1: 2015-10-01 (木) 00:26:29 osinko  |
2: 2015-10-01 (木) 01:24:17 osinko |
| | TITLE:実数の定義２ | | TITLE:実数の定義２ |
| - | **数直線上の\(\sqrt { 2 }\)を基準に有理数の集合を切断する [#z3ab827b] | + | #jsmath |
| | + | **数直線上の\(\sqrt { 2 }\)を基準に有理数の集合を切断する [#w7fbfd5d] |
| | + | |
| | + | これは考えてゆくと微積分の計算でみられる「挟み撃ちの原理」となる |
| | + | 数直線上の\(\sqrt { 2 }\)を基準に有理数の集合を切断すると以下のようになります |
| | + | |
| | + | 前提条件は前章から引き継ぐとして |
| | + | \(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|{ a }^{ 2 }<2 または a<0 \right\} \quad ,\quad B:=\left\{ b\in \mathbb{Q}|{ b }^{ 2 }>2 かつ b>0\right\}\) |
| | + | （補足：または、かつの部分は虚数を避けている） |
| | + | |
| | + | \(\sqrt { 2 }\)を正確に有理数で表すと以下のような無限に続く繁分数になります |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sqrt { 2 } =\frac { 1+1 }{ \frac { 2+1 }{ \frac { 2+1 }{ \frac { 2+1 }{ \frac { \frac { 2+1 }{ 2+1 } }{ \vdots } } } } } \) |
| | + | |
| | + | これは漸化式で\(\displaystyle { x }_{ n+1 }=\) &font(Red){ \(\displaystyle \frac { 1 }{ 2 } \left( { x }_{ n }+\frac { 2 }{ { x }_{ n } } \right) \)};と書けます |
| | + | |
| | + | ちなみに\(\sqrt { 3 }\)を正確に有理数で表すと以下のような無限に続く繁分数になります |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sqrt { 3 } =\frac { 1+1 }{ \frac { 1+1 }{ \frac { 2+1 }{ \frac { 1+1 }{ \frac { \frac { 2+1 }{ 1+1 } }{ \vdots } } } } } \) |
| | + | |
| | + | これは漸化式で\(\displaystyle { x }_{ n+1 }=\) &font(Red){\(\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } \left( { x }_{ n }+\frac { 3 }{ { x }_{ n } } \right) \)};と書けます |
| | + | |
| | + | 数直線の図と論理式をみてみると有理数内に切断点は含まれていません。この時、\(a\)と\(b\)の関係は\(\displaystyle a<\frac { a+b }{ 2 } <b\)となります |
| | + | つまり\(\sqrt { 2 }\)は有理数でそのものズバリを具体的に表せない数である事がわかります（無理数は有理数で表せない） |
| | + | |
| | + | ＜思考メモ＞ |
| | + | \(\displaystyle a<\frac { a+b }{ 2 } <b\)の\(a,b\)が逆数であった場合、つまり\(a=\frac{1}{a}\)、\(b=\frac{1}{b}\)であった場合 |
| | + | \(\displaystyle \frac { \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } }{ 2 }\)となる、これは式を変形していくと&font(Red){\(\displaystyle \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { b }{ ab } +\frac { a }{ ab } \right) =\)}; \(\displaystyle \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { a+b }{ ab } \right) =\frac { a+b }{ 2ab } \)になり |
| | + | これの逆数をとると調和平均の式、\(\displaystyle \frac { 2ab }{ a+b }\)になる |
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| | + | ちょっと考えをまとめて行きたい・・・え～とつまり・・・ |
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