8: 2015-08-11 (火) 02:40:05 osinko  |
9: 2015-08-11 (火) 20:53:55 osinko |
| | + | #contents |
| | **\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限を考える [#j3067aa9] | | **\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限を考える [#j3067aa9] |
| | #jsmath | | #jsmath |
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| | このようにεδ論法によって"作られた数式"を利用する事により\(\varepsilon\)は数回の計算を繰り返すことで人間には認識しづらい程、\(0\)に向かって小さな値に、つまり「限りなく\(0\)に近づく」事になる。この計算には終わりが無く無限回数これを繰り返す。従って\(\varepsilon\)は\(0\)に収束すると言い、そんな\(\varepsilon\)よりも小さい\(\frac{1}{n}\)は\(0\)だろうと予測できる。これを数式にすると\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)と表現できるが、これは予測であってまだ確認できていない | | このようにεδ論法によって"作られた数式"を利用する事により\(\varepsilon\)は数回の計算を繰り返すことで人間には認識しづらい程、\(0\)に向かって小さな値に、つまり「限りなく\(0\)に近づく」事になる。この計算には終わりが無く無限回数これを繰り返す。従って\(\varepsilon\)は\(0\)に収束すると言い、そんな\(\varepsilon\)よりも小さい\(\frac{1}{n}\)は\(0\)だろうと予測できる。これを数式にすると\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)と表現できるが、これは予測であってまだ確認できていない |
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| | + | ***おまけ（たぶんテンプレート論証に自然数の指定は必要ない） [#f2a57a7d] |
| | + | #jsmath |
| | + | εδ論法のテンプレートとなる基本フォーマットは以下の形を持っていれば良いようです（個人で調べた範囲の結論なのでまちがってるかも） |
| | + | &font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (n>\delta \quad ({ a }_{ n }-\alpha<\varepsilon )\quad )) \)}; |
| | + | |
| | + | これは\(\varepsilon\)に正の数の整数を入れようとした時に気が付いた事なのですが、無理に\(\delta\)や\(n\)を自然数にしようとすると計算が出来ない事になります。そもそもアルキメデスの原則は各変数に対し自然数でなければならないというような指定はありませんでした。一度、「～\(\in { \mathbb{N} }\)」を外して計算してみると論証に真がだせるので、たぶん間違っていないのではないかと予想しています |
| | + | |
| | + | #hr |
| | + | 論証：&font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\forall n\in { \mathbb{N} \quad }(n>\delta \quad (\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon )\quad )))\) }; |
| | + | |
| | + | 例として\(\varepsilon =1000 \)とする |
| | + | |
| | + | \(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)より\(\delta =\frac { 1 }{ 1000 }\)となる |
| | + | |
| | + | \(n>\delta\) と \(\forall n\in { \mathbb{N} }\) より \(\frac { 1 }{ n } <\frac { 1 }{ \delta } \) となり \( \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 1000+1 } } <\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 1000 } } \) なので \(n=\frac{1}{1001}\) となる（&font(Red){ここで\(\forall n\in { \mathbb{N} }\)が邪魔になるので外してしまって良い};） |
| | + | |
| | + | ＜ToDO＞ |
| | + | |
| | + | //ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1000 }\)、\(\delta=1000\)、\(n=1001\)。これはεδ論法を満たしている |
| | + | |
| | + | //この時、Ａ点は\(\left( 1001,\frac { 1 }{ 1001 } \right) \)、Ｂ点は\(\left( 1000,\frac { 1 }{ 1000 } \right)\)であり間の距離\(\varepsilon\)は\(\frac { 1001-1000 }{ 1001\times 1000 } =\frac { 1 }{ 1001000 } \)となる |
| | + | |
| | + | この場合、εがカウンタになるので、&font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon \in { \mathbb{ N }\quad }(\quad \exists \delta >0\quad (n>\delta \quad (\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon )\quad ))\) };という書き方をしても良いのではないだろうかと思う |
| | + | |
| | + | #hr |
| | + | |
| | + | 数学の教本で\(\delta\)を「\(\forall \delta\in { \mathbb{ N }}\)」として自然数にしたり、\(n\)を「\(\forall n\in { \mathbb{ N }}\)」としているのは実数である変数とカウンタブルな\(\delta\)や\(n\)は１対１に対応している事を説明する為だと思われます（数列の\({a}_{n}\)の\(n\)は自然数である事が高校数学では求められるが、これは本当は実数でも良いという事らしい（おそらくlogが数列の進化版となっている）。コンピューター言語のC#等では配列のインデックスに自然数を使う。そういう意味で数学の教本がδやnを自然数に指定しているのは老婆心であるのだろう |
| | + | |
| | + | εδに沿って考えれば関係する変数にカウンタブルなインデックスとなる変数を仕込める。そのインデックスからコンピューターに解析手順を渡せる |
| | + | |
| | + | 実数と実数が１対１で対応している場合Ｃ＃ではDictionaryクラスが必要 |
| | + | Dictionaryクラスはforループでインデックス変数に＋１していくようなカウンタブルな参照は出来ない |
| | + | （こういう処理には本当はlogを使うのが良い） |
| | + | |
| | + | 実数と自然数が１対１で対応している場合Ｃ＃では配列クラスが使える |
| | + | また自然数はカウンタとして利用出来るのでforループでカウンタブルに参照して行ける |
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