10: 2015-08-12 (水) 00:45:04 osinko  |
現: 2015-08-12 (水) 09:54:21 osinko |
| | **\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限を考える [#j3067aa9] | | **\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限を考える [#j3067aa9] |
| | #jsmath | | #jsmath |
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| - | ここから具体的に\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限について考えてみる。これは\(n\)を無限に近づけると\(\frac { 1 }{ n }\)が限りなく\(0\)に近づく事を表現している | |
| - | この場合の極限の論証は以下になる | |
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| - | &font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\forall n\in { \mathbb{N} \quad }(n>\delta \quad (\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon )\quad )))\) &br;どんな正の数\(\varepsilon\)に対しても、正の数\(\delta\)をうまく定めると、\(n>\delta \)であるどんな自然数\(n\)に対しても\(\left| \frac { 1 }{ n } \right| <\varepsilon \)となる}; | |
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| - | テンプレートである基本の論証から\(\exists \delta \in { \mathbb{N} }\)の部分を\(\exists \delta >0\)に、\({ a }_{ n }\)の部分を\(\frac { 1 }{ n }\)に、\(a\)の部分を\(0\)にチョコチョコと書き換えている | |
| - | このように式に合わせてテンプレートを書き換えてεδ論法を利用した | |
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| - | では論証の意味を検証していく | |
| - | εδ論法はその内容を代数だけで考えるよりもグラフを見ながら考えた方が理解しやすい。以下にこの論証の内容を図で表す | |
| - | &ref(epsdel1.png); | |
| - | まず、論証式の括弧の一番内側から始める。内側に対して外側の条件を全て満たしながら値を追いかける必要がある | |
| - | 括弧の一番内側は\(\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon \)、それと同時に一番外側の\(∀ε>0\)を満たしておく、\(\forall n\in { \mathbb{N} }\)より\(n\)が自然数である必要がある。グラフ図のεを見ると正の数であり、数列値\(\frac { 1 }{ n }\)と極限値\(0\)との距離より大きい値が勝手に自由に選ばれている。グラフ図のεの値は条件を満たしている | |
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| - | 次にひとつ外側の論証式、\(n>\delta \quad\)を見てみる。これはグラフ図を見ればどんな値が相応しいか良く分る。特に重要なのは「\(\varepsilon\)は\(\delta\)に対応する」関係を満たす必要がある点。これは、\(\delta =f(\varepsilon )\)という"なんらかの関数関係"にする必要があるという事。この場合、適切な\(\delta\)は\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n } \)より\(\varepsilon =\frac { 1 }{ \delta } \)となり、これを\(\delta\)に対して変形すると\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)が適切だと導ける（この場合、グラフ図をみた方が直観的に分るかも） | |
| - | この\(\delta\)が、先ほどの説明にあった、「うまく定めたクランクシャフト」。これは自分で考えて適切なものを考える必要がある | |
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| - | A点を数列値。B点を極限まで近づけるための点（しかし、A点とB点は完全には重ならない）とすると | |
| - | このグラフ図の関係をそのまま利用するならば\(\varepsilon=2\)、\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }=\frac { 1 }{ 2 } \)、ここで\(n>\delta \quad\)を満し、かつ自然数である必要があるので\(n=1\)となる。ここで全体の論証をチェックすると全て真になっている | |
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| - | また、Ａ点を\(\left( n,{ a }_{ n } \right)\)、Ｂ点を\(\left( \delta =\frac { 1 }{ \varepsilon } ,\varepsilon \right) \)として論証をチェックすると、このＡ点とＢ点は微分の関係になっている事に気が付く | |
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| - | \(\displaystyle \lim _{ b-a\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } \quad } =\quad \lim _{ A点の横軸値-B点の横軸値は0に限りなく近づく }{ \frac { A点の縦軸値-B点の縦軸値 }{ A点の横軸値-B点の横軸値 } } \quad =\quad \lim _{ \delta-n \rightarrow 0 }{ \frac { \varepsilon -{ a }_{ n } }{ \delta -n } } \) | |
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| - | 従ってＡ点、Ｂ点は永久に重ならず、\({a}_{n}\)よりも大きい\(\varepsilon\)を小さくし続けることによって限りなくＢ点をＡ点に近づける事が可能となった。さらにＡ点はこの数列の極限の論証による\(n\)の値の更新によりグラフの右側にどんどん移動していく。しかし、さらに更新された\(\varepsilon\)によりＢ点はＡ点を追いかけ続ける。ここに一種の漸化式の様な無限ループの計算が出来上がる事になる | |
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| - | [[ネットの海で拾った画像。イメージとしてはこんな感じ（猫パンエンジン画像）:https://dl.dropboxusercontent.com/u/87271864/catpanEngine.jpg]] | |
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| - | ***実際に値を入れてその動きを確かめてみる [#p45d3537] | |
| - | #jsmath | |
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| - | \(\varepsilon\) を論証を満たす範囲で小さくするとＢ点はＡ点に極限まで近づく。Ａ点は右に移動し、さらにＢ点はそれを追う。その様子を実際に値を入れながら確認してみる。 | |
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| - | &font(Green){\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1000 } \)とする}; | |
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| - | &font(Green){\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)より\(\delta =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 1000 } } =1000\)となる}; | |
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| - | &font(Green){\(n>\delta\) と \(\forall n\in { \mathbb{N} }\) より \(n=\delta+1=1000+1=1001\)}; | |
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| - | &font(Green){ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1000 }\)、\(\delta=1000\)、\(n=1001\)。これはεδ論法を満たしている}; | |
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| - | &font(Green){この時、Ａ点は\(\left( 1001,\frac { 1 }{ 1001 } \right) \)、Ｂ点は\(\left( 1000,\frac { 1 }{ 1000 } \right)\)であり間の距離\(\varepsilon\)は\(\frac { 1001-1000 }{ 1001\times 1000 } =\frac { 1 }{ 1001000 } \)となる}; | |
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| - | もう一度、この計算を繰り返してみる | |
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| - | &font(Blue){\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1001000 } \)とする}; | |
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| - | &font(Blue){\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)より\(\delta =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 1001000 } } =1001000\)となる}; | |
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| - | &font(Blue){\(n>\delta\) と \(\forall n\in { \mathbb{N} }\) より \(n=\delta+1=1001000+1=1001001\)}; | |
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| - | &font(Blue){ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1001000 }\)、\(\delta=1001000\)、\(n=1001001\)。これはεδ論法を満たしている}; | |
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| - | &font(Blue){この時、Ａ点は\(\left( 1001001,\frac { 1 }{ 1001001 } \right) \)、Ｂ点は\(\left( 1001000,\frac { 1 }{ 1001000 } \right)\)であり間の距離\(\varepsilon\)は\(\frac { 1001001-1001000 }{ 1001001\times 1001000 } =\frac { 1 }{ 1002002001000 } \)となる}; | |
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| - | もう一度、この計算を繰り返してみる | |
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| - | （以下略） | |
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| - | このようにεδ論法によって"作られた数式"を利用する事により\(\varepsilon\)は数回の計算を繰り返すことで人間には認識しづらい程、\(0\)に向かって小さな値に、つまり「限りなく\(0\)に近づく」事になる。この計算には終わりが無く無限回数これを繰り返す。従って\(\varepsilon\)は\(0\)に収束すると言い、そんな\(\varepsilon\)よりも小さい\(\frac{1}{n}\)は\(0\)だろうと予測できる。これを数式にすると\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)と表現できるが、これは予測であってまだ確認できていない | |
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