微積分と物理/数学的帰納
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
微積分と物理/数学的帰納 をテンプレートにして作成
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開始行:
TITLE:数学的帰納
#jsmath
帰納処理とはシンプルに言うと「初期値を与えられた漸化式」...
プログラムの帰納関数であれ数学の漸化式であれ以下の性質を...
-出発点、初期値の設定が必要
-関数で考える場合、帰納処理する関数は出力と入力が同じにな...
-関数の機能は自分自身を使って自分を定義する構造になる&br;...
-&font(Red){以上の事から「出発点、初期値の設定の値」はど...
-再帰と帰納は方向が違う&br;「小さなものから大きなものへ」...
このテクニックの大きな利点は
-&font(Red){はじめに、どれぐらいの大きさになるのか予想が...
-&font(Red){取り尽くすアルゴリズム。粗いものから細かいも...
-&font(Red){処理の深さを調節できる(まともにやると無限ル...
AIや数学的解析、物事の判定、判断を行う際に、おそらく必...
シンプルなアクションゲームでは必要ないがストラテジーやパ...
「数学の漸化式」と「C#の帰納関数」は入出力が同一になると...
-帰納は定義にも使える(数列のみならず、帰納的なアルゴリズ...
//-帰納定義は「自分自身を使って自分を定義する」という考え方
-帰納に関わる入出力値は自明な事として全て「同一の性質」を...
//-再帰と帰納は方向が違う。「小さなものから大きなものへ」...
***数学的帰納法による証明
帰納的に定義された対象は「数学的帰納法による証明」が行える
数学的論理による説明は慣れないうちはその主張がシンプル過...
なので論理が主張する意味を追いかけて読み行間から意味を汲...
自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して
\( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \...
が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなって...
+数列の初期値(この場合\(n=1\))が関数\(P(1)\)で成り立つ事...
+任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を...
//(\(p(k)\)は仮定。\(p(k+1)\)が証明)
+1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)...
//『「\(n\)が一番端(1や0)が成り立つ」&「任意の自然数\(...
//\(p(n)\)の出力は実数。
これは「[[プログラマの数学>書評]]」で説明されるドミノのた...
&font(Red){C#にこの論理を当てはめると\(p(1)\)は初期設定...
<メモ>
「ホーン節」という面白い考え方があるらしい。上記の解釈は...
[[ホーン節:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%...
[[9.5 ホーン節と導出原理:http://www.ipc.hokusei.ac.jp/...
[[論理プログラミング:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB...
ちょっと理解が出来ていないが一度しっかりやってみる必要が...
εδ論法はεとδが対応する関係にあった
この命題も対応する関係を含意によって証明(裏に隠れた関数...
//<考察>
//逆にこれが成り立たない関数の形とはどんなものだろうか?
//たとえば\(p(0)\)が一番端だとして\(p(i)=\frac{1}{i}\)の...
//又、この論証から数列が帰納的な性質を持っているという事...
//数列の総和や極限で表現された微分や積分は必ず帰納的に考...
//つまり形式的微分や形式的積分で求められた関数から起源で...
//<メモ>
//自然数の場合は数列で実数でも単調であれば同じこと?・・...
//依存すると対応するの違いはあるのか?
***証明の例
以下の漸化式が奇数になる事を証明する
\(\begin{cases} { a }_{ 1 }=3 \\ { a }_{ n+1 }=2{ a }_{ n...
規則P: どの\({a}_{n}\)も\(2\)で割ると\(1\)余る(奇数にな...
規則R: \({a}_{n+1}\)は\({a}_{n}\)に対する漸化式
<証明>
basis:
+\({a}_{1}=3\)であるから\({a}_{1}\)は\(2\)で割ると\(1\)余る
induction step:
+\({a}_{n}\)を\(2\)で割ると\(1\)余る数だと仮定する&br;つ...
+そのとき&br;\({a}_{n+1}=2{a}_{n}-1\)&br; \(=2(2k+1)...
以上により、どの\({a}_{n}\)も2で割ると1余り奇数となる
***漸化式の証明のまとめ
<漸化式の特徴>
漸化式は一般項を\(n\)の式で表せない数列も定義できる
<漸化式の証明のまとめ>
-basis: 出発点\({a}_{1}\)が性質Pを持っている事を示す
-induction step: 既に得られた項\({a}_{n}\)から次の項\({a...
-以上を示せばすべての項が性質Pを持っている事が証明される
重要なのは再帰的なプログラムコードや関数も、これを意識す...
***バックアップストッカー
<漸化式>
|等差数列|\({ a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=d\)|\(d=\)公差|
|等比数列|\(\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =r\)|\...
|階差数列|\({ a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=f\left( n \right)\)...
