6: 2016-10-24 (月) 23:06:28 osinko  |
現: 2016-11-09 (水) 18:38:42 osinko |
| | ニュートンラフソンの式は非常にシンプルで以下のようになっている | | ニュートンラフソンの式は非常にシンプルで以下のようになっている |
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| - | \({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }+\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) | + | \({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) |
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| | この式がどのようにして導かれるのか、はじまりは直線の方程式から来ている | | この式がどのようにして導かれるのか、はじまりは直線の方程式から来ている |
| | &ref(Animation2.gif); | | &ref(Animation2.gif); |
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| - | これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる | + | \( |
| - | \({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }+\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) | + | これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる\\ \\ { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \\ \\ この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている\\ 微分の式を再確認すると以下になる\\ \\ \lim _{ b\rightarrow \alpha }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } =f'\left( \alpha \right) } \\ \\ この微分の式の極限が無い状態を考える。右辺が傾きを表す式である事を近似で考えると\\ \\ \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } \simeq f'\left( b \right) \\ \\ と表現できる。記号「\simeq 」は近似を表す\\ 右辺の「到達している傾きの位置」が違う点に留意。極限を使うとbは\alpha に限りなく近づくのでf'\left( \alpha \right) となる\\ しかし、極限を利用しないとf'\left( b \right) となる。これはよくよく考えると当たり前のことを言っている\\ でも、これはよくやりやすい勘違いなので注意してほしい。極限なしで平均値の算出で考えを進めると以下になる\\ \\ f'\left( b \right) \simeq \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } \\ \\ \quad \Leftrightarrow \quad f'\left( b \right) \left( b-\alpha \right) \simeq f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) \quad \Leftrightarrow \quad \quad f'\left( b \right) b-f'\left( b \right) \alpha \simeq f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) \\ \Leftrightarrow \quad \quad f'\left( b \right) b\simeq f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) +f'\left( b \right) \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \quad b\simeq \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) +f'\left( b \right) \alpha }{ f'\left( b \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad b\simeq \frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } -\frac { f\left( \alpha \right) }{ f'\left( b \right) } +\alpha \\ \Leftrightarrow \quad \quad b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } \simeq \alpha -\frac { f\left( \alpha \right) }{ f'\left( b \right) } \\ \\ ここで、f(\alpha )=0との連立方程式を\alpha に対して解くと考える（bが\alpha に近づいていく）\\ \\ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } \simeq \alpha -\frac { 0 }{ f'\left( \alpha \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \alpha \simeq b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } |
| - | この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている。上記の微分の式の\(\alpha\)を\(a\)に変えて作ってみる | + | \) |
| - | | + | &ref(grp.png); |
| - | \(\displaystyle f'\left( a \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) \left( b-a \right) =f\left( b \right) -f\left( a \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) b-f'\left( a \right) a=f\left( b \right) -f\left( a \right) } \) | + | |
| - | | + | |
| - | \(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) b=f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( a \right) a } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( a \right) a }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( a \right) } -\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } +a } \) | + | |
| - | | + | |
| - | \(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( a \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \) | + | |
| - | | + | |
| - | ここで、\(f\left( b \right) =0\)との連立方程式を\(b\)に対して解くと考える | + | |
| - | | + | |
| - | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { 0 }{ f'\left( a \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \) | + | |
| - | | + | |
| - | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ }\) の極限の関係を漸化式と考え、\(b={ x }_{ n+1 }、a={ { x }_{ n } }\)、とすると | + | |
| - | | + | |
| - | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) となる | + | |
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| - | これをεδ論法で考えるとこうなる | + | |
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| - | TODO | + | |
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