7: 2016-11-09 (水) 02:15:02 osinko  |
現: 2016-11-09 (水) 18:38:42 osinko |
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| - | これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる | + | \( |
| - | \({ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) | + | これはニュートンラフソンの式を漸化式として数回演算することで求められる\\ \\ { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \\ \\ この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている\\ 微分の式を再確認すると以下になる\\ \\ \lim _{ b\rightarrow \alpha }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } =f'\left( \alpha \right) } \\ \\ この微分の式の極限が無い状態を考える。右辺が傾きを表す式である事を近似で考えると\\ \\ \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } \simeq f'\left( b \right) \\ \\ と表現できる。記号「\simeq 」は近似を表す\\ 右辺の「到達している傾きの位置」が違う点に留意。極限を使うとbは\alpha に限りなく近づくのでf'\left( \alpha \right) となる\\ しかし、極限を利用しないとf'\left( b \right) となる。これはよくよく考えると当たり前のことを言っている\\ でも、これはよくやりやすい勘違いなので注意してほしい。極限なしで平均値の算出で考えを進めると以下になる\\ \\ f'\left( b \right) \simeq \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) }{ b-\alpha } \\ \\ \quad \Leftrightarrow \quad f'\left( b \right) \left( b-\alpha \right) \simeq f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) \quad \Leftrightarrow \quad \quad f'\left( b \right) b-f'\left( b \right) \alpha \simeq f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) \\ \Leftrightarrow \quad \quad f'\left( b \right) b\simeq f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) +f'\left( b \right) \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \quad b\simeq \frac { f\left( b \right) -f\left( \alpha \right) +f'\left( b \right) \alpha }{ f'\left( b \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad b\simeq \frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } -\frac { f\left( \alpha \right) }{ f'\left( b \right) } +\alpha \\ \Leftrightarrow \quad \quad b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } \simeq \alpha -\frac { f\left( \alpha \right) }{ f'\left( b \right) } \\ \\ ここで、f(\alpha )=0との連立方程式を\alpha に対して解くと考える（bが\alpha に近づいていく）\\ \\ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } \simeq \alpha -\frac { 0 }{ f'\left( \alpha \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \alpha \simeq b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } |
| - | この式は、実は微分の式の変形とy=0との連立方程式から導かれている。上記の微分の式の\(\alpha\)を\(a\)に変えて作ってみる | + | \) |
| - | | + | |
| - | \((f'\left( b \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( b \right) \left( b-a \right) =f\left( b \right) -f\left( a \right) } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( b \right) b-f'\left( b \right) a=f\left( b \right) -f\left( a \right) } \\ \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( b \right) b=f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( b \right) a } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) +f'\left( b \right) a }{ f'\left( b \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b=\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } -\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( b \right) } +a } \\ \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } =a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( b \right) } } \\ \\ ここで、f(a)=0との連立方程式をaに対して解くと考える（bがaに近づいていく）\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } =a-\frac { 0 }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a=b-\frac { f\left( b \right) }{ f'\left( b \right) } } \) | + | |
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