微積分と物理/積分
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
微積分と物理/積分 をテンプレートにして作成
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開始行:
#contents
#jsmath
**積分とは何か?
&font(150%){''積分とは? = 面積を求める計算''&br;};
「積算」とは一般的に数値を次々と加えていく計算を指す。&fo...
積分は細かくいくつにも分割した領域の面積を積算する計算技...
**区分求積法
#jsmath
区分求積法とは、読んで字の如く「区分」に分けた領域を「求...
区分求積法は積分の考えのベースになっています
面積を求める事によってどのような事が可能となるのでしょう...
日常でも、ある目的地に向かって車でドライブする時、その目...
たとえば車の平均時速が \(40\)km/h だったとして目的地が \(...
\(40\)km/h \(\times 5\)h\(=200\)km という長方形の面積の計...
グラフにすると以下のようになります
&ref(integral1.png);
このように &font(Red){''速度と時間のグラフの面積を求める...
では、もしこの速度のグラフが正方形ではなく自由な形、極端...
どのようにすれば、その面積(距離)が求められるでしょうか...
例えばアクセルべた踏みで加速していく車があったとします。...
この加速する度合い、加速度\(a\)が \(9.8\) m/sだったとした...
この車の\(4\)秒後の位置を知る必要があるとして、これをグラ...
&ref(integral2.png);
この赤い領域の面積を求めれば、この速度の関数から4秒後の車...
4秒後の車の位置は\(\displaystyle \frac { 底辺\times 高さ...
積分必要ないですね・・・今回はたまたま直角三角形の面積を...
つまりグラフの形よって公式が変化してしまう(先ほどは長方...
例えば以下のようなグラフの場合、途端に対応できなくなります
&ref(integral3.png);
ここでより「一般的な数式」どんな状況でも対応できる「区分...
区分求積法とは、冒頭でも説明したように「区分」に分けた領...
つまりグラフ図にするとこうなっています
&ref(integral4.png);
この例では1秒毎に4秒まで4区分に分けて面積を計算し、そ...
わかりやすく今回は4区分にしていますが、この区分数は自由...
はみ出した領域がどんどん小さくなります
&ref(integral5.png);
すると区分数を増やすほど最初に三角形で求めた正確な面積の...
この計算は性質的に近似を求める計算になるのですが、必要数...
では、この区分求積法を人類の公用語である数学の数式にします
この一連の計算を数式として表す為に幾つか数学的な表記や文...
①積分する対象を関数で表す「\(f(x)\)」
②微細な区分を表す「Δ(デルタ)」
③積算を表す「\(\sum\)(シグマ)」
④極限を表す「\(\lim\)」
この4つを利用して区分求積法を数式化します。まず分かりや...
unityにコーディング後、計算動作を確認してから④を導入して...
***関数
#jsmath
<数学の関数>
&font(Red){&font(130%){\(y\)が\(x\)において1通りに決まる...
&ref(integral6.png);
これを今までの速度の関数 \(v=9.8t\) に当てはめると、vはt...
C#において関数は汎用的に制御処理(ステートメント)が扱え...
それに比べて数学においての関数は非常に機能が制限されてい...
このような仕組みを採用している理由は数学の関数が微積分に...
あるルールに従って複数の関数を組み合わせ新しい関数を作っ...
数学では計算操作によって関数のステートメント自体を状況や...
式を変形させ整合性を保つには等号で結ばれた未知数を指す変...
(LINQ等で利用されている式木というものを使えばプログラム...
そういう意味でC#で扱う関数と数学の関数は同じ名前でも、少...
<補足>
ちなみに数学でもベクトルやマトリックスは複数要素持ってい...
***Δ(デルタ)
#jsmath
「デルタ(Δ)」これは変化量を表現した記号。変数の前につけて...
数学記号として「d」で表されることも多い。
たとえばA地点とB地点があって、その間の変化の量を表現する...
&ref(17cabc1ac99783cb46b97843d047862f.jpeg);
この変化は、どんな型であっても良い。例えば「時間」であっ...
時間なら一般的に\(Δt\)(tはtimeの略) 、距離なら\(Δh\)や\(...
(もしくは数式内で、\(dt\)、\(dh\)、\(dx\)、\(d\theta\) ...
unityにはTime.DeltaTimeという使用頻度の高いプロパティが存...
もしコードを書くときに値に微小な変化量の意味を持たせたけ...
区分求積法ではグラフに対して区分数が多いほど精度が向上す...
最終的には、その一区分の"横軸の長さ"を究極的に小さくする...
例えば \(f(t)=9.8t\) の区分求積法の場合一つの区分の面積は...
&ref(integral7.png);
グラフの横軸は時間 \(t\) によって定まりますが、\(Δt\) と...
上記の図を例に考えると \(Δt=1\)、計算範囲を表す \(t=4\)。...
4番目の区分の面積は \(9.8\times Δt\times n\times Δt\quad...
***Σ(シグマ:総和)
変数 dt が細かく微細になればなるほど計算精度が向上してい...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
using System;
public class Sum2 : MonoBehaviour
{
void Start ()
{
print (Integral (4f, 0.01f, Gravity));
print (Integral (0.5f * Mathf.PI, 0.01f, Sin));
}
float Integral (float t, float dt, Func<float,float> f)
{
float parts = t / dt;
float sum = 0;
for (int n = 1; n <= parts; n++) {
sum += f (dt * n) * dt;
}
return sum;
}
float Gravity (float t)
{
return 9.8f * t;
}
float Sin (float t)
{
return Mathf.Sin (t);
}
}
}}
**極限
** ""
#jsmath
\(\displaystyle\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ \int { 9....
\(\displaystyle \rightarrow \quad \quad \lim _{ \Delta t\...
