見慣れた式となる。つまり③式は微分の式を極限なしに変形しているものだという事を強く意識した方が良いという事になっている
ここで上記の微分の式を利用して①の問題を解くことを考えてみる。これからやりたい事は以下の動画イメージになる。青い線が求めたい関数が描くグラフ。赤い線が接線の方程式で描いたグラフ
赤い点が青い点に近づいていき、重なった後、またゆっくり離れていく様子に注目してほしい
目的は求めたい関数のy=0とのxに対する連立方程式の解。つまり青い点の(x)位置が知りたい
(
これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる\ \ { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-frac { fleft( { x }_{ n } right) }{ f'left( { x }_{ n } right) } \ \ この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている\ 微分の式を再確認すると以下になる\ \ lim _{ brightarrow alpha }{ frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } =f'left( alpha right) } \ \ この微分の式の極限が無い状態を考える。右辺が傾きを表す式である事を近似で考えると\ \ frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } simeq f'left( b right) \ \ と表現できる。記号「simeq 」は近似を表す\ 右辺の「到達している傾きの位置」が違う点に留意。極限を使うとbはalpha に限りなく近づくのでf'left( alpha right) となる\ しかし、極限を利用しないとf'left( b right) となる。これはよくよく考えると当たり前のことを言っている\ でも、これはよくやりやすい勘違いなので注意してほしい。極限なしで平均値の算出で考えを進めると以下になる\ \ f'left( b right) simeq frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) }{ b-alpha } \ \ quad Leftrightarrow quad f'left( b right) left( b-alpha right) simeq fleft( b right) -fleft( alpha right) quad Leftrightarrow quad quad f'left( b right) b-f'left( b right) alpha simeq fleft( b right) -fleft( alpha right) \ Leftrightarrow quad quad f'left( b right) bsimeq fleft( b right) -fleft( alpha right) +f'left( b right) alpha quad Leftrightarrow quad quad bsimeq frac { fleft( b right) -fleft( alpha right) +f'left( b right) alpha }{ f'left( b right) } quad Leftrightarrow quad quad bsimeq frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } -frac { fleft( alpha right) }{ f'left( b right) } +alpha \ Leftrightarrow quad quad b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } simeq alpha -frac { fleft( alpha right) }{ f'left( b right) } \ \ ここで、f(alpha )=0との連立方程式をalpha に対して解くと考える(bがalpha に近づいていく)\ \ b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) } simeq alpha -frac { 0 }{ f'left( alpha right) } quad Leftrightarrow quad quad alpha simeq b-frac { fleft( b right) }{ f'left( b right) }
)
下図は動作イメージ。青色のグラフが (frac { 1 }{ n } )。赤色が (varepsilon) と (delta) 。緑色が ({ a }_{ n }) と (n) 。赤と緑のグラフのy軸は最終的に0に限りなく近くなる
¶緑が赤と0との間に挟まれている
¶ ¶緑が赤と0との間に挟まれていることに注目
¶緑が赤と0の間に挟まれていることに注目
(varepsilon delta )論法自体は極限を論理記号、数字、関数を用いて証明するために利用される
収束の場合は「はさみうちの原理」を論理的に考える際に役立つ
頭を(varepsilon delta )で抑え込んで(a)(エー)や(pm infty )に向かって限りなく近づけさせる事で、間に挟んでいる関数の解の極限値(alpha )(アルファ)を算出する
鶏が先か卵が先かの話で言えば、最初から極限値が分かっている場合、この場合、鶏が先なので卵の方を考えることになる
つまり (varepsilon) に対応する (delta) を考えることになる。これは代数、微積分の記号的操作による計算よりも、より実数的なニュートンラフソンや、PCでの極限計算に利用できる(らしい)
高校数学で先に極限の計算を習ってしまうので鶏が先になってしまう事も多い点に注意
(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ { a }_{ n } } =alpha \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad forall nin { N }quad (quad n>delta quad Rightarrow quad left| { a }_{ n }-alpha right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad forall nin { N }quad (quad n>delta quad Rightarrow quad alpha -varepsilon <{ a }_{ n }<alpha +varepsilon quad ))
