2: 2015-10-09 (金) 20:52:11 osinko  |
3: 2015-10-10 (土) 00:47:35 osinko |
| | | | |
| | \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+(k-1)d } =\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 } =\frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad \quad \quad \quad { S }_{ n }:等差数列の総和\quad ,\quad l:末項\) | | \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+(k-1)d } =\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 } =\frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad \quad \quad \quad { S }_{ n }:等差数列の総和\quad ,\quad l:末項\) |
| | + | |
| | + | （補足：\(\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 } \)の部分を、初項:\({ a }_{ 1 }\)、末項:\(l={ a }_{ 1 }+(n-1)d\)と考えている） |
| | | | |
| | 等差数列の総和の計算例。\(1\)から\(10\)までの総和 | | 等差数列の総和の計算例。\(1\)から\(10\)までの総和 |
| | 等差数列の総和の仕組みをシグマで考えると... | | 等差数列の総和の仕組みをシグマで考えると... |
| | | | |
| - | \(f(k)=等差数列の関数\) であるなら \(\displaystyle \quad 2\sum _{ k=1 }^{ n }{ f(k) } =n\left\{ 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right\}\) となる | + | \(\displaystyle \quad 2\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ n } } =n\left\{ 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right\} \) となる。これを幾何的に図にすると以下になる |
| | + | &ref(sigma1.png); |
| | + | |
| | + | 途中の項数から始まる総和を求めたい場合、シグマ同士の引き算を行う |
| | + | |
| | + | TODO |
| | | | |
| | ***等比数列 [#h89d948d] | | ***等比数列 [#h89d948d] |
| | + | |
| | + | \({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad 公比数列:{ a }_{ n }\quad ,\quad 初項:{ a }_{ 1 }\quad ,\quad 公比:r\quad ,\quad 項数:n\) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right) }{ { r }-1 } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \quad \quad 等比数列の総和:{ S }_{ n }\quad (r≠1)\) |
| | + | |
| | + | 無限級数（等比数列の無限項の総和、つまり\(n\rightarrow \infty \)）の場合、\(-1<r<1\) であるなら収束が発生して総和の式が変わる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n }= } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-0 \right) }{ 1-{ r } } =\frac { { a }_{ 1 } }{ 1-{ r } } \quad \quad (-1<r<1) \) |
| | + | |
| | + | （補足：\(\displaystyle { \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { r }^{ n }=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ \bullet } \right) }^{ n } } = } 0 }\)による収束が発生する。\(\bullet\)は数学記号でなんらかの値を指す） |
| | + | |
| | + | 等比数列の総和の仕組みをシグマで考えると... |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \) |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \) |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \) |
![[PukiWiki]](http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules/xpwiki/image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
