13: 2015-08-10 (月) 21:34:34 osinko  |
現: 2015-08-12 (水) 19:37:42 osinko |
| | まず高校で習う数列の極限の定義をみてみる | | まず高校で習う数列の極限の定義をみてみる |
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| - | | &br;数列\(\left\{ { a }_{ n } \right\} \)において\(n\)を限りなく大きくするとき、&br;\({ a }_{ n }\)が\(a\)に&font(Red){''限りなく近づくならば''};、この数列\(\left\{ { a }_{ n } \right\} \)は\(a\)に収束すると言う。&br;この時、\(a\)を数列の極限値、もしくは極限と言い、\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } \)と書く。&br; | | + | | &br;数列\(\left\{ { a }_{ n } \right\} \)において\(n\)を限りなく大きくするとき、&br;\({ a }_{ n }\)が\(\alpha \)に&font(Red){''限りなく近づくならば''};、この数列\(\left\{ { a }_{ n } \right\} \)は\(\alpha \)に収束すると言う。&br;この時、\(\alpha \)を数列の極限値、もしくは極限と言い、\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } \)と書く。&br; | |
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| | 次にこの数列の極限の定義に対するεδ論法の各命題を見てみる | | 次にこの数列の極限の定義に対するεδ論法の各命題を見てみる |
| | この論法で述べている論証をすべて真にすれば自然とそのような状態になります | | この論法で述べている論証をすべて真にすれば自然とそのような状態になります |
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| - | &font(,#ffffcc){①\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta \in \mathbb{N}\quad s.t.\quad \forall n\in \mathbb{N}\quad ,\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-a \right| <\varepsilon \)&br;②\(\forall \varepsilon >0(\exists \delta \in \mathbb{N}(\forall n\in \mathbb{N}( n>\delta (\left| { a }_{ n }-a \right| <\varepsilon )))) \)&br;③どんな正の数\(\varepsilon\)に対しても、自然数\(\delta\)をうまく定めると、\(n>\delta \)であるどんな自然数\(n\)に対しても\(\left| { a }_{ n }-a \right| <\varepsilon \)となる}; | + | &font(,#ffffcc){①\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta \in \mathbb{N}\quad s.t.\quad \forall n\in \mathbb{N}\quad ,\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \)&br;②\(\forall \varepsilon >0(\exists \delta \in \mathbb{N}(\forall n\in \mathbb{N}( n>\delta (\left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon )))) \)&br;③どんな正の数\(\varepsilon\)に対しても、自然数\(\delta\)をうまく定めると、\(n>\delta \)であるどんな自然数\(n\)に対しても\(\left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \)となる}; |
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| | ①②③は表現が違うだけで全部同じことを言っている。但し②は括弧の中を優先的に計算していくという数学の性質上、計算の工程順が明確なので一番優れた表現となると考えられる（当サイトでは②の表現をメインに利用していく方針） | | ①②③は表現が違うだけで全部同じことを言っている。但し②は括弧の中を優先的に計算していくという数学の性質上、計算の工程順が明確なので一番優れた表現となると考えられる（当サイトでは②の表現をメインに利用していく方針） |
| | それを記述しているのが「&font(,#ffffcc){ \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta \in { \mathbb{N} }\) };」の部分となっている | | それを記述しているのが「&font(,#ffffcc){ \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta \in { \mathbb{N} }\) };」の部分となっている |
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| - | また、「\(\left| { a }_{ n }-a \right| <\varepsilon \)」の部分。数列\({a}_{n}\)から、その収束値\(a\)を引算して絶対値を取っている | + | また、「\(\left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \)」の部分。数列\({a}_{n}\)から、その収束値\(\alpha\)を引算して絶対値を取っている |
| - | これは数列\({a}_{n}\)から収束値\(a\)までの距離を表している。\(\varepsilon\)の値は、この距離よりも小さな値であると、この論証は言っている | + | これは数列\({a}_{n}\)から収束値\(\alpha\)までの距離を表している。\(\varepsilon\)の値は、この距離よりも小さな値であると、この論証は言っている |
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| | 構造は大体わかった。ではどうやってクランクシャフトを作ればいいのか？ | | 構造は大体わかった。ではどうやってクランクシャフトを作ればいいのか？ |
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