(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } =0\ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad forall nin { N }quad (quad n>delta quad Rightarrow quad 0-varepsilon <frac { 1 }{ n } <0+varepsilon quad ))
下図は動作イメージ。青色のグラフが (frac { 1 }{ n } )。赤色が (varepsilon) と (delta) 。緑色が ({ a }_{ n }) と (n) 。赤と緑のグラフのy軸は最終的に0に限りなく近くなる
緑が赤と0との間に挟まれている
( lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } +3=3\ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad forall nin { N }quad (quad n>delta quad Rightarrow quad left| frac { 1 }{ n } +3-3 right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad forall nin { N }quad (quad n>delta quad Rightarrow quad 3-varepsilon <frac { 1 }{ n } +3<3+varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad forall nin { N }quad (quad n>delta quad Rightarrow quad 0-varepsilon <frac { 1 }{ n } <0+varepsilon quad ))
(lim _{ xrightarrow a }{ fleft( x right) } =alpha \ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad delta >left| x-a right| >0quad Rightarrow quad left| fleft( x right) -alpha right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad ((a-delta <x<a+delta quad wedge quad x≠a)quad Rightarrow quad alpha -varepsilon <fleft( x right) <alpha +varepsilon quad ) ) )
(lim _{ xrightarrow 1 }{ frac { 1 }{ x } } +2=3\ forall varepsilon >0quad exists delta >0quad (quad delta >left| x-1 right| >0quad Rightarrow quad left| frac { 1 }{ x } +2-3 right| <varepsilon quad )\ quad Leftrightarrow quad forall varepsilon >0quad exists delta >0quad ((1-delta <x<1+delta quad wedge quad x≠1)quad Rightarrow quad 1-varepsilon <frac { 1 }{ x } <1+varepsilon quad ) ) )
補足
(left| frac { 1 }{ x } +2-3 right| <varepsilon quad Leftrightarrow quad begin{cases} frac { 1 }{ x } -1<varepsilon quad Leftrightarrow quad frac { 1 }{ x } <1+varepsilon \ -frac { 1 }{ x } +1<varepsilon quad Leftrightarrow quad -frac { 1 }{ x } <-1+varepsilon quad Leftrightarrow quad frac { 1 }{ x } >1-varepsilon end{cases}quad Leftrightarrow quad 1-varepsilon <frac { 1 }{ x } <1+varepsilon \ \ delta >left| x-1 right| >0quad Leftrightarrow quad begin{cases} 0<left| x-1 right| \ left| x-1 right| <delta end{cases}quad Leftrightarrow quad begin{cases} 0<x-1quad Leftrightarrow quad 1<x \ 0<-x+1quad Leftrightarrow quad -1<-xquad Leftrightarrow quad 1>x \ x-1<delta quad Leftrightarrow quad x<1+delta \ -x+1<delta quad Leftrightarrow quad -x<-1+delta quad Leftrightarrow quad x>1-delta end{cases}quad Leftrightarrow quad 1-delta <x<1+delta quad wedge quad x≠1)
εδ論法(イプシロンデルタ論法)は極限を定義する
辞書などで調べると「定義」とは「ある概念内容・語義や処理手続をはっきりと定めること」とある。εδ論法は極限の処理手続きを論理記号や数式で定める
処理手続きを記述しているという事はプログラムコードだ。そのつもりで読むと良い
(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } =alpha ) 、(alpha=0)を例に考えていく。この式のεδ論法の論理式は以下になる
(forall varepsilon >0quad (quad exists delta >0quad (quad forall nin mathbb{N}quad (quad n>delta quad Rightarrow quad left| { a }_{ n }-alpha right| <varepsilon quad ))))quad )
プログラムであれば、コードの処理方法と扱うパラメータの意味を知っておく必要がある。以下にその意味を整理すると
各命題の意味は以下になる
(forall varepsilon >0) | 0という下界を持つ単調増減少させることが出来る任意の正の数(varepsilon) |
