確率と統計/二次方程式と確率
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
確率と統計/二次方程式と確率 をテンプレートにして作成
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TITLE:二次方程式と確率
#jsmath
**二次方程式と確率
虚数の情緒P480から7.3.2 虚根の確率より
まず、基本的な確認。実根と虚根を持つ二次方程式の例を以下...
<公式>
\(判別式 D={ b }^{ 2 }-4ac\quad ,\quad 根の公式 \frac {...
<実根の例>
\({ x }^{ 2 }+2x-8=0\quad \Leftrightarrow \quad (x+4)(x-2...
<虚根の例>
\({ x }^{ 2 }+3x+3=0\quad \Leftrightarrow \quad \frac { -...
<pocketCasでグラフを見て定量、定性を確認>
&ref(siki1.png);
***本に書いてある仕組みのプログラムをunityで書く
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Niji_rand : MonoBehaviour
{
void Start()
{
int sampling = 1000000;
for (int i = 0; i < 5; i++)
{
print(Test(sampling));
}
}
private float Test(int sampling)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < sampling; i++)
{
int b = RandomNum();
int c = RandomNum();
if (D(b, c)) count++; //判別式がマイナスの...
}
return (float)count / (float)sampling; //確率...
}
//判別式でマイナスの値で真を返す
private bool D(int b, int c)
{
return (b * b - 4 * c < 0) ? true : false;
}
//-9~9の乱数を返す
private int RandomNum()
{
return Random.Range(-9, 9 + 1);
}
}
}}
出力は、ほぼ0.2022...周辺に収束されている
%%・・・理論値から多少ズレるのは+-0の重複分があるから...
この後の順次実行のコードの場合
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
public class Prob : MonoBehaviour
{
void Start()
{
//intの範囲的に9999で止めている。https://msdn.mic...
//?? unityは値のオーバーフローをすると実行が無...
//この場合のクラッシュの特徴としてunity上のインタ...
int[] h = { 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 99, 999...
foreach (int n in h)
{
int count = 0;
int D_count = 0;
for (int b = -n; b < n + 1; b++)
{
for (int c = -n; c < n + 1; c++)
{
count++;
if ((b * b - 4 * c) < 0) D_count++;
}
}
print(string.Format("方程式の総数={0} 虚根の...
}
}
}
}}
この実験からわかることは
&font(150%){虚根は係数b,cの範囲の拡大とともに減少していく};
***要考察
この章は、最初は整数で考え次に実数で考えている
+判別式を関数とみなしてb,cのグラフ上に描いたとき放物線の...
+この面積比が整数h、実数kを大きくすることによって面積比が...
1.がよくわからない
***考察1
&font(150%){確率は「起こり得る全体の中で希望するものの割...
-平面上の座標とみなされたbとcは均等に起こり得ると考える
-判別式を関数と見なしb入力c出力、つまりc(b)と考える
-希望するものの条件をc(b)として、全体をbとcの&font(Red){...
-&font(Red){成功条件関数};が描くグラフ内部の面積と平面上...
-二次方程式は条件である判別式を導くために利用されている。...
***例
簡単な例を考えてみる。\(x\)と\(y\)軸のグラフがある。成功...
以上のことから成功条件関数は\(D=2x-3y=0\quad \rightarrow ...
これらの事をグラフで確認すると以下になる
&ref(grp1.png);
6×4の長方形の矩形の範囲面積が全体。画像で青色で示されてい...
この様子を視覚的に眺めていると、ほぼ50%の確率で成功条件を...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class prob2 : MonoBehaviour
{
void Start()
{
int sampling = 1000000;
for (int i = 0; i < 5; i++)
{
print(Test(sampling));
}
}
private float Test(int sampling)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < sampling; i++)
{
float x = Random.Range(0, 6f); //floatの場合...
float y = Random.Range(0, 4f);
if (((2f * x) - (3f * y)) < 0) count++; //...
}
return (float)count / (float)sampling; //確率...
}
}
}}
出力
0.500461
0.499495
0.499841
0.500345
0.499351
やはり50%になる。考えれば当たり前のことなのだが成功関...
こういった考えを「一様分布」と呼ぶ
資料:[[一様分布:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%...
***考察2
本で行っている計算を別のやり方、具体的には微積分を使って...
まず、\(c=\frac { 1 }{ 4 } { b }^{ 2 }\) の第一象限での...
&ref(grp4.png);
\(c=\frac { 1 }{ 4 } { b }^{ 2 }\) のグラフ上の点は\(c\)...
この放物線の外側の面積は積分で考えると \(\displaystyle \...
\(\displaystyle \int _{ 0 }^{ 2\sqrt { k } }{ \frac { 1 ...
となる。これは放物線のグラフの外側の面積なので内側の面積...
この矩形と積分の値を引き算すると内側が出せる。これは
\(2k\sqrt { k } -\frac { 2 }{ 3 } k\sqrt { k } \quad =\qu...
第二象限までの面積を考えると2倍になる筈なので\(\frac { 4 ...
これに対する、乱数の試行範囲は\(k\)の値により\({ \left( 2...
従って確率を求める式は、起こり得る全体の面積と希望するも...
\(\frac { \frac { 8 }{ 3 } k\sqrt { k } }{ 4{ k }^{ 2 } ...
得られた式は本と同様になることが確認できるので、これで間...
試しに\(k=49\)を求めてみる
&ref(grp5.png);
\(\frac { 2 }{ 3\sqrt { 49 } } =0.09523...\)
この\(k\)の値、つまり「実数の乱数の試行範囲」を限りなく大...
