5: 2015-07-19 (日) 10:44:04 osinko  |
現: 2015-07-21 (火) 21:38:38 osinko |
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| | ***複素平面 [#h5acf916] | | ***複素平面 [#h5acf916] |
| | + | #jsmath |
| | 縦軸に虚数\(i\)、横軸に実数をとった座標平面を「複素平面（complex plane）」と呼ぶ（もしくはガウス平面という呼び方もある） | | 縦軸に虚数\(i\)、横軸に実数をとった座標平面を「複素平面（complex plane）」と呼ぶ（もしくはガウス平面という呼び方もある） |
| | つまり複素数はひとつの数でありながら二次元の数であると言える | | つまり複素数はひとつの数でありながら二次元の数であると言える |
| | ＜５章：Number Complex＞ | | ＜５章：Number Complex＞ |
| | #youtube(66VZBMAPn3E) | | #youtube(66VZBMAPn3E) |
| - | （四元数）クォータニオン… | + | （四元数）クォータニオンへの道… |
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| - | **共役複素数、絶対値（ノルム）、不等式 [#k2e15bf9] | + | 任意のふたつのベクトル\({ v }_{ 1 }({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 }),{ v }_{ 2 }({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 })\)同士の掛算は |
| | + | 内積 \({ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }\) 外積 \({ x }_{ 1 }y_{ 2 }-{ x }_{ 2 }{ y }_{ 1 }\) つまりベクトルに純粋な掛算など存在しない |
| | + | |
| | + | 任意のふたつの複素数\(Z_{ 1 }=(a+bi), Z_{ 2 }=(c+di)\)同士の掛算は |
| | + | \((a+bi)(c+di)\quad =\quad ac+adi+bci+bd{ i }^{ 2 }\quad =\quad (ac-bd)+(ad+bc)i\) |
| | + | つまり複素数は数の意味は変わっているが平面上の２点を直接、掛算できる。これは驚くことだ |
| | + | 又、複素数に純虚数\(i\)を掛けると複素平面上で９０度半時計回りに回転する |
| | + | |
| | + | 後で説明する事柄を含んでいるが、この動画で行っている計算を追いかけてみる。&font(Maroon){赤点を\(Z_{1}\)};、&font(Blue){青点を\(Z_{2}\)};、&font(Green){緑点を\( Z_{ 1 }Z_{ 2 } \)};とすると |
| | + | |
| | + | &font(Green){\({ Z }_{ 1 }{ Z }_{ 2 }=(2+1.5i)(-1+2.4i)\\ =-2+4.8i-1.5i+3.6{ i }^{ 2 }\\ =-2+3.3i-3.6\\ =-5.6+3.3i\quad \quad \cdots ①\)}; |
| | + | |
| | + | &font(Maroon){\({ Z }_{ 1 }=2.0+1.5i\quad ,{ Z }_{ 1 }^{ * }=2.0-1.5i\quad \cdots { Z }_{ 1 }^{ * }は{ Z }_{ 1 }の共役複素数\\ \left| { Z }_{ 1 } \right| =\sqrt { { Z }_{ 1 }{ Z }_{ 1 }^{ * } } =\sqrt { (2.0+1.5i)(2.0-1.5i) } =\sqrt { 4.0-2.25{ i }^{ 2 } } =\sqrt { 4.0+2.25 } =\sqrt { 6.25 } =2.5\quad \cdots { Z }_{ 1 }の絶対値\)}; |
| | + | |
| | + | &font(Blue){\({ Z }_{ 2 }=-1.0+2.4i\quad ,{ Z }_{ 2 }^{ * }=-1.0-2.4i\\ \left| { Z }_{ 2 } \right| =\sqrt { { Z }_{ 2 }{ Z }_{ 2 }^{ * } } =\sqrt { (-1.0+2.4i)(-1.0-2.4i) } =\sqrt { 1.0+2.4i-2.4i-5.76{ i }^{ 2 } } =\sqrt { 1.0+5.76 } =\sqrt { 6.76 } =2.6\quad \cdots { Z }_{ 2 }の絶対値 \)}; |
| | + | |
| | + | &font(150%){\(\left| { Z }_{ 1 }{ Z }_{ 2 } \right| =\left| { Z }_{ 1 } \right| \left| { Z }_{ 2 } \right| \)という法則がある}; |
| | + | |
| | + | &font(Green){\(\left| { Z }_{ 1 }{ Z }_{ 2 } \right| =\sqrt { ({ Z }_{ 1 }{ Z }_{ 2 }){ ({ Z }_{ 1 }{ Z }_{ 2 }) }^{ * } } =\quad ①より\quad \sqrt { (-5.6+3.3i)(-5.6-3.3i) } =\sqrt { 31.36+10.89 } =\sqrt { 42.25 } =6.5\)}; |
| | + | |
| | + | &font(Green){\(\left| { Z }_{ 1 } \right| \left| { Z }_{ 2 } \right| =2.5\times 2.6=6.5\)}; |
| | + | |
| | + | **共役複素数、複素数の絶対値（ノルム）、不等式 [#k2e15bf9] |
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| | 複素数\(Z\)に対して虚数部の符号が反転しているものを共役複素数\({ Z }^{ * }\)と呼ぶ。*はアスタリスクと読む。複素数と共役複素数は対となり計算される事が多い | | 複素数\(Z\)に対して虚数部の符号が反転しているものを共役複素数\({ Z }^{ * }\)と呼ぶ。*はアスタリスクと読む。複素数と共役複素数は対となり計算される事が多い |
| | &font(200%){&font(Red){\({ Z }^{ * }=a-bi\)};}; | | &font(200%){&font(Red){\({ Z }^{ * }=a-bi\)};}; |
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| - | ***絶対値（ノルム） [#p0f830cc] | + | ***複素数の絶対値（ノルム） [#p0f830cc] |
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| | 複素数と共役複素数の積、\(Z{Z}^{*}\)は \(Z{ Z }^{ * }=(a+bi)(a-bi)={ a }^{ 2 }+b^{ 2 }\) となり必ず実数となる | | 複素数と共役複素数の積、\(Z{Z}^{*}\)は \(Z{ Z }^{ * }=(a+bi)(a-bi)={ a }^{ 2 }+b^{ 2 }\) となり必ず実数となる |
| | まず、中高の学校で習う不等式を交えた実数の絶対値の計算例をいくつか見てみる | | まず、中高の学校で習う不等式を交えた実数の絶対値の計算例をいくつか見てみる |
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| - | ・・・ | + | 資料： |
| | + | [[【数と式】絶対値記号を含む方程式・不等式の解き方:http://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0115.html]] |
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| | これを複素数の式で考えると以下の様に書き換える事が出来る | | これを複素数の式で考えると以下の様に書き換える事が出来る |
![[PukiWiki]](http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules/xpwiki/image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