(exists delta >0) | 0という下界を持つ単調増減少させることが出来る選ばれた正の数(delta)。又、(varepsilon)と対応する関係(相互に関数関係)にある この論証を成立させる(delta)は(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } =0) より (displaystyle delta =frac { 1 }{ varepsilon } )と定義できる |
(forall nin mathbb{N}) | これは(forall varepsilon >0)を考えた時、きめの粗い考え方になってしまう。しかし(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } =0) を(n)に対応する数列(| { a }_{ n } |)と考える際に役に立つ考え方である。例えばデデキント切断等を考える場合は有理数の集合を扱うのでこのようにした方が扱いやすい。本件に関しては問題が出ないのでこのようになっている。本来ここは (forall n>0) と書くのが0を除いた正の実数でよりふさわしい |
TODO
(n>delta) (Rightarrow | { a }_{ n } | <varepsilon ) | (n)は(delta)を下界として単調増加する。これは(n)のカウントアップが(delta)に依存している事を示している ならば(| { a }_{ n } | )は(varepsilon)を上界として単調減少する((alpha)は(0)なので省略しています) |
(displaystyle lim _{ nrightarrow infty }{ frac { 1 }{ n } } =0) は(n)を無限大(infty)にした際、(frac { 1 }{ n })は(0)に収束する事を表している
(alpha=0)として考えた際、(n)に対応する数列(left| { a }_{ n } right| )が(0)を下界として単調減少する事を説明できれば収束を証明できた事になる
数列の単調減少とは、すなわち任意の(n=1,2,3...)において({a}_{n-1}>{a}_{n})が成り立つ
数列の下界が(0)とは、すなわち任意の(n=1,2,3...)において({a}_{n}>0)が成り立つ
<収束の証明手順まとめ>
単調減少や下界は数の大小関係で説明できる。数の大小とは「ふたつの数」が必要となる(ひとつの数では比較対象がいないので、ものの大小すら論じる事が出来ない)
({a}_{n})と(n)という2軸上の点をなにかと比較したい時、(varepsilon)と(delta)という2軸上の点という比較対象が必要となる
つまり(varepsilon)と(delta)は「一つ隣の点」と言える。数列で言えば({a}_{n})の隣、({a}_{n+1})や({a}_{n-1})となりえる
これと比較すれば証明が出来る
({a}_{n})と(n)、(varepsilon)と(delta)は対応する関係にある
({ a }_{ n }=frac { 1 }{ n } quad ,quad n=frac { 1 }{ { a }_{ n } } quad ,quad varepsilon =frac { 1 }{ delta } quad ,quad delta =frac { 1 }{ varepsilon } )
(n>delta , exists delta >0) より (n>delta>0) となる。又、
(forall varepsilon >0 , left| { a }_{ n } right| <varepsilon ) より (0<left| { a }_{ n } right| <varepsilon) となる
これを踏まえて(varepsilondelta)を「一つ隣の点(unityのC#で例えればVector2型の配列で一つ隣)」と考えると
(varepsilon =left{ varepsilon はforall varepsilon >0とvarepsilon =frac { 1 }{ delta } を満たし0を下界とする1以下の単調減少する数である right} =left{ 1,frac { 1 }{ 2 } ,frac { 1 }{ 3 } ,frac { 1 }{ 4 } ... right} =left{ 限りなく0に近づき小さくなっていく数列 right} )
(delta =left{ delta はexists delta >0とdelta =frac { 1 }{ varepsilon } を満たし0を下界とする単調増加する数である right} =left{ 1,2,3,4... right} =left{ 無限に大きくなっていく数列 right} )
(n=left{ n>delta right} =left{ 2,3,4,5... right} =left{ delta により下から押し上げられ無限に大きくなっていく数列 right} )
({ a }_{ n }=left{ frac { 1 }{ n } right} =left{ frac { 1 }{ 2 } ,frac { 1 }{ 3 } ,frac { 1 }{ 4 } ,frac { 1 }{ 5 } ... right} =left{ 0<left| { a }_{ n } right| <varepsilon よりvarepsilon で頭は押さえられ限りなく0に近づき小さくなっていく数列 right} )
になります。補足:{}で括ることにより数列であることを表しています
ここで({ a }_{ n })に注目すると(0)の下界を持ち単調減少していることが確認できます。つまり0への収束がこれで証明できた事となります
実務では(varepsilon=frac { 1 }{ 100000000000000000000000000000000000000000000000000000 })のような任意の数(勝手な数)をいきなり入れてもかまいません
無限に近い分母の数を入れても(left| { a }_{ n } right|) は (0<left| { a }_{ n } right| <varepsilon)になります
ここまで一見、証明は出来たように見えますが実は細かい事を言うと出来ていません。何故なら(n)が自然数でない状況を説明できていないからです
そこで、(n)が正の実数の値を取る場合((forall n>0))を考えてみます
<原因>
例えば(n)が(pi)や(sqrt { 2 } )等のような実数だったとします。これに対する(varepsilon)や(delta)は上記の証明方法の場合
表現する事が出来ません。何故なら有理数では無理数である実数を表現する事が出来ないからです
(sqrt { 2 } = 1.4142135623730950488016887242097... ) これは有理数で近似は表せるが、そのものズバリは出来ない
