数列/数列のレシピ
のバックアップソース(No.4)
Unity学習帳2冊目
数列
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#jsmath **数列のレシピ [#ya7434d0] ***等差数列 [#n19fddd7] \({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }+(n-1)d\quad \quad \quad \quad { a }_{ n }:等差数列\quad ,\quad { a }_{ 1 }:初項\quad ,\quad d:公差\quad ,\quad n:項数\) \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+(k-1)d } =\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 } =\frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad \quad \quad \quad { S }_{ n }:等差数列の総和\quad ,\quad l:末項\) (補足:\(\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 } \)の部分を、初項:\({ a }_{ 1 }\)、末項:\(l={ a }_{ 1 }+(n-1)d\)と考えている) 等差数列の総和の計算例。\(1\)から\(10\)までの総和 初項:\(1\)、末項:\(10\)、公差:\(1\)、項数:\(10\)。 式は\(\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 }\) より \(\frac { 10\cdot (1+10) }{ 2 } =55\) となる 等差数列、\({ a }_{ n }=3+(n-1)\cdot 5\) の15項までの総和は \(\frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right)\) より \(\frac { 15 }{ 2 } \left( 2\cdot 3+(15-1)\cdot 5 \right) =570\quad \)となる 等差数列の総和の仕組みをシグマで考えると... \(\displaystyle \quad 2\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ n } } =n\left\{ 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right\} \) となる。これを幾何的に図にすると以下になる。長方形の計算を利用している &ref(sigma1.png); 途中の項数から始まる総和を求めたい場合、シグマ同士の引き算を行う TODO ***等比数列 [#h89d948d] \({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad 公比数列:{ a }_{ n }\quad ,\quad 初項:{ a }_{ 1 }\quad ,\quad 公比:r\quad ,\quad 項数:n\) \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right) }{ { r }-1 } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \quad \quad 等比数列の総和:{ S }_{ n }\quad (r≠1)\) 無限級数(等比数列の無限項の総和、つまり\(n\rightarrow \infty \))の場合、\(-1<r<1\) であるなら収束が発生して総和の式が変わる \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n }= } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-0 \right) }{ 1-{ r } } =\frac { { a }_{ 1 } }{ 1-{ r } } \quad \quad (-1<r<1) \) (補足:\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { r }^{ n }= } 0 }\)の収束が発生する) 等比数列の総和の仕組みをシグマで考えると... \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \) \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \) \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \)
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数列/数列のレシピ のバックアップ一覧
数列/数列のレシピ のバックアップソース(No. All)
1: 2015-10-09 (金) 19:54:31
osinko
2: 2015-10-09 (金) 20:52:11
osinko
3: 2015-10-10 (土) 00:47:35
osinko
4: 2015-10-10 (土) 11:12:44
osinko
5: 2015-10-10 (土) 17:13:17
osinko
6: 2015-12-06 (日) 21:15:25
osinko
現: - no date -