3: 2016-04-08 (金) 03:05:08 osinko  |
現: - no date - |
| - | TITLE:無限級数の検証 | |
| - | #jsmath | |
| - | **無限級数の検証 [#z3524f74] | |
| - | あらゆる場面で登場する無限級数の基本的な仕組みを理解することは重要と考えられる。&font(Red){たとえば確率において、無限回数の試行から得られる期待値の算出等にも利用される。};微積分（シグマなどの総和）と組んで扱う以上その応用範囲は広い。ここで、等比数列から等比数列の総和、無限級数に至るその仕組みを再検証し「無限級数」を道具として手に入れる事を目的としてみる | |
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| - | 資料：[[等比数列:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97]] | |
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| - | **等比数列 [#ueb0b934] | |
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| - | &font(140%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad 公比数列:{ a }_{ n }\quad ,\quad 初項:{ a }_{ 1 }\quad ,\quad 公比:r\quad ,\quad 項数:n\)}; | |
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| - | ***等比数列の例 [#v9c355d9] | |
| - | \(初項:{ a }_{ 1 }=1\quad ,\quad 公比:r=\frac { 1 }{ 4 } \quad ,\quad 項数:n=5\quad の場合\\ { a }_{ n }\quad =\quad 1\cdot { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n-1 }\quad =\quad \left\{ 1,\frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 16 } ,\frac { 1 }{ 64 } ,\frac { 1 }{ 256 } \right\} \) | |
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| - | 0乗はどんな数字でも１になる。{}で囲んだカンマで区切られた数字は数列を表す | |
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| - | **等比数列の総和 [#ac6625bb] | |
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| - | 資料：虚数の情緒 P448～P449 ここでは別の解釈で同じ計算をやる | |
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| - | まず、P448の等比数列の総和\({K}_{n}\)を求めることを考える | |
| - | \({ K }_{ n }=\left( 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 5 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \) | |
| - | この数列を等比数列の式で表すと | |
| - | \({ a }_{ n } = 1\cdot { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n-1 }\) | |
| - | これをシグマの式で表すと | |
| - | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n-1 } } \) | |
| - | となる | |
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| - | 等比数列の総和の公式は以下になる | |
| - | \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right) }{ { r }-1 } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \quad \quad 等比数列の総和:{ S }_{ n }\quad (r≠1)\) | |
| - | いきなり公式を使って計算しても良いがここでは、その構造と仕組みを確認しながら＜例示は理解の試金石＞であることを利用して計算の動きを追いかけてみる | |
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| - | ＜TODO＞ | |
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| - | 無限級数（等比数列の無限項の総和、つまり\(n\rightarrow \infty \)）の場合、\(-1<r<1\) であるなら収束が発生して総和の式が変わる | |
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| - | \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n }= } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-0 \right) }{ 1-{ r } } =\frac { { a }_{ 1 } }{ 1-{ r } } \quad \quad (-1<r<1) \) | |
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| - | （補足：\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { r }^{ n }= } 0 }\)の収束が発生する） | |
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| - | 等比数列の総和の仕組みをシグマで考えると... | |
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| - | \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \) | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \) | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \) | |
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| - | つまり、公比ぶんシグマで数列全体をずらして元のシグマと引算すると式内に対消滅が連続で起きて初項と末項のみが残る状態になる | |
| - | あとは左辺の\((1-r)\)を右辺に移行するだけで恐ろしく式はシンプルになる | |
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| - | #navi | |
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