3: 2015-08-08 (土) 00:01:25 osinko  |
現: 2015-08-12 (水) 09:54:21 osinko |
| | + | #contents |
| | **\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限を考える [#j3067aa9] | | **\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限を考える [#j3067aa9] |
| | #jsmath | | #jsmath |
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| - | ここから具体的に\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限について考えてみる。これは\(n\)を無限に近づけると\(\frac { 1 }{ n }\)が限りなく\(0\)に近づく事を表現している | |
| - | この場合の極限の論証は以下になる | |
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| - | &font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\forall n\in { { N }\quad }(n>\delta \quad (\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon )\quad )))\) &br;どんな正の数\(\varepsilon\)に対しても、正の数\(\delta\)をうまく定めると、\(n>\delta \)であるどんな自然数\(n\)に対しても\(\left| \frac { 1 }{ n } \right| <\varepsilon \)となる}; | |
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| - | テンプレートである基本の論証から\(\exists \delta \in { \mathbb{N} }\)の部分を\(\exists \delta >0\)に、\({ a }_{ n }\)の部分を\(\frac { 1 }{ n }\)に、\(a\)の部分を\(0\)にチョコチョコと書き換えている | |
| - | このように式に合わせてテンプレートを書き換えてεδ論法を利用した | |
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| - | では論証の意味を検証していく | |
| - | εδ論法はその内容を代数だけで考えるよりもグラフを見ながら考えた方が理解しやすい。以下にこの論証の内容を図で表す | |
| - | &ref(epsdel1.png); | |
| - | まず、論証式の括弧の一番内側から始める。内側に対して外側の条件を全て満たしながら値を追いかける必要がある | |
| - | 括弧の一番内側は\(\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon \)、それと同時に一番外側の\(∀ε>0\)を満たしておく必要がある。グラフ図のεを見ると | |
| - | 正の数であり、数列値\(\frac { 1 }{ n }\)と極限値\(0\)との距離より大きい値が勝手に自由に選ばれている。グラフ図のεの値は条件を満たしている | |
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| - | 次にひとつ外側の論証式、\(n>\delta \quad\)を見てみる。これはグラフ図を見ればどんな値が相応しいか良く分る。 又、外側のすべての条件を満たすような値にする必要がある。特に重要なのは「\(\varepsilon\)は\(\delta\)に対応する」関係を満たす必要がある点。これは、\(\delta =f(\varepsilon )\)という"なんらかの関数関係"にする必要があるという事。この場合、適切な\(\delta\)は\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n } \)より\(\varepsilon =\frac { 1 }{ \delta } \)となり、これを\(\delta\)に対して変形すると\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)が適切だと導ける（この場合、グラフ図をみた方が直観的に分るかも） | |
| - | この\(\delta\)が、先ほどの説明にあった、「うまく定めたクランクシャフト」です。これは自分で考えて適切なものを考える必要がある | |
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| - | A点を数列値。B点を極限まで近づけるための点（しかし、A点とB点は完全には重ならない）とすると | |
| - | このグラフ図の関係をそのまま利用するならば\(\varepsilon=2\)、\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }=\frac { 1 }{ 2 } \)、ここで\(n>\delta \quad\)を満し、かつ自然数である必要があるので\(n=1\)となる。ここで全体の論証をチェックすると全て真になっている | |
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| - | また、Ａ点を\(\left( n,{ a }_{ n } \right)\)、Ｂ点を\(\left( \delta =\frac { 1 }{ \varepsilon } ,\varepsilon \right) \)として論証をチェックすると各命題を満たしている | |
| - | 従ってＡ点、Ｂ点は永久に重ならず、\(\varepsilon\)を小さくし続けることによって無限にＡ点とＢ点を近づける事が可能となった。さらにＡ点はこの数列の極限の定義\( \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n }=0 }\)によりグラフの右側にどんどん移動していく。しかし\(\varepsilon\)に自由な値（常に小さくなり続ける値＝数列値\(\frac { 1 }{ n }\)と極限値\(0\)との距離より小さくなり続ける値）を入れて、何時でもＢ点を使ってＡ点を追いかけることが出来る | |
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| - | ***いつまでも追いかけ続けなければならない計算をどうやって終わらせるか？ [#q733a465] | |
| - | //εδ論法はこれを終わらせるための論法です。今手元に\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)という値が残っています。これを使って、まるで魔法の様にこの無限の計算を終わらせる事が出来ます | |
| - | これは無限個の距離の和を求める事で解決できる | |
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| - | ＜思考実験＞ | |
| - | Ａ点とＢ点との間の距離が1/εメートルある。Ｂ点がＡ点を追いかける。Ｂ点がＡ点まで行くのにδ=ε時間かかった。 | |
| - | そのかかった時間だけＡ点はn>δよりn=δ+1=ε+1進んだ。Ｂ点はそれに追いつくためにε+1÷(1/ε/ε)時間かかった・・・ | |
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| - | 「アキレスと亀」という有名な噺 | |
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