#navi
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#contents
#jsmath
**積分とは何か?
&font(150%){''積分とは? = 面積を求める計算''&br;};
「積算」とは一般的に数値を次々と加えていく計算を指す。&fo...
積分は細かくいくつにも分割した領域の面積を積算する計算技...
**区分求積法
#jsmath
区分求積法とは、読んで字の如く「区分」に分けた領域を「求...
区分求積法は積分の考えのベースになっています
面積を求める事によってどのような事が可能となるのでしょう...
日常でも、ある目的地に向かって車でドライブする時、その目...
たとえば車の平均時速が \(40\)km/h だったとして目的地が \(...
\(40\)km/h \(\times 5\)h\(=200\)km という長方形の面積の計...
グラフにすると以下のようになります
&ref(integral1.png);
このように &font(Red){''速度と時間のグラフの面積を求める...
では、もしこの速度のグラフが正方形ではなく自由な形、極端...
どのようにすれば、その面積(距離)が求められるでしょうか...
例えばアクセルべた踏みで加速していく車があったとします。...
この加速する度合い、加速度\(a\)が \(9.8\) m/sだったとした...
この車の\(4\)秒後の位置を知る必要があるとして、これをグラ...
&ref(integral2.png);
この赤い領域の面積を求めれば、この速度の関数から4秒後の車...
4秒後の車の位置は\(\displaystyle \frac { 底辺\times 高さ...
積分必要ないですね・・・今回はたまたま直角三角形の面積を...
つまりグラフの形よって公式が変化してしまう(先ほどは長方...
例えば以下のようなグラフの場合、途端に対応できなくなります
&ref(integral3.png);
ここでより「一般的な数式」どんな状況でも対応できる「区分...
区分求積法とは、冒頭でも説明したように「区分」に分けた領...
つまりグラフ図にするとこうなっています
&ref(integral4.png);
この例では1秒毎に4秒まで4区分に分けて面積を計算し、そ...
わかりやすく今回は4区分にしていますが、この区分数は自由...
はみ出した領域がどんどん小さくなります
&ref(integral5.png);
すると区分数を増やすほど最初に三角形で求めた正確な面積の...
この計算は性質的に近似を求める計算になるのですが、必要数...
では、この区分求積法を人類の公用語である数学の数式にします
この一連の計算を数式として表す為に幾つか数学的な表記や文...
①積分する対象を関数で表す「\(f(x)\)」
②微細な区分を表す「Δ(デルタ)」
③積算を表す「\(\sum\)(シグマ)」
④極限を表す「\(\lim\)」
この4つを利用して区分求積法を数式化します。まず分かりや...
unityにコーディング後、計算動作を確認してから④を導入して...
***関数
#jsmath
<数学の関数>
&font(Red){&font(130%){\(y\)が\(x\)において1通りに決まる...
&ref(integral6.png);
これを今までの速度の関数 \(v=9.8t\) に当てはめると、vはt...
C#において関数は汎用的に制御処理(ステートメント)が扱え...
それに比べて数学においての関数は非常に機能が制限されてい...
このような仕組みを採用している理由は数学の関数が微積分に...
あるルールに従って複数の関数を組み合わせ新しい関数を作っ...
数学では計算操作によって関数のステートメント自体を状況や...
式を変形させ整合性を保つには等号で結ばれた未知数を指す変...
(LINQ等で利用されている式木というものを使えばプログラム...
そういう意味でC#で扱う関数と数学の関数は同じ名前でも、少...
<補足>
ちなみに数学でもベクトルやマトリックスは複数要素持ってい...
***Δ(デルタ)
#jsmath
「デルタ(Δ)」これは変化量を表現した記号。変数の前につけて...
数学記号として「d」で表されることも多い。
たとえばA地点とB地点があって、その間の変化の量を表現する...
&ref(17cabc1ac99783cb46b97843d047862f.jpeg);
この変化は、どんな型であっても良い。例えば「時間」であっ...
時間なら一般的に\(Δt\)(tはtimeの略) 、距離なら\(Δh\)や\(...
(もしくは数式内で、\(dt\)、\(dh\)、\(dx\)、\(d\theta\) ...
unityにはTime.DeltaTimeという使用頻度の高いプロパティが存...
もしコードを書くときに値に微小な変化量の意味を持たせたけ...
区分求積法ではグラフに対して区分数が多いほど精度が向上す...
最終的には、その一区分の"横軸の長さ"を究極的に小さくする...
例えば \(f(t)=9.8t\) の区分求積法の場合一つの区分の面積は...
&ref(integral7.png);
グラフの横軸は時間 \(t\) によって定まりますが、\(Δt\) と...
上記の図を例に考えると \(Δt=1\)、計算範囲を表す \(t=4\)。...
4番目の区分の面積は \(9.8\times Δt\times n\times Δt\quad...
***Σ(シグマ:総和)
変数 dt が細かく微細になればなるほど計算精度が向上してい...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
using System;
public class Sum2 : MonoBehaviour
{
void Start ()
{
print (Integral (4f, 0.01f, Gravity));
print (Integral (0.5f * Mathf.PI, 0.01f, Sin));
}
float Integral (float t, float dt, Func<float,float> f)
{
float parts = t / dt;
float sum = 0;
for (int n = 1; n <= parts; n++) {
sum += f (dt * n) * dt;
}
return sum;
}
float Gravity (float t)
{
return 9.8f * t;
}
float Sin (float t)
{
return Mathf.Sin (t);
}
}
}}
**極限
** ""
#jsmath
\(\displaystyle\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ \int { 9....
\(\displaystyle \rightarrow \quad \quad \lim _{ \Delta t\...
#navi
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