2: 2015-07-17 (金) 18:33:31 osinko  |
3: 2015-07-18 (土) 04:28:51 osinko |
| | #contents | | #contents |
| | #jsmath | | #jsmath |
| - | **虚数 [#cbc20538] | + | **虚数（imaginary number） [#cbc20538] |
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| | \({x}^{2}+1=0\)の根（解）はこの世に無い数となる | | \({x}^{2}+1=0\)の根（解）はこの世に無い数となる |
| | つまりセンチやメートルのように単位そのものが違う | | つまりセンチやメートルのように単位そのものが違う |
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| - | 虚数単位同士の計算には\({i}^{2}\)は\(-1\)に置き換えるというシンプルなルールがある。実数と虚数の違いはその一点だけ。計算例を以下にあげる | + | 虚数単位同士の計算には\({i}^{2}\)は\(-1\)に置き換えるというシンプルなルールがある。計算例を以下にあげる |
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| | \({ i }=\sqrt { -1 } \\ { i }^{ 2 }=\sqrt { { -1 }^{ 2 } } =-1\\ { i }^{ 3 }={ i }^{ 2 }\times i=-1\times i=-i\\ { i }^{ 4 }={ i }^{ 3 }\times i=-i\times i=-(-1)=1\\ { i }^{ 5 }={ i }^{ 4 }\times i=1\times i=i\\ \cdots \cdots \) | | \({ i }=\sqrt { -1 } \\ { i }^{ 2 }=\sqrt { { -1 }^{ 2 } } =-1\\ { i }^{ 3 }={ i }^{ 2 }\times i=-1\times i=-i\\ { i }^{ 4 }={ i }^{ 3 }\times i=-i\times i=-(-1)=1\\ { i }^{ 5 }={ i }^{ 4 }\times i=1\times i=i\\ \cdots \cdots \) |
| | 少し考えれば５乗以降はそれまでの繰り返しになる事がわかる | | 少し考えれば５乗以降はそれまでの繰り返しになる事がわかる |
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| - | **複素数、ノルム [#z6e18a20] | + | **複素数（complex conjugate） [#z6e18a20] |
| | + | |
| | + | 虚数と実数、単位は異なるとしても同じ数を表すものであるから同時に存在し「ひとつの数」として表せる |
| | + | 虚数単位\(i\)とふたつの実数\(a,b\)で「ひとつの数」である複素数\(Z\)が表せる |
| | + | |
| | + | &font(200%){&font(Red){\(Z=a+bi\)};}; |
| | + | |
| | + | aを実数部、bを虚数部と呼び、\(a=0\)の場合、特に分類して複素数と呼ばずに純虚数と呼ぶ |
| | + | |
| | + | |複素数|虚数（\(a≠0,b≠0\)）| |
| | + | |^|実数(\(b=0\))| |
| | + | ||純虚数 a=0 （実数である可能性が無い）| |
| | + | |
| | + | 例： |
| | + | \(5+2i\) 複素数であり虚数でもある |
| | + | \(5\) 複素数であり実数でもある |
| | + | \(2i\) 純虚数 |
| | + | |
| | + | **共役複素数、絶対値（ノルム）、トレース [#k2e15bf9] |
| | + | |
| | + | 複素数\(Z\)に対して虚数部の符号が反転しているものを共役複素数\({ Z }^{ * }\)と呼ぶ。*はアスタリスクと読む。複素数と共役複素数は対となり計算される事が多い |
| | + | |
| | + | &font(200%){&font(Red){\({ Z }^{ * }=a-bi\)};}; |
| | + | |
| | + | ***絶対値（ノルム） [#p0f830cc] |
| | + | |
| | + | 複素数と共役複素数の積、\(Z{Z}^{*}\)は \(Z{ Z }^{ * }=(a+bi)(a-bi)={ a }^{ 2 }+b^{ 2 }\) となり必ず実数となる |
| | + | この\(Z{Z}^{*}\)の平方根の正の方を\(Z\)の絶対値（ノルム）と呼ぶ |
| | + | |
| | + | &font(Red,200%){\(\left| Z \right| =\sqrt { ZZ^{ * } } =\sqrt { { a }^{ 2 }+b^{ 2 } } \)}; |
| | + | |
| | + | &font(Red){''つまり複素数のノルムを計算すると必ず実数に出来る事を表している''}; |
| | + | これは虚数という目に見えない数を人間の目でとらえるように実数にするという意味で重要かもしれない |
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