1: 2016-09-12 (月) 01:13:28 osinko  |
2: 2016-09-12 (月) 02:54:50 osinko |
| | #jsmath | | #jsmath |
| | **P56～ [#ybe9c2a3] | | **P56～ [#ybe9c2a3] |
| | + | \(X=\left\{ k\in \mathbb{Z}|1\le k\le 6 \right\} =\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \\ Y=\left\{ A=シューマイ,B=棒棒鶏,C=酢豚 \right\} \\ f:X\rightarrow Y\\ g:X\rightarrow Y\\ \sigma :X\rightarrow X\\ \iota =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\\ \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}\\ R=\left\{ \iota ,\sigma ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \\ \) |
| | + | |
| | + | 集合を定義して問題をモデル化し関数の型を決め置換関数と置換群を作成している。問題を解りやすくするために仮に |
| | + | |
| | + | \(f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & B & A & A & C \end{pmatrix}\\ g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & C & A & B & B & A \end{pmatrix}\) |
| | + | の状態だったとする |
| | + | |
| | + | \(g=f\cdot { \sigma }^{ j }\quad { \sigma }^{ j }\in R\quad \cdots \left( ア \right) \\ f=g\cdot { \sigma }^{ k }\quad \left( 0\le k\le 5 \right) \quad \cdots \left( イ \right) \) |
| | + | この場合、 \(g=f\cdot { \sigma }^{ 2 }\) \(f=g\cdot { \sigma }^{ 4 }\) \(j=2,k=4\) |
| | + | |
| | + | \(f{ \sim }_{ R }g\) |
| | + | \(R\) の置換群により同値であることを確認すると |
| | + | |
| | + | ①\(R\)の中に恒等置換 \(\iota \) があるので反射性OK |
| | + | \(f=f\cdot \iota \) 従って \(f{ \sim }_{ R }f\) |
| | + | |
| | + | ②任意の \({ \sigma }^{ j }\) に対して\(R\)の中に逆関数があるので対称性OK |
| | + | 式を変形して逆関数を求める式を作ってみる |
| | + | |
| | + | &font(Red){\(g=g\cdot \iota =g\cdot { \sigma }^{ 6 }\quad \cdots gに対する恒等置換\iota を考える\)}; |
| | + | \(g\cdot { \sigma }^{ 6 }=f\cdot { \sigma }^{ j }\quad \cdots \left( ア \right) を代入\\ g\cdot { \sigma }^{ 6 }=g\cdot { \sigma }^{ k }\cdot { \sigma }^{ j }\quad \cdots \left( イ \right) を代入\) |
| | + | &font(Red){\( { \sigma }^{ 6 }={ \sigma }^{ k }\cdot { \sigma }^{ j }\quad \cdots 置換の回転を代数式で扱う。gは消して指数法則を利用する\\ { \sigma }^{ j }={ \sigma }^{ 6-k }\quad \cdots { \sigma }^{ j }に対して解く\\ { \sigma }^{ k }={ \sigma }^{ 6-j }\quad \cdots { \sigma }^{ k }に対して解く\)}; |
| | + | \( g=f\cdot { \sigma }^{ j }=f\cdot { \sigma }^{ 6-k }\quad \cdots \left( ア \right) に代入\\ f=g\cdot { \sigma }^{ k }=g\cdot { \sigma }^{ 6-j }\quad \cdots \left( イ \right) に代入\) |
| | + | \(j\)が\(2\)だと\(k\)は\(4\)になる。\(g\)も\(f\)も互いに\(R\)の置換群の中で逆置換の関係になる |
| | + | シフトの方向を逆にして置換しているわけでないことに注意！これを対称性と呼んでいる |
| | + | 対称性が成立すると \( f{ \sim }_{ R }g\rightarrow g{ \sim }_{ R }f\) と言える（ここはP59の(3)にも繋がっている） |
| | + | |
| | + | ③推移性がある |
| | + | 演算"\(\cdot\) "において演算結果が集合\(R\)の中で閉じている(演算結果が集合\(R\)の外に出ない) |
| | + | \(g=f\cdot { \sigma }^{ m }\\ h=g\cdot { \sigma }^{ n }\) |
| | + | とすると\(h=f\cdot { \sigma }^{ m }\cdot { \sigma }^{ n }=f\cdot { \sigma }^{ m+n }\) |
| | + | \({ \sigma }^{ m+n }\in R\)なので\(f{ \sim }_{ R }h\)が成り立つ |
| | + | 推移性が成立すると \(\quad f{ \sim }_{ R }g\quad \wedge \quad g{ \sim }_{ R }h\quad \rightarrow \quad f{ \sim }_{ R }h\) と言える |
| | + | |
| | + | ***メモ [#bd79a0bd] |
| | + | P65の\({ \nu }_{ j }\) は\({H }_{ 1 }\)に対するズレを表していると考えられる |
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