6: 2016-05-22 (日) 01:34:06 osinko  |
7: 2016-05-23 (月) 06:15:22 osinko |
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| | やはり５０％になる。考えれば当たり前のことなのだが成功関数や試行範囲によって複雑になることが考えられる | | やはり５０％になる。考えれば当たり前のことなのだが成功関数や試行範囲によって複雑になることが考えられる |
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| | + | ***考察2 [#n8d103ab] |
| | + | |
| | + | 本で行っている計算を別のやり方、具体的には微積分を使って求めてみる |
| | + | まず、\(c=\frac { 1 }{ 4 } { b }^{ 2 }\) の第一象限での面積を考える |
| | + | &ref(grp4.png); |
| | + | \(c=\frac { 1 }{ 4 } { b }^{ 2 }\) のグラフ上の点は\(c\)を\(k\)とした時、 \(k=\frac { 1 }{ 4 } { b }^{ 2 }\quad \Leftrightarrow \quad { b }^{ 2 }=4k\quad \Leftrightarrow \quad b=2\sqrt { k } \) なので \(\left( b=2\sqrt { k } ,c=k \right) \) となる |
| | + | この放物線の外側の面積は積分で考えると \(\displaystyle \int _{ 0 }^{ 2\sqrt { k } }{ \frac { 1 }{ 4 } { b }^{ 2 }db } \) となる。この式を解くと |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \int _{ 0 }^{ 2\sqrt { k } }{ \frac { 1 }{ 4 } { b }^{ 2 }db } \quad \mapsto \quad { \left[ \frac { 1 }{ 4 } \cdot \frac { 1 }{ 2+1 } { b }^{ 2+1 } \right] }_{ 0 }^{ 2\sqrt { k } }\quad \mapsto \quad { \left[ \frac { 1 }{ 12 } { b }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ 2\sqrt { k } }\mapsto \quad \frac { 1 }{ 12 } { \left( 2\sqrt { k } \right) }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 12 } { 0 }^{ 3 }\quad \mapsto \quad \frac { 8 }{ 12 } k\sqrt { k } \quad \mapsto \quad \frac { 2 }{ 3 } k\sqrt { k } \) |
| | + | |
| | + | となる。これは放物線のグラフの外側の面積なので内側の面積を求めることにする。積分が適用されている「長方形の矩形の面積」は \(\left( b=2\sqrt { k } ,c=k \right) \) より \(2k\sqrt { k } \)となる |
| | + | この矩形と積分の値を引き算すると内側が出せる。これは |
| | + | |
| | + | \(2k\sqrt { k } -\frac { 2 }{ 3 } k\sqrt { k } \quad =\quad \frac { 6-2 }{ 3 } k\sqrt { k } \quad =\quad \frac { 4 }{ 3 } k\sqrt { k } \) |
| | + | |
| | + | 第二象限までの面積を考えると2倍になる筈なので\(\frac { 4 }{ 3 } k\sqrt { k } \times 2\quad =\quad \frac { 8 }{ 3 } k\sqrt { k } \)となる |
| | + | これに対する、乱数の試行範囲は\(k\)の値により\({ \left( 2k \right) }^{ 2 }=4{ k }^{ 2 }\)となる |
| | + | |
| | + | 従って確率を求める式は、起こり得る全体の面積と希望するものの面積との割合との計算により |
| | + | |
| | + | \(\frac { \frac { 8 }{ 3 } k\sqrt { k } }{ 4{ k }^{ 2 } } \quad =\quad \frac { 8k\sqrt { k } }{ 12{ k }^{ 2 } } \quad =\quad \frac { 2 }{ 3 } \cdot \frac { \sqrt { k } }{ k } \quad =\quad \frac { 2 }{ 3\sqrt { k } } \) となる |
| | + | |
| | + | 得られた式は本と同様になることが確認できるので、これで間違いないと思われる |
| | + | 試しに\(k=49\)を求めてみる |
| | + | &ref(grp5.png); |
| | + | \(\frac { 2 }{ 3\sqrt { 49 } } =0.09523...\) |
| | + | |
| | + | この\(k\)の値、つまり「実数の乱数の試行範囲」を限りなく大きくしていくと虚数の出る確率が極限まで減っていくのがイメージできる |
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