#navi
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TITLE:二次方程式と確率
#jsmath
**二次方程式と確率
虚数の情緒P480から7.3.2 虚根の確率より
まず、基本的な確認。実根と虚根を持つ二次方程式の例を以下...
<公式>
\(判別式 D={ b }^{ 2 }-4ac\quad ,\quad 根の公式 \frac {...
<実根の例>
\({ x }^{ 2 }+2x-8=0\quad \Leftrightarrow \quad (x+4)(x-2...
<虚根の例>
\({ x }^{ 2 }+3x+3=0\quad \Leftrightarrow \quad \frac { -...
<pocketCasでグラフを見て定量、定性を確認>
&ref(siki1.png);
***本に書いてある仕組みのプログラムをunityで書く
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Niji_rand : MonoBehaviour
{
void Start()
{
int sampling = 1000000;
for (int i = 0; i < 5; i++)
{
print(Test(sampling));
}
}
private float Test(int sampling)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < sampling; i++)
{
int b = RandomNum();
int c = RandomNum();
if (D(b, c)) count++; //判別式がマイナスの...
}
return (float)count / (float)sampling; //確率...
}
//判別式でマイナスの値で真を返す
private bool D(int b, int c)
{
return (b * b - 4 * c < 0) ? true : false;
}
//-9~9の乱数を返す
private int RandomNum()
{
return Random.Range(-9, 9 + 1);
}
}
}}
出力は、ほぼ0.2022...周辺に収束されている
%%・・・理論値から多少ズレるのは+-0の重複分があるから...
この後の順次実行のコードの場合
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
public class Prob : MonoBehaviour
{
void Start()
{
//intの範囲的に9999で止めている。https://msdn.mic...
//?? unityは値のオーバーフローをすると実行が無...
//この場合のクラッシュの特徴としてunity上のインタ...
int[] h = { 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 99, 999...
foreach (int n in h)
{
int count = 0;
int D_count = 0;
for (int b = -n; b < n + 1; b++)
{
for (int c = -n; c < n + 1; c++)
{
count++;
if ((b * b - 4 * c) < 0) D_count++;
}
}
print(string.Format("方程式の総数={0} 虚根の...
}
}
}
}}
この実験からわかることは
&font(150%){虚根は係数b,cの範囲の拡大とともに減少していく};
***要考察
この章は、最初は整数で考え次に実数で考えている
+判別式を関数とみなしてb,cのグラフ上に描いたとき放物線の...
+この面積比が整数h、実数kを大きくすることによって面積比が...
1.がよくわからない
***考察1
&font(150%){確率は「起こり得る全体の中で希望するものの割...
-平面上の座標とみなされたbとcは均等に起こり得ると考える
-判別式を関数と見なしb入力c出力、つまりc(b)と考える
-希望するものの条件をc(b)として、全体をbとcの&font(Red){...
-&font(Red){成功条件関数};が描くグラフ内部の面積と平面上...
-二次方程式は条件である判別式を導くために利用されている。...
***例
簡単な例を考えてみる。\(x\)と\(y\)軸のグラフがある。成功...
以上のことから成功条件関数は\(D=2x-3y=0\quad \rightarrow ...
これらの事をグラフで確認すると以下になる
&ref(grp1.png);
6×4の長方形の矩形の範囲面積が全体。画像で青色で示されてい...
この様子を視覚的に眺めていると、ほぼ50%の確率で成功条件を...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class prob2 : MonoBehaviour
{
void Start()
{
int sampling = 1000000;
for (int i = 0; i < 5; i++)
{
print(Test(sampling));
}
}
private float Test(int sampling)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < sampling; i++)
{
float x = Random.Range(0, 6f); //floatの場合...
float y = Random.Range(0, 4f);
if (((2f * x) - (3f * y)) < 0) count++; //...
}
return (float)count / (float)sampling; //確率...
}
}
}}
出力
0.500461
0.499495
0.499841
0.500345
0.499351
やはり50%になる。考えれば当たり前のことなのだが成功関...
こういった考えを「一様分布」と呼ぶ
資料:[[一様分布:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%...
***考察2
本で行っている計算を別のやり方、具体的には微積分を使って...
まず、\(c=\frac { 1 }{ 4 } { b }^{ 2 }\) の第一象限での...
&ref(grp4.png);
\(c=\frac { 1 }{ 4 } { b }^{ 2 }\) のグラフ上の点は\(c\)...
この放物線の外側の面積は積分で考えると \(\displaystyle \...
\(\displaystyle \int _{ 0 }^{ 2\sqrt { k } }{ \frac { 1 ...
となる。これは放物線のグラフの外側の面積なので内側の面積...
この矩形と積分の値を引き算すると内側が出せる。これは
\(2k\sqrt { k } -\frac { 2 }{ 3 } k\sqrt { k } \quad =\qu...
第二象限までの面積を考えると2倍になる筈なので\(\frac { 4 ...
これに対する、乱数の試行範囲は\(k\)の値により\({ \left( 2...
従って確率を求める式は、起こり得る全体の面積と希望するも...
\(\frac { \frac { 8 }{ 3 } k\sqrt { k } }{ 4{ k }^{ 2 } ...
得られた式は本と同様になることが確認できるので、これで間...
試しに\(k=49\)を求めてみる
&ref(grp5.png);
\(\frac { 2 }{ 3\sqrt { 49 } } =0.09523...\)
この\(k\)の値、つまり「実数の乱数の試行範囲」を限りなく大...
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