つまり二乗すると(2)になる有理数表現された数はない
(e=lim _{ nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ n } right) }^{ n } } quad にx乗した式quad { e }^{ x }=lim _{ nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ n } right) }^{ nx } } \ この式に対しN=nxとして\ { e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ n } right) }^{ N } } quad 、n=frac { N }{ x } なので{ e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { x }{ N } right) }^{ N } } \ ここでマクローリン展開(テイラー展開)する。{ left( a+b right) }^{ n }に従うような二項定理を利用しながら式にすると\ { e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ sum _{ r=0 }^{ N }{ { _{ N }{ C }_{ r } } } cdot { 1 }^{ N-r }cdot { left( frac { x }{ N } right) }^{ r } } quad となる。これを計算すると\ \ { e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ { _{ N }{ C }_{ 0 } } } { left( frac { x }{ N } right) }^{ 0 }+{ _{ N }{ C }_{ 1 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 1 }+{ _{ N }{ C }_{ 2 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 2 }+{ _{ N }{ C }_{ 3 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 3 }+{ _{ N }{ C }_{ 4 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 4 }+cdots \ =lim _{ Nrightarrow infty }{ 1 } +x+frac { Nleft( N-1 right) }{ 2! } cdot frac { { x }^{ 2 } }{ { N }^{ 2 } } +frac { Nleft( N-1 right) left( N-2 right) }{ 3! } cdot frac { { x }^{ 3 } }{ { N }^{ 3 } } +frac { Nleft( N-1 right) left( N-2 right) left( N-3 right) }{ 4! } cdot frac { { x }^{ 4 } }{ { N }^{ 4 } } cdots \ =lim _{ Nrightarrow infty }{ 1 } +x+frac { frac { { N }^{ 2 }-N }{ { N }^{ 2 } } { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { frac { { N }^{ 3 }-3{ N }^{ 2 }+2N }{ { N }^{ 3 } } { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { frac { { N }^{ 4 }-6{ N }^{ 3 }+11{ N }^{ 2 }-6N }{ { N }^{ 4 } } { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots \ =lim _{ Nrightarrow infty }{ 1 } +x+frac { left( 1-frac { 1 }{ { N }^{ 2 } } right) { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { left( 1-frac { 3 }{ { N } } +frac { 2 }{ { N }^{ 2 } } right) { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { left( 1-frac { 6 }{ { N } } +frac { 11 }{ { N }^{ 2 } } -frac { 6 }{ { N }^{ 3 } } right) { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots quad =quad 1+x+frac { left( 1-0 right) { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { left( 1-0+0 right) { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { left( 1-0+0-0 right) { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots \ =1+x+frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots )
¶#jsmath
¶(e=lim _{ nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ n } right) }^{ n } } quad にx乗した式quad { e }^{ x }=lim _{ nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ n } right) }^{ nx } } \ この式に対しN=nxとして\ { e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ n } right) }^{ N } } quad 、n=frac { N }{ x } なので{ e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { x }{ N } right) }^{ N } } \ ここでマクローリン展開(テイラー展開)する。