数列の漸化式は帰納的定義となる
例えば等差数列の総和の漸化式は以下の形となる
<TODO>
等比数列の総和の漸化式は
終了行:
TITLE:数学的帰納
#jsmath
帰納処理とはシンプルに言うと「初期値を与えられた漸化式」...
プログラムの帰納関数であれ数学の漸化式であれ以下の性質を...
-出発点、初期値の設定が必要
-関数で考える場合、帰納処理する関数は出力と入力が同じにな...
-関数の機能は自分自身を使って自分を定義する構造になる&br;...
-&font(Red){以上の事から「出発点、初期値の設定の値」はど...
-再帰と帰納は方向が違う&br;「小さなものから大きなものへ」...
このテクニックの大きな利点は
-&font(Red){はじめに、どれぐらいの大きさになるのか予想が...
-&font(Red){取り尽くすアルゴリズム。粗いものから細かいも...
-&font(Red){処理の深さを調節できる(まともにやると無限ル...
AIや数学的解析、物事の判定、判断を行う際に、おそらく必...
シンプルなアクションゲームでは必要ないがストラテジーやパ...
「数学の漸化式」と「C#の帰納関数」は入出力が同一になると...
-帰納は定義にも使える(数列のみならず、帰納的なアルゴリズ...
//-帰納定義は「自分自身を使って自分を定義する」という考え方
-帰納に関わる入出力値は自明な事として全て「同一の性質」を...
//-再帰と帰納は方向が違う。「小さなものから大きなものへ」...
***数学的帰納法による証明
帰納的に定義された対象は「数学的帰納法による証明」が行える
数学的論理による説明は慣れないうちはその主張がシンプル過...
なので論理が主張する意味を追いかけて読み行間から意味を汲...
自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して
\( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \...
が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなって...
+数列の初期値(この場合\(n=1\))が関数\(P(1)\)で成り立つ事...
+任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を...
//(\(p(k)\)は仮定。\(p(k+1)\)が証明)
+1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)...
//『「\(n\)が一番端(1や0)が成り立つ」&「任意の自然数\(...
//\(p(n)\)の出力は実数。
これは「[[プログラマの数学>書評]]」で説明されるドミノのた...
&font(Red){C#にこの論理を当てはめると\(p(1)\)は初期設定...
<メモ>
「ホーン節」という面白い考え方があるらしい。上記の解釈は...
[[ホーン節:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%...
[[9.5 ホーン節と導出原理:http://www.ipc.hokusei.ac.jp/...
[[論理プログラミング:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB...
ちょっと理解が出来ていないが一度しっかりやってみる必要が...
εδ論法はεとδが対応する関係にあった
この命題も対応する関係を含意によって証明(裏に隠れた関数...
//<考察>
//逆にこれが成り立たない関数の形とはどんなものだろうか?
//たとえば\(p(0)\)が一番端だとして\(p(i)=\frac{1}{i}\)の...
//又、この論証から数列が帰納的な性質を持っているという事...
//数列の総和や極限で表現された微分や積分は必ず帰納的に考...
//つまり形式的微分や形式的積分で求められた関数から起源で...
//<メモ>
//自然数の場合は数列で実数でも単調であれば同じこと?・・...
//依存すると対応するの違いはあるのか?
***証明の例
以下の漸化式が奇数になる事を証明する
\(\begin{cases} { a }_{ 1 }=3 \\ { a }_{ n+1 }=2{ a }_{ n...
規則P: どの\({a}_{n}\)も\(2\)で割ると\(1\)余る(奇数にな...
規則R: \({a}_{n+1}\)は\({a}_{n}\)に対する漸化式
<証明>
basis:
+\({a}_{1}=3\)であるから\({a}_{1}\)は\(2\)で割ると\(1\)余る
induction step:
+\({a}_{n}\)を\(2\)で割ると\(1\)余る数だと仮定する&br;つ...
+そのとき&br;\({a}_{n+1}=2{a}_{n}-1\)&br; \(=2(2k+1)...
以上により、どの\({a}_{n}\)も2で割ると1余り奇数となる
***漸化式の証明のまとめ
<漸化式の特徴>
漸化式は一般項を\(n\)の式で表せない数列も定義できる
<漸化式の証明のまとめ>
-basis: 出発点\({a}_{1}\)が性質Pを持っている事を示す
-induction step: 既に得られた項\({a}_{n}\)から次の項\({a...
-以上を示せばすべての項が性質Pを持っている事が証明される
重要なのは再帰的なプログラムコードや関数も、これを意識す...
***バックアップストッカー
<漸化式>
|等差数列|\({ a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=d\)|\(d=\)公差|
|等比数列|\(\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =r\)|\...
|階差数列|\({ a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=f\left( n \right)\)...
数列の漸化式は帰納的定義となる
例えば等差数列の総和の漸化式は以下の形となる
<TODO>
等比数列の総和の漸化式は
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