3: 2016-11-02 (水) 14:18:42 osinko  |
現: 2016-11-03 (木) 01:35:25 osinko |
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| | **メモ [#gdcfd268] | | **メモ [#gdcfd268] |
| - | εδ論法自体は極限を論理記号、数字、関数を用いて証明するために利用される | + | \(\varepsilon \delta \)論法自体は極限を論理記号、数字、関数を用いて証明するために利用される |
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| | 収束の場合は「はさみうちの原理」を論理的に考える際に役立つ | | 収束の場合は「はさみうちの原理」を論理的に考える際に役立つ |
| - | 頭をεδで抑え込んでa（エー）に向かって限りなく近づけさせる事で、間に挟んでいる関数の解の極限値α（アルファ）を算出する | + | 頭を\(\varepsilon \delta \)で抑え込んで\(a\)（エー）や\(\pm \infty \)に向かって限りなく近づけさせる事で、間に挟んでいる関数の解の極限値\(\alpha \)（アルファ）を算出する |
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| | 鶏が先か卵が先かの話で言えば、最初から極限値が分かっている場合、この場合、鶏が先なので卵の方を考えることになる | | 鶏が先か卵が先かの話で言えば、最初から極限値が分かっている場合、この場合、鶏が先なので卵の方を考えることになる |
| - | つまりεに対応するδを考えることになる。これは代数、微積分の記号的操作による計算よりも、より実数的なニュートンラフソンや、PCでの極限計算に利用できる（らしい） | + | つまり \(\varepsilon\) に対応する \(\delta\) を考えることになる。これは代数、微積分の記号的操作による計算よりも、より実数的なニュートンラフソンや、PCでの極限計算に利用できる（らしい） |
| | 高校数学で先に極限の計算を習ってしまうので鶏が先になってしまう事も多い点に注意 | | 高校数学で先に極限の計算を習ってしまうので鶏が先になってしまう事も多い点に注意 |
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| - | \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <{ a }_{ n }<\alpha +\varepsilon \quad )\) | + | \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <{ a }_{ n }<\alpha +\varepsilon \quad )\) |
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| - | \( \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =0\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) | + | \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =0\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) |
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| | + | 下図は動作イメージ。青色のグラフが \(\frac { 1 }{ n } \)。赤色が \(\varepsilon\) と \(\delta\) 。緑色が \({ a }_{ n }\) と \(n\) 。赤と緑のグラフのy軸は最終的に0に限りなく近くなる |
| | + | 緑が赤と0との間に挟まれている |
| | + | &ref(Animation2.gif); |
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| | \( \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } +3=3\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| \frac { 1 }{ n } +3-3 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 3-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } +3<3+\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) | | \( \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } +3=3\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| \frac { 1 }{ n } +3-3 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 3-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } +3<3+\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) |
| | 補足 | | 補足 |
| | \(\left| \frac { 1 }{ x } +2-3 \right| <\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \frac { 1 }{ x } -1<\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ x } <1+\varepsilon \\ -\frac { 1 }{ x } +1<\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad -\frac { 1 }{ x } <-1+\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ x } >1-\varepsilon \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad 1-\varepsilon <\frac { 1 }{ x } <1+\varepsilon \\ \\ \delta >\left| x-1 \right| >0\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-1 \right| \\ \left| x-1 \right| <\delta \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 0<x-1\quad \Leftrightarrow \quad 1<x \\ 0<-x+1\quad \Leftrightarrow \quad -1<-x\quad \Leftrightarrow \quad 1>x \\ x-1<\delta \quad \Leftrightarrow \quad x<1+\delta \\ -x+1<\delta \quad \Leftrightarrow \quad -x<-1+\delta \quad \Leftrightarrow \quad x>1-\delta \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad 1-\delta <x<1+\delta \quad \wedge \quad x≠1\) | | \(\left| \frac { 1 }{ x } +2-3 \right| <\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \frac { 1 }{ x } -1<\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ x } <1+\varepsilon \\ -\frac { 1 }{ x } +1<\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad -\frac { 1 }{ x } <-1+\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ x } >1-\varepsilon \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad 1-\varepsilon <\frac { 1 }{ x } <1+\varepsilon \\ \\ \delta >\left| x-1 \right| >0\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-1 \right| \\ \left| x-1 \right| <\delta \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 0<x-1\quad \Leftrightarrow \quad 1<x \\ 0<-x+1\quad \Leftrightarrow \quad -1<-x\quad \Leftrightarrow \quad 1>x \\ x-1<\delta \quad \Leftrightarrow \quad x<1+\delta \\ -x+1<\delta \quad \Leftrightarrow \quad -x<-1+\delta \quad \Leftrightarrow \quad x>1-\delta \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad 1-\delta <x<1+\delta \quad \wedge \quad x≠1\) |
| | + | &ref(Animation3.gif); |
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