{ left( a+b right) }^{ n }に従うような二項定理を利用しながら式にすると\ { e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ sum _{ r=0 }^{ N }{ { _{ N }{ C }_{ r } } } cdot { 1 }^{ N-r }cdot { left( frac { x }{ N } right) }^{ r } } quad となる。これを計算すると\ \ { e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ { _{ N }{ C }_{ 0 } } } { left( frac { x }{ N } right) }^{ 0 }+{ _{ N }{ C }_{ 1 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 1 }+{ _{ N }{ C }_{ 2 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 2 }+{ _{ N }{ C }_{ 3 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 3 }+{ _{ N }{ C }_{ 4 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 4 }+cdots \ =lim _{ Nrightarrow infty }{ 1 } +x+frac { Nleft( N-1 right) }{ 2! } cdot frac { { x }^{ 2 } }{ { N }^{ 2 } } +frac { Nleft( N-1 right) left( N-2 right) }{ 3! } cdot frac { { x }^{ 3 } }{ { N }^{ 3 } } +frac { Nleft( N-1 right) left( N-2 right) left( N-3 right) }{ 4! } cdot frac { { x }^{ 4 } }{ { N }^{ 4 } } cdots \ =lim _{ Nrightarrow infty }{ 1 } +x+frac { frac { { N }^{ 2 }-1 }{ { N }^{ 2 } } { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { frac { { N }^{ 3 }-3{ N }^{ 2 }+2N }{ { N }^{ 3 } } { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { frac { { N }^{ 4 }-6{ N }^{ 3 }+11{ N }^{ 2 }-6N }{ { N }^{ 4 } } { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots \ =lim _{ Nrightarrow infty }{ 1 } +x+frac { left( 1-frac { 1 }{ { N }^{ 2 } } right) { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { left( 1-frac { 3 }{ { N } } +frac { 2 }{ { N }^{ 2 } } right) { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { left( 1-frac { 6 }{ { N } } +frac { 11 }{ { N }^{ 2 } } -frac { 6 }{ { N }^{ 3 } } right) { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots quad =quad 1+x+frac { left( 1-0 right) { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { left( 1-0+0 right) { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { left( 1-0+0-0 right) { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots \ =1+x+frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots )
ゲームに利用される確率がある段階まで急激に変化し、ある段階で安定しだしたりするのは「この形状」が原因と考えられる
¶式が扱う題材、目的はどれも違うがグラフ形状自体はまったく同じものに出来る
<メモ>
これはゲームAIの判断に利用できそう。おそらく出来る
式が扱う題材、目的はどれも違うがグラフ形状自体はまったく同じものに出来る
ゲームに利用される確率がある段階まで急激に変化し、ある段階で安定しだしたりするのは「この形状」が原因と考えられる
(e=lim _{ nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ n } right) }^{ n } } quad にx乗した式quad { e }^{ x }=lim _{ nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ n } right) }^{ nx } } \ この式に対しN=nxとして\ { e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ n } right) }^{ N } } quad 、n=frac { N }{ x } なので{ e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ { left( 1+frac { x }{ N } right) }^{ N } } \ ここでマクローリン展開(テイラー展開)する。{ left( a+b right) }^{ n }に従うような二項定理を利用しながら式にすると\ { e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ sum _{ r=0 }^{ N }{ { _{ N }{ C }_{ r } } } cdot { 1 }^{ N-r }cdot { left( frac { x }{ N } right) }^{ r } } quad となる。