3: 2015-10-30 (金) 14:04:18 osinko  |
現: 2016-11-18 (金) 21:39:50 osinko |
| | #jsmath | | #jsmath |
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| - | **逆数とは何者か？ [#h17025d0] | + | ***二項定理のメモ [#w772f99c] |
| - | 平方根（二乗根）の逆数とは何者か？ | + | |
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| - | \(\sqrt { 2 } の逆数={ \sqrt { 2 } }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } =0.707106...\) | + | マイナスの計算をする場合 |
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| - | \(\sqrt { 3 } の逆数={ \sqrt { 3 } }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 3 } =0.5773502...\) | + | 例 |
| | + | \( { \left( a-b \right) }^{ 3 }\\ ={ _{ 3 }{ C }_{ 0 }{ a }^{ 3 } }-{ _{ 3 }{ C }_{ 1 }{ a }^{ 2 }b }+{ _{ 3 }{ C }_{ 2 }a{ b }^{ 2 } }-{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }b^{ 3 } }\\ ={ a }^{ 3 }-3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 }-b^{ 3 }\) |
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| - | \(\sin { \left( 45° \right) } =\cos { \left( 45° \right) } =0.707106...\) | + | ２番目がマイナスから始まって交互にプラスマイナスが来る。以下、面倒なのでPocketCasで出力 |
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| - | \(\tan { \left( 30° \right) } =0.5773502...\) | + | &ref(combination.png); |
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| - | 三角比、三角形の合同と相似、そして指数法則、逆数を利用して考えてみる… | + | **二項定理 [#p44e3ae3] |
| - | &ref(deg2.png); | + | |
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| - | &ref(sqrt2.png); | + | 二項定理は「二項式の係数の算出」、「確率の計算」や「極限式の解析、理解」に利用されることが多いようだ |
| - | \({ 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }=\sqrt { 3 } =1.732...\)となる | + | 最低限、以下だけは暗記する。非常に単純なので憶え易い |
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| - | \(\begin{cases} y={ x }^{ 2 }-c \\ y=0 \end{cases}\) | + | \(\displaystyle { _{ 9 }{ P }_{ 4 } }\quad =\underbrace { 9\times 8\times 7\times 6 }_{ 9から始まる4個の積 } \quad =\quad 3024\) |
| - | 簡単に式を変形して\(y=0\)の時の\(x\)を求めると指数部に逆数が現れる | + | |
| - | つまり指数の移項で\(-1\)乗していると考えられるが、指数部の\(-1\)乗倍とはどう考えればいいのだろうか？これは虚数\((i)\)なのか？ | + | |
| - | \(0={ x }^{ 2 }-c\quad \rightarrow \quad { x }^{ 2 }=c\quad \rightarrow \quad x={ c }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\) | + | |
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| - | この放物線の中に三角形を作ればいい？ 指数と三角関数と対数は全部繋がると予想される | + | \(\displaystyle { _{ 7 }C_{ 5 } }\quad =\quad \frac { \overbrace { 7\times 6\times 5\times 4\times 3 }^{ 7から始まる5個の積 } }{ \underbrace { 1\times 2\times 3\times 4\times 5 }_{ 1から始まる5個の積 } } \quad =\quad 21\) |
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| - | **分数とは何者か？ [#we05af0a] | + | \({ _{ 9 }{ P }_{ 0 }\quad =\quad 1 }\\ { _{ 7 }C_{ 0 }\quad =\quad _{ 7 }C_{ 7 } }\quad =\quad 1\quad \) |
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| - | 元をたどっていくと、そもそも分数とは何者か？という話になる | + | \(\displaystyle 例： { _{ 8 }{ P }_{ 3 } }\quad =\quad 8\times 7\times 6\quad =\quad 336\quad ,\quad { _{ 6 }C_{ 3 } }\quad =\quad \frac { 6\times 5\times 4 }{ 1\times 2\times 3 } \quad =\quad 20\quad 等々\) |
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| - | \(\frac { 4 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 5 } \) | + | Pはパーミュテーション（順列）、Cはコンビネーション（組み合わせ）。確率等の即興計算ではこの方が早い |
| | + | 最低限この計算方法は憶えておくと次の抽象化された公式はうろ覚えでも最悪自分で導ける |
| | + | コンビネーションの結果値は二項係数と呼ばれ一覧表として「パスカルの三角形」を利用できる |
| | + | この抽象化された公式は独特な使われ方をするので、その利用方法は出来る限り丸暗記した方が良いが沢山計算して徐々に慣れるしかないと思う |
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| - | \(\sqrt { 3 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =3\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { 3 }{ \sqrt { 3 } } \) | + | \(\displaystyle { _{ n }{ P }_{ r } }\quad =\quad \underbrace { n\times \left( n-1 \right) \times \left( n-2 \right) \times \left( n-3 \right) \times \cdots (n-r+1) }_{ nで始まるr個の積 } \quad =\quad \frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } \) |
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| - | \(\frac { 1 }{ 5 } \)を\(4\)個集めると\(\frac { 4 }{ 5 }\) 。\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)を\(3\)個集めると\(\sqrt { 3 } \)になる | + | \(\displaystyle { _{ n }C_{ r } }\quad =\quad \frac { \overbrace { n\times \left( n-1 \right) \times \left( n-2 \right) \times \left( n-3 \right) \times \cdots \times (n-r+1) }^{ nで始まるr個の積 } }{ r\times \left( r-1 \right) \times \left( r-2 \right) \times \left( r-3 \right) \times \cdots \times 1 } \quad =\quad \frac { { _{ n }{ P }_{ r } } }{ r! } \quad =\quad \frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } \times \frac { 1 }{ r! } \) |
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| - | 指数が絡んだ分数計算では等比が何時の間にか等差になっている事に気が付く時がある。つまり対数の性質がここに見られる | + | **補足：階乗計算 [#h03a7b54] |
| | + | #jsmath |
| | + | 抽象的なコンビネーション式の階乗計算特有の考え方の例 |
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| - | **unityで分数を考えてみよう [#j7395f27] | + | \(\displaystyle { _{ n }{ C }_{ n-1 } }\quad =\quad \overbrace { \frac { n! }{ \left\{ n-\left( n-1 \right) \right\} ! } \times \frac { 1 }{ \left( n-1 \right) ! } }^{ { _{ n }{ C }_{ r }の公式を利用 } } \quad =\quad \frac { n! }{ \left\{ n-n+1 \right\} ! } \times \frac { 1 }{ \left( n-1 \right) ! } \quad =\quad \frac { n! }{ 1! } \times \frac { 1 }{ \left( n-1 \right) ! } \quad =\quad \overbrace { \frac { n! }{ \left( n-1 \right) ! } }^{ ここが重要 } \) |
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| - | **二項定理 [#p44e3ae3] | + | \(=\quad \overbrace { \frac { n\left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots 1 }{ \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots 1 } }^{ 階乗を展開するとこうなる } \quad =\quad \overbrace { n }^{ 分母分子を約分するとこうなる } = \overbrace { { _{ n }{ C }_{ 1 } } }^{ コンビネーションの左右対称性 } \) |
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| | + | **二項定理を利用した極限式の展開整理 [#d34d394b] |
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