微積分と物理/積分
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Unity学習帳2冊目
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微積分と物理/積分
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#contents #jsmath **積分とは何か? [#v7a2ab49] &font(150%){''積分とは? = 面積を求める計算''&br;}; 「積算」とは一般的に数値を次々と加えていく計算を指す。&font(120%){\(5+3+8+10=26\)}; このような計算を「積算」と呼ぶ 積分は細かくいくつにも分割した領域の面積を積算する計算技術を指す **区分求積法 [#s289f866] #jsmath 区分求積法とは、読んで字の如く「区分」に分けた領域を「求める」「積算」です。この様な計算法を総称して&font(Red){積分};と呼びます 区分求積法は積分の考えのベースになっています 面積を求める事によってどのような事が可能となるのでしょうか? 日常でも、ある目的地に向かって車でドライブする時、その目的地までの距離を想像する場合、無意識に面積の計算を我々はしています たとえば車の平均時速が \(40km/h\) だったとして目的地が \(5h\) 時間かかる場所だったとすると \(40km/h\times 5h=200km\) という長方形の面積の計算を無意識にしている事になります グラフにすると以下のようになります このように速度と時間のグラフの面積を求める事で距離の値が得られる事が判りました では、もしこの速度のグラフが正方形ではなく自由な形、極端に言えば曲線で曲がっていたり、ぐにゃぐにゃとした不規則な線を描く関数のグラフだった場合 どのようにすれば、その面積(距離)を求められるでしょうか?そこで積分という計算テクニックが重要になってきます 例えばアクセルべた踏みで加速していく車があったとします。この車にはブレーキが無く永遠に加速していくとして この加速する度合い、加速度\(a\)が \(9.8m/s\) だったとした時(\(a=9.8\)) 変数 dt が細かく微細になればなるほど計算精度が向上していく事が以下のコードで確認できる。理想は値が極限である事 #code(csharp){{ using UnityEngine; using System.Collections; using System; public class Sum2 : MonoBehaviour { void Start () { print (Integral (4f, 0.01f, Gravity)); print (Integral (0.5f * Mathf.PI, 0.01f, Sin)); } float Integral (float t, float dt, Func<float,float> f) { float parts = t / dt; float sum = 0; for (int n = 1; n <= parts; n++) { sum += f (dt * n) * dt; } return sum; } float Gravity (float t) { return 9.8f * t; } float Sin (float t) { return Mathf.Sin (t); } } }} ** "" [#fe880850] #jsmath \(\displaystyle\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ \int { 9.8 } t dt } \quad \quad \rightarrow \quad \quad \lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ 9.8{ \left( \Delta t \right) }^{ 2 }\sum _{ n=1 }^{ \frac { t }{ \Delta t } }{ n } } \quad \quad \rightarrow \quad \quad \lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ 9.8{ \left( \Delta t \right) }^{ 2 }\left\{ \frac { \left( 1+\frac { t }{ \Delta t } \right) \frac { t }{ \Delta t } }{ 2 } \right\} \quad } \) \(\displaystyle \rightarrow \quad \quad \lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ 4.9{ \left( \Delta t \right) }^{ 2 }\left( \frac { t }{ \Delta t } +\frac { { t }^{ 2 } }{ { \left( \Delta t \right) }^{ 2 } } \right) } \quad \quad \rightarrow \quad \quad \lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ 4.9{ \Delta t\cdot t }+4.9{ t }^{ 2 } } \quad \quad \rightarrow \quad \quad 4.9{ t }^{ 2 }\)
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微積分と物理/積分 のバックアップ一覧
微積分と物理/積分 のバックアップソース(No. All)
1: 2015-04-17 (金) 22:32:41
osinko
2: 2015-04-18 (土) 01:30:02
osinko
3: 2015-04-18 (土) 02:09:25
osinko
4: 2015-04-19 (日) 21:05:27
osinko
5: 2015-04-20 (月) 02:26:33
osinko
6: 2015-04-21 (火) 20:17:04
osinko
7: 2015-04-21 (火) 20:47:45
osinko
8: 2015-04-22 (水) 01:31:16
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9: 2015-04-22 (水) 16:49:02
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10: 2015-04-23 (木) 03:50:31
osinko
11: 2015-04-23 (木) 11:25:23
osinko
現: 2015-04-26 (日) 00:36:29
osinko