これを計算すると\ \ { e }^{ x }=lim _{ Nrightarrow infty }{ { _{ N }{ C }_{ 0 } } } { left( frac { x }{ N } right) }^{ 0 }+{ _{ N }{ C }_{ 1 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 1 }+{ _{ N }{ C }_{ 2 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 2 }+{ _{ N }{ C }_{ 3 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 3 }+{ _{ N }{ C }_{ 4 } }{ left( frac { x }{ N } right) }^{ 4 }+cdots \ =lim _{ Nrightarrow infty }{ 1 } +x+frac { Nleft( N-1 right) }{ 2! } cdot frac { { x }^{ 2 } }{ { N }^{ 2 } } +frac { Nleft( N-1 right) left( N-2 right) }{ 3! } cdot frac { { x }^{ 3 } }{ { N }^{ 3 } } +frac { Nleft( N-1 right) left( N-2 right) left( N-3 right) }{ 4! } cdot frac { { x }^{ 4 } }{ { N }^{ 4 } } cdots \ =lim _{ Nrightarrow infty }{ 1 } +x+frac { frac { { N }^{ 2 }-N }{ { N }^{ 2 } } { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { frac { { N }^{ 3 }-3{ N }^{ 2 }+2N }{ { N }^{ 3 } } { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { frac { { N }^{ 4 }-6{ N }^{ 3 }+11{ N }^{ 2 }-6N }{ { N }^{ 4 } } { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots \ =lim _{ Nrightarrow infty }{ 1 } +x+frac { left( 1-frac { 1 }{ { N }^{ 2 } } right) { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { left( 1-frac { 3 }{ { N } } +frac { 2 }{ { N }^{ 2 } } right) { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { left( 1-frac { 6 }{ { N } } +frac { 11 }{ { N }^{ 2 } } -frac { 6 }{ { N }^{ 3 } } right) { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots quad =quad 1+x+frac { left( 1-0 right) { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { left( 1-0+0 right) { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { left( 1-0+0-0 right) { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots \ =1+x+frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } cdots )
極限は近づける方向によって答えが変わる
http://www24.atpages.jp/venvenkazuya/math3/limit3.php
Wolfram
GoogleTr
基礎/変数名単語帳
wikiテンプレート
この考えを進めると (ln { x } ) は左に90度回転+左右反転で ({e}^{x}) になる?(逆関数の関係。つまり対称性が見つかる筈。そこから推移性、反射性も見つかって群が見つかる筈)
¶この考えを進めると (ln { x } ) は左に90度回転+左右反転で ({e}^{x}) になる?(逆関数の関係。つまり対称性を持った群、推移性、反射性も見つかる筈)
¶この考えを進めると (ln { x } ) は左に90度回転+左右反転で ({e}^{x}) になる?(逆関数の関係)
¶ ¶[添付]
指数関数、対数関数、ネイピア数に関する関数はホモグラフィ(homography)によって同一となる関係にある
つまり「グラフで見たとき形は同一」。平行移動・回転・裏返し・拡大・縮小の変形(射影変換)により同一の形にできる
<メモ>
トポロジー = 同相な写像、すなわち平行移動・回転・裏返し・拡大・縮小の範囲で合成できる変換を施しても保たれる図形的性質を研究する幾何学。位相幾何学。
関数は図形を描く。ある関数が描く図形と、その関数とは別の関数が描く図形の形が変形などで同一にできるならば、それらは同一
この考えを進めると (ln { x } ) は左に90度回転+左右反転で ({e}^{x}) になる?(逆関数の関係。つまり対称性が見つかる筈。そこから推移性、反射性も見つかって群が見つかる筈)
<ネイピア数関連>
(int { frac { 1 }{ x } dx } quad =quad ln { x } )
(left( ln { x } right) 'quad =quad frac { 1 }{ x } )
(int _{ 1 }^{ e }{ frac { 1 }{ x } } dxquad =quad 1)
(displaystyle lim _{ xrightarrow infty }{ { left( 1+frac { 1 }{ x } right) }^{ x }quad =quad e } )
(frac { 1 }{ x } ={ x }^{ -1 } ) つまり(frac { 1 }{ x } )は指数グラフに分類できる点に留意(図形的には指数関数の左右反転)
①NVIDIAコントロールパネルを開く → 3D設定の管理 → グローバル設定 → 優先するグラフィックスプロセッサを「高パフォーマンスNVIDIAプロセッサ」に設定(普段の利用で何か不具合があったら自動選択にしてください)
¶①NVIDIAコントロールパネルを開く → 3D設定の管理 → グローバル設定 → 優先するグラフィックスプロセッサを「高パフォーマンスNVIDIAプロセッサ」に設定(普段の利用で何か不具合があったら統合型グラフィックスにしてください)
