プログレス2
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Unity学習帳2冊目
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**\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限を考える [#j3067aa9] #jsmath ここから具体的に\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } =0 } \)の極限について考えてみる。これは\(n\)を無限に近づけると\(\frac { 1 }{ n }\)が限りなく\(0\)に近づく事を表現している この場合の極限の論証は以下になる &font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\forall n\in { \mathbb{N} \quad }(n>\delta \quad (\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon )\quad )))\) &br;どんな正の数\(\varepsilon\)に対しても、正の数\(\delta\)をうまく定めると、\(n>\delta \)であるどんな自然数\(n\)に対しても\(\left| \frac { 1 }{ n } \right| <\varepsilon \)となる}; テンプレートである基本の論証から\(\exists \delta \in { \mathbb{N} }\)の部分を\(\exists \delta >0\)に、\({ a }_{ n }\)の部分を\(\frac { 1 }{ n }\)に、\(a\)の部分を\(0\)にチョコチョコと書き換えている このように式に合わせてテンプレートを書き換えてεδ論法を利用した では論証の意味を検証していく εδ論法はその内容を代数だけで考えるよりもグラフを見ながら考えた方が理解しやすい。以下にこの論証の内容を図で表す &ref(epsdel1.png); まず、論証式の括弧の一番内側から始める。内側に対して外側の条件を全て満たしながら値を追いかける必要がある 括弧の一番内側は\(\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon \)、それと同時に一番外側の\(∀ε>0\)を満たしておく、\(\forall n\in { \mathbb{N} }\)より\(n\)が自然数である必要がある。グラフ図のεを見ると正の数であり、数列値\(\frac { 1 }{ n }\)と極限値\(0\)との距離より大きい値が勝手に自由に選ばれている。グラフ図のεの値は条件を満たしている 次にひとつ外側の論証式、\(n>\delta \quad\)を見てみる。これはグラフ図を見ればどんな値が相応しいか良く分る。特に重要なのは「\(\varepsilon\)は\(\delta\)に対応する」関係を満たす必要がある点。これは、\(\delta =f(\varepsilon )\)という"なんらかの関数関係"にする必要があるという事。この場合、適切な\(\delta\)は\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n } \)より\(\varepsilon =\frac { 1 }{ \delta } \)となり、これを\(\delta\)に対して変形すると\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)が適切だと導ける(この場合、グラフ図をみた方が直観的に分るかも) この\(\delta\)が、先ほどの説明にあった、「うまく定めたクランクシャフト」。これは自分で考えて適切なものを考える必要がある A点を数列値。B点を極限まで近づけるための点(しかし、A点とB点は完全には重ならない)とすると このグラフ図の関係をそのまま利用するならば\(\varepsilon=2\)、\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }=\frac { 1 }{ 2 } \)、ここで\(n>\delta \quad\)を満し、かつ自然数である必要があるので\(n=1\)となる。ここで全体の論証をチェックすると全て真になっている また、A点を\(\left( n,{ a }_{ n } \right)\)、B点を\(\left( \delta =\frac { 1 }{ \varepsilon } ,\varepsilon \right) \)として論証をチェックすると、このA点とB点は微分の関係になっている事に気が付く \(\displaystyle \lim _{ b-a\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } \quad } =\quad \lim _{ A点の横軸値-B点の横軸値は0に限りなく近づく }{ \frac { A点の縦軸値-B点の縦軸値 }{ A点の横軸値-B点の横軸値 } } \quad =\quad \lim _{ \delta-n \rightarrow 0 }{ \frac { \varepsilon -{ a }_{ n } }{ \delta -n } } \) 従ってA点、B点は永久に重ならず、\({a}_{n}\)よりも大きい\(\varepsilon\)を小さくし続けることによって限りなくB点をA点に近づける事が可能となった。さらにA点はこの数列の極限の論証による\(n\)の値の更新によりグラフの右側にどんどん移動していく。しかし、さらに更新された\(\varepsilon\)によりB点はA点を追いかけ続ける。ここに一種の漸化式の様な無限ループの計算が出来上がる事になる ***実際に値を入れてその動きを確かめてみる [#p45d3537] ***いつまでも追いかけ続けなければならない計算をどうやって終わらせるか? [#q733a465] //εδ論法はこれを終わらせるための論法です。今手元に\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)という値が残っています。これを使って、まるで魔法の様にこの無限の計算を終わらせる事が出来ます この計算は無限に右に向かって進み続けるA点をB点を使って追いかけ続ける漸化式の関係になっている。つまりこの計算には終わりが無い。しかし仮に、このグラフの縦軸を距離、横軸を時間として見た時、無限個の距離の和を求める計算、積分計算が出来る事に気が付く <思考実験> A点とB点との間の距離が1/εメートルある。B点がA点を追いかける。B点がA点まで行くのにδ=ε時間かかった。 そのかかった時間だけA点はn>δよりn=δ+1=ε+1進んだ。B点はそれに追いつくためにε+1÷(1/ε/ε)時間かかった・・・ 「アキレスと亀」という有名な噺。A点を亀。B点をアキレスと考えると・・・
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プログレス2 のバックアップ一覧
プログレス2 のバックアップソース(No. All)
1: 2015-08-06 (木) 22:41:19
osinko
2: 2015-08-07 (金) 01:02:18
osinko
Deleted an attach file: epsdel1.png at 2015-08-06 (木) 23:29:45
3: 2015-08-08 (土) 00:01:25
osinko
4: 2015-08-08 (土) 10:33:57
osinko
5: 2015-08-08 (土) 15:40:31
osinko
6: 2015-08-10 (月) 13:57:05
osinko
7: 2015-08-10 (月) 21:36:50
osinko
8: 2015-08-11 (火) 02:40:05
osinko
9: 2015-08-11 (火) 20:53:55
osinko
10: 2015-08-12 (水) 00:45:04
osinko
現: 2015-08-12 (水) 09:54:21
osinko