4: 2016-09-22 (木) 16:46:49 osinko  |
5: 2016-09-22 (木) 18:02:03 osinko |
| | \(T=\left\{ \iota ,\sigma ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 },\tau ,\tau \sigma ,\tau { \sigma }^{ 2 },\tau { \sigma }^{ 3 },\tau { \sigma }^{ 4 },\tau { \sigma }^{ 5 } \right\} \) | | \(T=\left\{ \iota ,\sigma ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 },\tau ,\tau \sigma ,\tau { \sigma }^{ 2 },\tau { \sigma }^{ 3 },\tau { \sigma }^{ 4 },\tau { \sigma }^{ 5 } \right\} \) |
| | | | |
| - | この群\(T\)を使いX,Yから作成される順列のひとつひとつに群内の関数により元が書き変わらない置換を探した | + | この群\(T\)を使いX,Yから作成される順列のひとつひとつに群内の関数により元が書き変わらない置換（つまり演算結果が\(\iota\)になる関数）を探した |
| | 結果は以下となった（ここで後述のプログラムコードを利用する） | | 結果は以下となった（ここで後述のプログラムコードを利用する） |
| | | | |
| | \(\iota \quad 64={ 2 }^{ 6 }回\\ \sigma \quad 2={ 2 }^{ 1 }回\\ \sigma ^{ 2 }\quad 4={ 2 }^{ 2 }回\\ \sigma ^{ 3 }\quad 8={ 2 }^{ 3 }回\\ \sigma ^{ 4 }\quad 4={ 2 }^{ 2 }回\\ \sigma ^{ 5 }\quad 2={ 2 }^{ 1 }回\\ \tau \quad 8={ 2 }^{ 3 }回\\ \tau \sigma \quad 16={ 2 }^{ 4 }回\\ \tau \sigma ^{ 2 }\quad 8={ 2 }^{ 3 }回\\ \tau \sigma ^{ 3 }\quad 16={ 2 }^{ 4 }回\\ \tau \sigma ^{ 4 }\quad 8={ 2 }^{ 3 }回\\ \tau \sigma ^{ 5 }\quad 16={ 2 }^{ 4 }回\) | | \(\iota \quad 64={ 2 }^{ 6 }回\\ \sigma \quad 2={ 2 }^{ 1 }回\\ \sigma ^{ 2 }\quad 4={ 2 }^{ 2 }回\\ \sigma ^{ 3 }\quad 8={ 2 }^{ 3 }回\\ \sigma ^{ 4 }\quad 4={ 2 }^{ 2 }回\\ \sigma ^{ 5 }\quad 2={ 2 }^{ 1 }回\\ \tau \quad 8={ 2 }^{ 3 }回\\ \tau \sigma \quad 16={ 2 }^{ 4 }回\\ \tau \sigma ^{ 2 }\quad 8={ 2 }^{ 3 }回\\ \tau \sigma ^{ 3 }\quad 16={ 2 }^{ 4 }回\\ \tau \sigma ^{ 4 }\quad 8={ 2 }^{ 3 }回\\ \tau \sigma ^{ 5 }\quad 16={ 2 }^{ 4 }回\) |
| | | | |
| - | 同値類の個数は | + | 順列における各置換関数の使用回数がこれで解った |
| | + | ここで書籍「なっとくする群・環・体」で説明されているフロベニウス（P69定理2）を利用する。公式に沿って式を作ると以下になる |
| | | | |
| | \(同値類の個数d=\left\{ W\left( \iota \right) +W\left( \sigma \right) +W\left( { \sigma }^{ 2 } \right) +W\left( { \sigma }^{ 3 } \right) +W\left( { \sigma }^{ 4 } \right) +W\left( { \sigma }^{ 5 } \right) +W\left( \tau \right) +W\left( \tau \sigma \right) +W\left( \tau { \sigma }^{ 2 } \right) +W\left( \tau { \sigma }^{ 3 } \right) +W\left( \tau { \sigma }^{ 4 } \right) +W\left( \tau { \sigma }^{ 5 } \right) \right\} \div \left| G \right| \\ d=\left\{ { 2 }^{ 6 }+{ 2 }^{ 1 }{ +2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 1 }\quad +{ 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 4 }{ +2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 4 }+{ 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 4 } \right\} \div 12\\ \quad =\frac { 84+72 }{ 12 } =\frac { 156 }{ 12 } =13\) | | \(同値類の個数d=\left\{ W\left( \iota \right) +W\left( \sigma \right) +W\left( { \sigma }^{ 2 } \right) +W\left( { \sigma }^{ 3 } \right) +W\left( { \sigma }^{ 4 } \right) +W\left( { \sigma }^{ 5 } \right) +W\left( \tau \right) +W\left( \tau \sigma \right) +W\left( \tau { \sigma }^{ 2 } \right) +W\left( \tau { \sigma }^{ 3 } \right) +W\left( \tau { \sigma }^{ 4 } \right) +W\left( \tau { \sigma }^{ 5 } \right) \right\} \div \left| G \right| \\ d=\left\{ { 2 }^{ 6 }+{ 2 }^{ 1 }{ +2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 1 }\quad +{ 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 4 }{ +2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 4 }+{ 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 4 } \right\} \div 12\\ \quad =\frac { 84+72 }{ 12 } =\frac { 156 }{ 12 } =13\) |
| | 合っていたようだ | | 合っていたようだ |
| | | | |
| - | &font(Silver){＜個人的認識＞&br;これはあくまで演習であり群の利用方法のひとつを学ぶ事が目的だと考えた方が良い（この場合、群Tの存在を認識する事。フロベニウスのようなものが存在すると認識する事が目的）&br;同値類を求めるだけなら、もっとシンプルに直球なコードをプルートフォースで組んでしまう方が早いと思われる（このような回転置換を考える時、PCの計算支援は非常に強力で便利）&br;}; | + | &font(Silver){＜個人的認識＞&br;これはあくまで演習であり群の利用方法のひとつを学ぶ事が目的だと考えた方が良い（この場合、群Tの存在を認識する事。フロベニウスのようなものが存在すると認識する事が目的）&br;同値類を求めるだけなら、もっとシンプルに直球なコードをブルートフォースで組んでしまう方が早いと思われる（このような回転置換を考える時、PCの計算支援は非常に強力で便利）&br;}; |
| | + | |
| | + | 資料：[[フロベニウス方程式:http://reference.wolfram.com/language/tutorial/Frobenius.ja.html]] |
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| | + | |
| | + | ＜メモ＞ |
| | + | 群の中の関数は「互いに素」の関係に近い？ |
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| | ***支援コード [#c44bc7d8] | | ***支援コード [#c44bc7d8] |
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