6: 2016-10-24 (月) 23:06:28 osinko  |
7: 2016-11-09 (水) 02:15:02 osinko |
| | ニュートンラフソンの式は非常にシンプルで以下のようになっている | | ニュートンラフソンの式は非常にシンプルで以下のようになっている |
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| - | \({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }+\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) | + | \({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) |
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| | この式がどのようにして導かれるのか、はじまりは直線の方程式から来ている | | この式がどのようにして導かれるのか、はじまりは直線の方程式から来ている |
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| | これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる | | これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる |
| - | \({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }+\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) | + | \({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) |
| | この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている。上記の微分の式の\(\alpha\)を\(a\)に変えて作ってみる | | この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている。上記の微分の式の\(\alpha\)を\(a\)に変えて作ってみる |
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| - | \(\displaystyle f'\left( a \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) \left( b-a \right) =f\left( b \right) -f\left( a \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) b-f'\left( a \right) a=f\left( b \right) -f\left( a \right) } \) | + | \((f'\left( b \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( b \right) \left( b-a \right) =f\left( b \right) -f\left( a \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( b \right) b-f'\left( b \right) a=f\left( b \right) -f\left( a \right) } \\ \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( b \right) b=f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( b \right) a } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( b \right) a }{ f'\left( b \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } -\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( b \right) } +a } \\ \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( b \right) } } \\ \\ ここで、f(a)=0との連立方程式をaに対して解くと考える（bがaに近づいていく）\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } =a-\frac { 0 }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a=b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } } \) |
| - | | + | &ref(grp.png); |
| - | \(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) b=f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( a \right) a } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( a \right) a }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( a \right) } -\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } +a } \) | + | |
| - | | + | |
| - | \(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( a \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \) | + | |
| - | | + | |
| - | ここで、\(f\left( b \right) =0\)との連立方程式を\(b\)に対して解くと考える | + | |
| - | | + | |
| - | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { 0 }{ f'\left( a \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \) | + | |
| - | | + | |
| - | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ }\) の極限の関係を漸化式と考え、\(b={ x }_{ n+1 }、a={ { x }_{ n } }\)、とすると | + | |
| - | | + | |
| - | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) となる | + | |
| - | | + | |
| - | これをεδ論法で考えるとこうなる | + | |
| - | | + | |
| - | TODO | + | |
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