1: 2015-08-21 (金) 20:23:05 osinko  |
2: 2015-08-21 (金) 20:58:57 osinko |
| | TITLE:数学的帰納と論理式 | | TITLE:数学的帰納と論理式 |
| | + | #jsmath |
| | ***数学的帰納と証明 [#qd4a8c31] | | ***数学的帰納と証明 [#qd4a8c31] |
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| | + | 数列の漸化式は帰納的定義となる |
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| - | ***帰納で定義された論理式 [#v0109c14] | + | 例えば等差数列の総和の漸化式は以下の形となる |
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| | + | 等比数列の総和の漸化式は |
| | + | |
| | + | ***数学的帰納法による証明 [#h0f4488f] |
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| | + | 帰納的に定義された対象は「数学的帰納法による証明」が行える |
| | + | |
| | + | 自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して |
| | + | |
| | + | \( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \mathbb{N})\quad (p(k)\Rightarrow p(k+1))\quad )\quad )\quad \Rightarrow \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n))\quad )\) |
| | + | |
| | + | が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている |
| | + | |
| | + | +\(p(1)\) が一番端（1や0）が成り立つ事を示す |
| | + | +任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す（\(p(k)\)は仮定。\(p(k+1)\)が証明） |
| | + | +1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける |
| | + | |
| | + | //『「\(n\)が一番端（1や0）が成り立つ」＆「任意の自然数\(k\)に対して【\(p(k)\)ならば\(p(k+1)\)】が成り立つ」』ならば、「自然数\(n\)に対して依存する命題\(p(n)\)が存在する」 |
| | + | //\(p(n)\)の出力は実数。 |
| | + | これは「[[プログラマの数学>書評]]」で説明されるドミノのたとえ話を論理的に説明したもの |
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| | + | ＜メモ＞ |
| | + | εδ論法はεとδが対応する関係にあった |
| | + | この命題も対応する関係を含意によって証明（裏に隠れた関数が同じものだという事を証明）している訳だからよく似た事をしている？ |
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| | + | //＜考察＞ |
| | + | //逆にこれが成り立たない関数の形とはどんなものだろうか？ |
| | + | //たとえば\(p(0)\)が一番端だとして\(p(i)=\frac{1}{i}\)の時、\(0\)の除算が発生してその計算は成り立たない |
| | + | //又、この論証から数列が帰納的な性質を持っているという事が分る |
| | + | //数列の総和や極限で表現された微分や積分は必ず帰納的に考える事が出来る |
| | + | //つまり形式的微分や形式的積分で求められた関数から起源である数列の関数\(p(n)\)が必ず求められる筈だとも考えれる？ |
| | + | //＜メモ＞ |
| | + | //自然数の場合は数列で実数でも単調であれば同じこと？・・・総和であれば漸化式？・・・ |
| | + | //依存すると対応するの違いはあるのか？ |
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