2: 2015-08-21 (金) 20:58:57 osinko  |
3: 2015-08-22 (土) 22:39:21 osinko |
| | TITLE:数学的帰納と論理式 | | TITLE:数学的帰納と論理式 |
| | #jsmath | | #jsmath |
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| | ***数学的帰納と証明 [#qd4a8c31] | | ***数学的帰納と証明 [#qd4a8c31] |
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| | + | |等差数列|\({ a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=d\)|\(d=\)公差| |
| | + | |等比数列|\(\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =r\)|\(r=\)公比| |
| | + | |階差数列|\({ a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=f\left( n \right)\)| | |
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| | 数列の漸化式は帰納的定義となる | | 数列の漸化式は帰納的定義となる |
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| | 等比数列の総和の漸化式は | | 等比数列の総和の漸化式は |
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| | + | -帰納は定義にも使える（つまり数列のみならず帰納的に書かれたアルゴリズムの定義に対しても利用できる）&br;（例：ハノイの塔。もしかすると迷路を作るような帰納アルゴリズムも？） |
| | + | -帰納定義は「自分自身を使って自分を定義する」という考え方 |
| | + | -帰納によって定義された対象は独特な証明方法を用いる事が出来る。これが帰納的定義の最大のメリットとなっている&br;（帰納によって生み出されるパターンを証明しやすい？） |
| | + | -再帰と帰納は方向が違う。「小さなものから大きなものへ」という方向に進むのが帰納。「大きいものから小さいものへ」という方向に進むのが再帰 |
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| | ***数学的帰納法による証明 [#h0f4488f] | | ***数学的帰納法による証明 [#h0f4488f] |
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| - | 帰納的に定義された対象は「数学的帰納法による証明」が行える | + | 帰納的に定義された対象(つまり数列)は「数学的帰納法による証明」が行える |
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| | 自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して | | 自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して |
| | が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている | | が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている |
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| - | +\(p(1)\) が一番端（1や0）が成り立つ事を示す | + | +\(p(1)\) が数列の一番端（1や0）が成り立つ事を示す |
| | +任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す（\(p(k)\)は仮定。\(p(k+1)\)が証明） | | +任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す（\(p(k)\)は仮定。\(p(k+1)\)が証明） |
| | +1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける | | +1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける |
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