4: 2015-12-04 (金) 00:57:34 osinko  |
現: 2015-12-05 (土) 21:20:57 osinko |
| | (数列計算や漸化式、複利計算、極限の計算で必要に迫られる場面も有り得る） | | (数列計算や漸化式、複利計算、極限の計算で必要に迫られる場面も有り得る） |
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| - | ***基本的な計算 [#t2599cef] | + | **基本的な計算 [#t2599cef] |
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| - | まず初歩的な計算から始める、手始めに\(\frac{36}{11}\)という有理数、\(1.4142\)という実数を連分数にしてみる | + | 初歩的な計算から始める、手始めに\(\frac{36}{11}\)という有理数、\(1.4142\)という実数を連分数にしてみる |
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| - | この計算にはユークリッドの互除法に似た手法を使う。では | + | ***\(\frac{36}{11}\)を連分数にする [#j88ca3c4] |
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| | + | 連分数への変換にはユークリッドの互除法に似た手法を使う |
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| | + | \(\frac { 36 }{ 11 } =\quad 36\div 11\quad =\quad 3\frac { 3 }{ 11 } \quad =\quad 3\frac { 1 }{ \frac { 11 }{ 3 } } \) |
| | + | この最後の逆数の分子部分を再計算する |
| | + | \( \frac { 11 }{ 3 } =\quad 11\div 3\quad =\quad 3\frac { 2 }{ 3 } \quad =\quad 3\frac { 1 }{ \frac { 3 }{ 2 } }\) |
| | + | 同様に分子部分を計算する |
| | + | \( \frac { 3 }{ 2 } =\quad 3\div 2\quad =\quad 1\frac { 1 }{ 2 } \quad =\quad 1\frac { 1 }{ \frac { 2 }{ 1 } } \) |
| | + | この計算作業を割切れる状態になるまで繰り返す |
| | + | \(\frac { 2 }{ 1 } =\quad 2\) |
| | + | 最期に、この分子部分をまとめると連分数が出来上がる |
| | + | \(\displaystyle 3+\frac { 1 }{ 3+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 2 } } } \) |
| | | | |
| - | ＜連分数を単純な有理数や実数に戻すには＞ | + | つまり |
| | + | \(3+\frac { 1 }{ 3+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 2 } } } \quad =\quad \frac { 36 }{ 11 } \quad =\quad 3.27\dot { 2 } \dot { 7 } ...\) |
| | + | 左辺ふたつは有理数。右辺は実数となり、これらは表現が違うが同じ値 |
| | + | |
| | + | ***1.4142を連分数にする [#x739e5a2] |
| | + | |
| | + | 1.4142は\(\frac { 14142 }{ 10000 } \)となる。以降、計算の仕方は同じである |
| | + | |
| | + | \(1.4142=\frac { 14142 }{ 10000 } =\quad 14142\div 10000\quad =\quad 1\frac { 4142 }{ 10000 } \quad =\quad 1\frac { 1 }{ \frac { 10000 }{ 4142 } } \\ \frac { 10000 }{ 4142 } =\quad 10000\div 4142\quad =\quad 2\frac { 1716 }{ 4142 } \quad =\quad 2\frac { 1 }{ \frac { 4142 }{ 1716 } } \\ \frac { 4142 }{ 1716 } =\quad 4142\div 1716\quad =\quad 2\frac { 710 }{ 1716 } \quad =\quad 2\frac { 1 }{ \frac { 1716 }{ 710 } } \\ \frac { 1716 }{ 710 } =\quad 2\frac { 1 }{ \frac { 710 }{ 296 } } \quad ,\quad \frac { 710 }{ 296 } =\quad 2\frac { 1 }{ \frac { 296 }{ 118 } } \quad ,\quad \frac { 296 }{ 118 } =\quad 2\frac { 1 }{ \frac { 118 }{ 60 } } \\ \frac { 118 }{ 60 } =\quad 1\frac { 1 }{ \frac { 60 }{ 58 } } \quad ,\quad \frac { 60 }{ 58 } =1\frac { 1 }{ \frac { 58 }{ 2 } } \quad ,\quad \frac { 58 }{ 2 } =29\quad\) |
| | + | |
| | + | 分子をまとめるとこうなる |
| | + | \(\displaystyle 1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 29 } } } } } } } } \) |
| | + | |
| | + | ***連分数を単純な有理数や実数に戻す [#cd6e5322] |
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| | \(1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2 } } =1+1\div (2+\frac { 1 }{ 2 } )=1+1\div (\frac { 5 }{ 2 } )=1+1\times \frac { 2 }{ 5 } =1+\frac { 2 }{ 5 } =\frac { 7 }{ 5 } =1.4\) | | \(1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2 } } =1+1\div (2+\frac { 1 }{ 2 } )=1+1\div (\frac { 5 }{ 2 } )=1+1\times \frac { 2 }{ 5 } =1+\frac { 2 }{ 5 } =\frac { 7 }{ 5 } =1.4\) |
| | | | |
| - | \(\\ \\ 1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2 } } } } =1+(1\div (2+(1\div (2+(1\div (2+(1\div 2)))))))\quad となるのだが...\) | + | \(\\ \\ 1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 2 } } } } =1+(1\div (2+(1\div (2+(1\div (2+(1\div 2)))))))\quad となる\) |
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| | こうなってくると下から（後ろから）計算したほうが速い気もしてくる | | こうなってくると下から（後ろから）計算したほうが速い気もしてくる |
| | | | |
| | ちょっと考えをまとめて行きたい・・・え～とつまり・・・ | | ちょっと考えをまとめて行きたい・・・え～とつまり・・・ |
| | + | |
| | + | **「9-3÷1/3+1」が計算できなくて大丈夫なのか？ [#g3db8e2d] |
| | + | |
| | + | [[「9-3÷1/3+1」が計算できなくて大丈夫なのか？:http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20151203-00000001-jct-bus_all&p=1]] |
| | + | |
| | + | 四則演算の優先順位はともかく1/3を有理数として扱わない場合、C#等では式が |
| | + | |
| | + | void Start () { |
| | + | print(9-3/1/3+1); |
| | + | } |
| | + | |
| | + | となってしまいます。問題はC#の言語等では有理数を扱えない部分にあります |
| | + | 人間が3/1/3の部分を「翻訳」して数式を書く必要があるという事です |
| | + | |
| | + | print(9f-(3f/(1f/3f))+1f); |
| | + | |
| | + | //将来、抽象的な世界が待っていると分っていても |
| | + | 色々な考え方がありますが、僕は数学は言語でありメッセージなのだから意味を明記するのが一番誤解が少なくて良いと思います |
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