5: 2015-10-10 (土) 17:13:17 osinko  |
現: - no date - |
| - | #jsmath | |
| - | **数列のレシピ [#ya7434d0] | |
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| - | ***等差数列 [#n19fddd7] | |
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| - | \({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }+(n-1)d\quad \quad \quad \quad { a }_{ n }:等差数列\quad ,\quad { a }_{ 1 }:初項\quad ,\quad d:公差\quad ,\quad n:項数\) | |
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| - | \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+(k-1)d } =\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 } =\frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad \quad \quad \quad { S }_{ n }:等差数列の総和\quad ,\quad l:末項\) | |
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| - | （補足：\(\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 } \)の部分を、初項:\({ a }_{ 1 }\)、末項:\(l={ a }_{ 1 }+(n-1)d\)と考えている） | |
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| - | 等差数列の総和の計算例。\(1\)から\(10\)までの総和 | |
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| - | 初項:\(1\)、末項:\(10\)、公差:\(1\)、項数:\(10\)。 式は\(\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 }\) より \(\frac { 10\cdot (1+10) }{ 2 } =55\) となる | |
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| - | 等差数列、\({ a }_{ n }=3+(n-1)\cdot 5\) の15項までの総和は \(\frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right)\) より \(\frac { 15 }{ 2 } \left( 2\cdot 3+(15-1)\cdot 5 \right) =570\quad \)となる | |
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| - | 等差数列の総和の仕組みをシグマで考えると... | |
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| - | \(\displaystyle \quad 2\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ n } } =n\left\{ 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right\} \) となる。これを幾何的に図にすると以下になる。長方形の計算を利用している | |
| - | &ref(sigma1.png); | |
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| - | 途中の項数から始まる総和を求めたい場合、シグマ同士の引き算を行う | |
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| - | TODO | |
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| - | ***等比数列 [#h89d948d] | |
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| - | \({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad 公比数列:{ a }_{ n }\quad ,\quad 初項:{ a }_{ 1 }\quad ,\quad 公比:r\quad ,\quad 項数:n\) | |
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| - | \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right) }{ { r }-1 } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \quad \quad 等比数列の総和:{ S }_{ n }\quad (r≠1)\) | |
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| - | 無限級数（等比数列の無限項の総和、つまり\(n\rightarrow \infty \)）の場合、\(-1<r<1\) であるなら収束が発生して総和の式が変わる | |
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| - | \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n }= } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-0 \right) }{ 1-{ r } } =\frac { { a }_{ 1 } }{ 1-{ r } } \quad \quad (-1<r<1) \) | |
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| - | （補足：\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { r }^{ n }= } 0 }\)の収束が発生する） | |
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| - | 等比数列の総和の仕組みをシグマで考えると... | |
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| - | \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \) | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \) | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \) | |
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| - | つまり、公比ぶんシグマで数列全体をずらして元のシグマと引算すると式内に対消滅が連続で起きて初項と末項のみが残る状態になる | |
| - | あとは左辺の\((1-r)\)を右辺に移行するだけで恐ろしく式はシンプルになる | |
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| - | ***シグマ記号の意味 [#p1ec81fd] | |
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| - | シグマは森と木の関係を見るような数学記号と言える。つまり「数列という無数の集合」＝（森）と「それを総べる一般項」＝木 | |
| - | 全体とディテールの関係を一度に取り扱う為の特殊な数学記号といえる。等比、等差の最後の式の例にみられるように数列の全体の操作から | |
| - | 一般項を導く等、非常に面白い操作が行える | |
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