2: 2016-04-08 (金) 01:14:52 osinko  |
3: 2016-04-08 (金) 03:05:08 osinko |
| | #jsmath | | #jsmath |
| | **無限級数の検証 [#z3524f74] | | **無限級数の検証 [#z3524f74] |
| - | あらゆる場面で登場する無限級数の基本的な仕組みを理解することは重要と考えられる。この仕組みを理解せずに確率の本や微積分の数学書を読み進めても訳が分からなくなる場面が多く生じる。その重要度はとても高いものと思われる。&font(Red){たとえば確率において、無限回数の試行から得られる期待値の算出等にも利用され};、微積分（シグマなどの総和）と組んで扱う以上その応用範囲はとても広い。ここで、等比数列から等比数列の総和、無限級数に至るその仕組みを再検証し「無限級数」を道具として、しっかり手に入れる事を目的としてみる | + | あらゆる場面で登場する無限級数の基本的な仕組みを理解することは重要と考えられる。&font(Red){たとえば確率において、無限回数の試行から得られる期待値の算出等にも利用される。};微積分（シグマなどの総和）と組んで扱う以上その応用範囲は広い。ここで、等比数列から等比数列の総和、無限級数に至るその仕組みを再検証し「無限級数」を道具として手に入れる事を目的としてみる |
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| | 資料：[[等比数列:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97]] | | 資料：[[等比数列:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97]] |
| | 資料：虚数の情緒 P448～P449 ここでは別の解釈で同じ計算をやる | | 資料：虚数の情緒 P448～P449 ここでは別の解釈で同じ計算をやる |
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| - | \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right) }{ { r }-1 } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \quad \quad 等比数列の総和:{ S }_{ n }\quad (r≠1)\) | + | まず、P448の等比数列の総和\({K}_{n}\)を求めることを考える |
| | + | \({ K }_{ n }=\left( 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 5 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \) |
| | + | この数列を等比数列の式で表すと |
| | + | \({ a }_{ n } = 1\cdot { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n-1 }\) |
| | + | これをシグマの式で表すと |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n-1 } } \) |
| | + | となる |
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| | + | 等比数列の総和の公式は以下になる |
| | + | \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right) }{ { r }-1 } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \quad \quad 等比数列の総和:{ S }_{ n }\quad (r≠1)\) |
| | いきなり公式を使って計算しても良いがここでは、その構造と仕組みを確認しながら＜例示は理解の試金石＞であることを利用して計算の動きを追いかけてみる | | いきなり公式を使って計算しても良いがここでは、その構造と仕組みを確認しながら＜例示は理解の試金石＞であることを利用して計算の動きを追いかけてみる |
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