5: 2016-10-07 (金) 13:47:41 osinko  |
6: 2016-10-24 (月) 23:06:28 osinko |
| | &ref(grp1.png); | | &ref(grp1.png); |
| | | | |
| - | この方程式を関数で考えると | + | \(y=\frac { 1 }{ 2 } \left( x-3 \right) +5\quad\) と \(y=0\quad\) との連立方程式を\(x\)に対して解くことにより… |
| | + | \(0=\frac { 1 }{ 2 } \left( x-3 \right) +5\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ 2 } x-\frac { 3 }{ 2 } +5=0\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ 2 } x=\frac { 3 }{ 2 } -5\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ 2 } x=-\frac { 7 }{ 2 } \quad \Leftrightarrow \quad x=-7\) |
| | + | グラフ上の両グラフ線の交点が求まる。これを踏まえたうえで |
| | + | &ref(oneday.png); |
| | + | |
| | + | &font(Red){''この「直線の方程式」を「微積分を利用した関数」で考えると&br;''}; |
| | \(y=f\left( x \right) のx=\alpha\) における接線の傾きは \(m=f'\left( \alpha \right) \) | | \(y=f\left( x \right) のx=\alpha\) における接線の傾きは \(m=f'\left( \alpha \right) \) |
| | + | |
| | 関数 \(y=f\left( x \right)\) 上の点 \(\left( \alpha ,f\left( \alpha \right) \right)\) における接線の方程式は | | 関数 \(y=f\left( x \right)\) 上の点 \(\left( \alpha ,f\left( \alpha \right) \right)\) における接線の方程式は |
| | | | |
| | \(y-f\left( \alpha \right) =f'\left( \alpha \right) \left( x-\alpha \right) \quad \quad \cdots ③ \) | | \(y-f\left( \alpha \right) =f'\left( \alpha \right) \left( x-\alpha \right) \quad \quad \cdots ③ \) |
| | | | |
| - | となる。&font(Gray){以下、少し補足}; | + | &font(Red){となる。この③式は「接線の方程式」と呼ばれるもので非常に有名な公式なので微積分と一緒に覚えておいた方が良い&br;}; |
| - | &font(Silver){この③の式を約分して式変形すると \(\frac { y-f\left( \alpha \right) }{ x-\alpha } =f'\left( \alpha \right) \) となる}; | + | |
| | | | |
| - | &font(Silver){ここで \(y=f\left( x \right)\) とするならば、この式は \(\frac { f\left( x \right) -f\left( \alpha \right) }{ x-\alpha } =f'\left( \alpha \right) \) となり、この\(x\)を\(b\)に変えると \(\frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } =f'\left( \alpha \right) \) になる}; | + | この式を約分して式変形すると \(\frac { y-f\left( \alpha \right) }{ x-\alpha } =f'\left( \alpha \right) \) となる |
| | | | |
| - | &font(Silver){さらに、この式に\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow \alpha }{ } \)を加えると \(\displaystyle f'\left( \alpha \right) =\lim _{ b\rightarrow \alpha }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } } \) という微分で見慣れた式となる。つまり③式は微分の式を極限なしに変形しているものだという事を強く意識した方が良いという事になっている}; | + | ここで \(y=f\left( x \right)\) とするならば、この式は \(\frac { f\left( x \right) -f\left( \alpha \right) }{ x-\alpha } =f'\left( \alpha \right) \) となり、この\(x\)を\(b\)に変えると \(\frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } =f'\left( \alpha \right) \) になる |
| - | | + | |
| - | ここで上記の式③を利用して①の問題を解くことを考えてみる | + | |
| | | | |
| | + | さらに、この式に「極限」\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow \alpha }{ } \)を加えると \(\displaystyle f'\left( \alpha \right) =\lim _{ b\rightarrow \alpha }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } } \) という微分で見慣れた式となる。つまり③式は微分の式を極限なしに変形しているものだという事を強く意識した方が良いという事になっている |
| | | | |
| | + | ここで上記の微分の式を利用して①の問題を解くことを考えてみる。これからやりたい事は以下の動画イメージになる。青い線が求めたい関数が描くグラフ。赤い線が接線の方程式で描いたグラフ |
| | + | 赤い点が青い点に近づいていき、重なった後、またゆっくり離れていく様子に注目してほしい |
| | + | 目的は求めたい関数のy=0とのxに対する連立方程式の解。つまり青い点の\(x\)位置が知りたい |
| | | | |
| | &ref(Animation2.gif); | | &ref(Animation2.gif); |
| | + | |
| | + | これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる |
| | + | \({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }+\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) |
| | + | この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている。上記の微分の式の\(\alpha\)を\(a\)に変えて作ってみる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle f'\left( a \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) \left( b-a \right) =f\left( b \right) -f\left( a \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) b-f'\left( a \right) a=f\left( b \right) -f\left( a \right) } \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) b=f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( a \right) a } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( a \right) a }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( a \right) } -\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } +a } \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( a \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \) |
| | + | |
| | + | ここで、\(f\left( b \right) =0\)との連立方程式を\(b\)に対して解くと考える |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { 0 }{ f'\left( a \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ }\) の極限の関係を漸化式と考え、\(b={ x }_{ n+1 }、a={ { x }_{ n } }\)、とすると |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) となる |
| | + | |
| | + | これをεδ論法で考えるとこうなる |
| | + | |
| | + | TODO |
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