3: 2015-10-03 (土) 11:32:47 osinko  |
4: 2015-12-04 (金) 00:57:34 osinko |
| - | TITLE:繁分数の計算 | + | TITLE:繁分数（連分数）の計算 |
| | #jsmath | | #jsmath |
| - | 繁分数の計算には慣れが必要。筆記で繁分数の計算を行う場合は丁寧に書かないと何を計算しているのかわかり難くなるので注意(数列計算や漸化式、複利計算、極限の計算で必要に迫られる場面も有り得る） | + | 繁分数（連分数）の計算には慣れが必要。筆記で連分数の計算を行う場合は丁寧に書かないと何を計算しているのかわかり難くなるので注意 |
| | + | (数列計算や漸化式、複利計算、極限の計算で必要に迫られる場面も有り得る） |
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| - | ***分数を表す横線の長さと範囲に注意 [#nf2eaef4] | + | ***基本的な計算 [#t2599cef] |
| - | \(\frac { 1 }{ \frac { 2 }{ 5 } } \quad と\quad \frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ 5 } \quad は違う\) | + | |
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| - | \(\frac { 1 }{ \frac { 2 }{ 5 } } =1\div \frac { 2 }{ 5 } =1\times \frac { 5 }{ 2 } =2.5\) | + | まず初歩的な計算から始める、手始めに\(\frac{36}{11}\)という有理数、\(1.4142\)という実数を連分数にしてみる |
| | + | |
| | + | この計算にはユークリッドの互除法に似た手法を使う。では |
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| - | \(\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ 5 } =\frac { 1 }{ 2 } \div 5=\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 10 } =0.1\) | |
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| - | 繁分数の表し方で結果は大きく変わる | |
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| - | ***計算例 [#f69cf635] | + | ＜連分数を単純な有理数や実数に戻すには＞ |
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| | \(1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2 } } =1+1\div (2+\frac { 1 }{ 2 } )=1+1\div (\frac { 5 }{ 2 } )=1+1\times \frac { 2 }{ 5 } =1+\frac { 2 }{ 5 } =\frac { 7 }{ 5 } =1.4\) | | \(1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2 } } =1+1\div (2+\frac { 1 }{ 2 } )=1+1\div (\frac { 5 }{ 2 } )=1+1\times \frac { 2 }{ 5 } =1+\frac { 2 }{ 5 } =\frac { 7 }{ 5 } =1.4\) |
| | } | | } |
| | }} | | }} |
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| | + | ***注意点：分数を表す横線の長さと範囲に注意 [#nf2eaef4] |
| | + | \(\frac { 1 }{ \frac { 2 }{ 5 } } \quad と\quad \frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ 5 } \quad は違う\) |
| | + | |
| | + | \(\frac { 1 }{ \frac { 2 }{ 5 } } =1\div \frac { 2 }{ 5 } =1\times \frac { 5 }{ 2 } =2.5\) |
| | + | |
| | + | \(\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ 5 } =\frac { 1 }{ 2 } \div 5=\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 10 } =0.1\) |
| | + | |
| | + | 繁分数の表し方で結果は大きく変わる |
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| | ***変数を使った繁分数の計算 [#a4671c7b] | | ***変数を使った繁分数の計算 [#a4671c7b] |
| | これとよく似た式は様々な場面で見られる。複利計算や極限の式などでも見かける。つまり繁分数がこれらと深いかかわりがあると予想できる | | これとよく似た式は様々な場面で見られる。複利計算や極限の式などでも見かける。つまり繁分数がこれらと深いかかわりがあると予想できる |
| | いくつか例を書いてみる | | いくつか例を書いてみる |
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| | + | #jsmath |
| | + | **数直線上の\(\sqrt { 2 }\)を基準に有理数の集合を切断する [#w7fbfd5d] |
| | + | |
| | + | これは考えてゆくと微積分の計算でみられる「挟み撃ちの原理」となる |
| | + | 数直線上の\(\sqrt { 2 }\)を基準に有理数の集合を切断すると以下のようになります |
| | + | |
| | + | 前提条件は前章から引き継ぐとして |
| | + | \(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|{ a }^{ 2 }<2 または a<0 \right\} \quad ,\quad B:=\left\{ b\in \mathbb{Q}|{ b }^{ 2 }>2 かつ b>0\right\}\) |
| | + | （補足：または、かつの部分は虚数を避けている） |
| | + | |
| | + | \(\sqrt { 2 }\)を正確に有理数で表すと以下のような無限に続く繁分数になります |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sqrt { 2 } =1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2 } \\ \vdots } } } } \) |
| | + | |
| | + | これは漸化式で\(\displaystyle { x }_{ n+1 }=\) &font(Red){ \(\displaystyle \frac { 1 }{ 2 } \left( { x }_{ n }+\frac { 2 }{ { x }_{ n } } \right) \)};と書けます |
| | + | |
| | + | ちなみに\(\sqrt { 3 }\)を正確に有理数で表すと以下のような無限に続く繁分数になります |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sqrt { 3 } =1+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 2 } \\ \vdots } } } } } \) |
| | + | |
| | + | これは漸化式で\(\displaystyle { x }_{ n+1 }=\) &font(Red){\(\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } \left( { x }_{ n }+\frac { 3 }{ { x }_{ n } } \right) \)};と書けます |
| | + | |
| | + | 数直線の図と論理式をみてみると有理数内に切断点は含まれていません。この時、\(a\)と\(b\)の関係は\(\displaystyle a<\frac { a+b }{ 2 } <b\)となります |
| | + | つまり\(\sqrt { 2 }\)は有理数でそのものズバリを具体的に表せない数である事がわかります（無理数は有理数で表せない） |
| | + | |
| | + | ＜思考メモ＞ |
| | + | \(\displaystyle a<\frac { a+b }{ 2 } <b\)の\(a,b\)が逆数であった場合、つまり\(a=\frac{1}{a}\)、\(b=\frac{1}{b}\)であった場合 |
| | + | \(\displaystyle \frac { \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } }{ 2 }\)となる、これは式を変形していくと&font(Red){\(\displaystyle \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { b }{ ab } +\frac { a }{ ab } \right) =\)}; \(\displaystyle \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { a+b }{ ab } \right) =\frac { a+b }{ 2ab } \)になり |
| | + | これの逆数をとると調和平均の式、\(\displaystyle \frac { 2ab }{ a+b }\)になる |
| | + | |
| | + | ちょっと考えをまとめて行きたい・・・え～とつまり・・・ |
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