¶つまり原因はゲームのドライバ設定がオンボードのグラフィックスチップに設定されていることによる不具合。2Dゲームや仕組みが古いゲームで発生しやすい。
¶①NVIDIAコントロールパネルを開く → 3D設定の管理 → グローバル設定 → 優先するグラフィックスプロセッサを「高パフォーマンスNVIDIAプロセッサ」に設定。
②同プログラム設定タブを選択 → 「1.カスタマイズするプログラムを選択する」の追加をクリック → 最近、ゲームプログラムを利用していた場合、履歴から該当ゲームのexeファイルが見つかる筈。それを選択する → 同タブの「2.このプログラム用の優先するグラフィックスプロセッサを選択する」を「高パフォーマンスNVIDIAプロセッサ」にする。 → 「適用」をクリック。
以上の設定後、該当ゲームを起動するとインスタントリプレイ、シャドウプレイが利くようになっている。
OSやドライバ、NVIDIA_Geforce_Experienceのアップデートにより各個のPCゲームのドライバ利用設定が「高パフォーマンスNVIDIAプロセッサ」から「自動選択」や「統合型グラフィックス」に変更されている場合がある。シャドウプレイ自身はNVIDIAプロセッサの録画機能を利用しているのでゲームコードが統合型グラフィックスを優先して利用した場合、録画ができなくなるなどの症状が発生します。
これに対する対処は以下の操作で出来ます。
①NVIDIAコントロールパネルを開く → 3D設定の管理 → グローバル設定 → 優先するグラフィックスプロセッサを「高パフォーマンスNVIDIAプロセッサ」に設定(普段の利用で何か不具合があったら自動選択にしてください)
②同プログラム設定タブを選択 → 「1.カスタマイズするプログラムを選択する」の追加をクリック → 最近、ゲームプログラムを利用していた場合、履歴から該当ゲームのexeファイルが見つかる筈。それを選択する → 同タブの「2.このプログラム用の優先するグラフィックスプロセッサを選択する」を「高パフォーマンスNVIDIAプロセッサ」にする。 → 「適用」をクリック。
以上の設定後、該当ゲームを起動するとインスタントリプレイ、シャドウプレイが利くようになっている。
つまり原因はゲームのドライバ設定がオンボードのグラフィックスチップに設定されていることによる不具合。2Dゲームや仕組みが古いゲームで発生しやすい。
(1-2div 3left( 4+5 right) -6quad =quad 1-2div 3times left( 9 right) -6quad =quad 1-6-6quad =quad -11)
¶(A-left( Bdiv C right) left( D+E right) -F)
(1-left( 2div 3 right) left( 4+5 right) -6)
ほんの一手間加えるだけで誰も間違えない
(1-2div 3left( 4+5 right) -6quad =quad 1-frac { 2 }{ 3 } left( 9 right) -6quad =quad 1-6-6quad =quad -11)
¶これをすると間違いなので注意!
(A-Bdiv Cleft( D+E right) -Fquad =quad A-Bdiv left( CD+CE right) -Fquad =quad A-frac { B }{ CD+CE } -Fquad left< これは間違い! right> )
これでは「÷」の二項演算子より右側にある「×」演算子の処理を先にしてしまっている事になる
これをすると間違いなので注意!
(A-Bdiv Cleft( D+E right) -Fquad =quad A-Bdiv left( CD+CE right) -Fquad =quad A-frac { B }{ CD+CE } -Fquad left< これは間違い! right> )
これでは「÷」の演算より「×」の処理を先にしてしまっている事になる
例:
(A÷B×C÷Dquad =quad frac { AC }{ BD } \ A×B÷C×Dquad =quad frac { ABD }{ C } \ A×B+C÷Dquad =quad AB+frac { C }{ D } \ A-B÷C+Dquad =quad A-frac { B }{ C } +D)
例:
(A-Bdiv Cleft( D+E right) -Fquad =quad A-frac { B }{ C } left( D+E right) -Fquad =quad A-frac { BD+BE }{ C } -F)
これをすると間違いなので注意!
(A-Bdiv Cleft( D+E right) -Fquad =quad A-Bdiv left( CD+CE right) -Fquad =quad A-frac { B }{ CD+CE } -Fquad left< これは間違い! right> )
これでは「÷」の二項演算子より右側にある「×」演算子の処理を先にしてしまっている事になる
この場合、DやEは変数や関数なので具体的な定数ではなく、括弧の中身はその左側にある割算、掛算より先にさわれない
これが定数の場合は、括弧の中身が先に演算できる
(1-2div 3left( 4+5 right) -6quad =quad 1-2div 3times left( 9 right) -6quad =quad 1-6-6quad =quad -11)
一番いいのは計算に不慣れな人に意思疎通のため計算式を渡すときは間違いがないように意図を明記した括弧でくくった計算式を渡すことだと思う
(A-left( Bdiv C right) left( D+E right) -F)
(1-left( 2div 3 right) left( 4+5 right) -6)
ほんの一手間加えるだけで誰も間違えない
数学において各分野により括弧の使われ方に以下のような利用がみられる
(left{ { a }_{ n } right} )や(left{ frac { 1 }{ n } right} ) | 数列として表す括弧 |
(left{ x|p(x) right} )や(left{ x:p(x) right} )、(left{ x;p(x) right} ) | 関数P(x)が成り立つようなxの値を集めた集合 |
((a,b)) | 平面の座標を表す |
((8,12)=4) | 整数論において最大公約数を表す |
(left[ 1+frac { 1 }{ varepsilon } right] =1) | ガウス記号としての括弧。([a])は(a)の整数部分。つまり([1.5]=1) |
( left( a,b right) =left{ x|a<x<b right} \ [a,b)=left{ x|ale x<b right} \ (a,b]=left{ x|a<xle b right} \ left[ a,b right] =left{ x|ale xle b right} ) | 区間を表す |