| - | \(\displaystyle\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } } -\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n }{ k } } \\ \\ \displaystyle\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } =\frac { n(a+l) }{ 2 } \\ l=a+(n-1)d,a=1,d=1\quad \rightarrow \quad \frac { n(a+a+(n-1)d) }{ 2 } =\frac { n(1+1+(n-1)1) }{ 2 } =\frac { n(2+(n-1)) }{ 2 } =\frac { n(n+1) }{ 2 } \\ \rightarrow \displaystyle\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } =\frac { n(n+1) }{ 2 } \\ \\ \displaystyle\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } } -\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n }{ k } } =\sqrt { \frac { (n+1)\{ (n+1)+1\} }{ 2 } } -\sqrt { \frac { n(n+1) }{ 2 } } =\sqrt { \frac { (n+1)(n+2) }{ 2 } } -\sqrt { \frac { n(n+1) }{ 2 } } \\ \rightarrow \quad \frac { \sqrt { n+1 } \sqrt { n+2 } }{ \sqrt { 2 } } -\frac { \sqrt { n } \sqrt { n+1 } }{ \sqrt { 2 } } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { n+1 } (\sqrt { n+2 } -\sqrt { n } ) }{ \sqrt { 2 } } \\ \\ \rightarrow \quad \frac { \sqrt { n+1 } (\sqrt { n+2 } -\sqrt { n } )(\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) }{ \sqrt { 2 } (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { n+1 } (n+2-n) }{ \sqrt { 2 } (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) } \quad \rightarrow \quad \frac { 2\sqrt { n+1 } }{ \sqrt { 2 } (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) } \\ \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { n+1 } }{ (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { n+1 } \times \frac { 1 }{ n } }{ (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } )\times \frac { 1 }{ n } } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { \frac { n+1 }{ n } } }{ \sqrt { \frac { n+2 }{ n } } +\sqrt { \frac { n }{ n } } } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { 1+\frac { 1 }{ n } } }{ \sqrt { 1+\frac { 2 }{ n } } +1 } \\ \\ \rightarrow \displaystyle\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { 1+\frac { 1 }{ n } } }{ \sqrt { 1+\frac { 2 }{ n } } +1 } } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { 1+0 } }{ \sqrt { 1+0 } +1 } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \quad =\quad 0.7071...\) | |
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