| - | \(D=\left\{ f\cdot \sigma |\sigma \in R \right\} \\ R=\left\{ \iota ,\sigma ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \\ D=\left\{ f\cdot \iota =f,f\cdot \sigma ,f\cdot { \sigma }^{ 2 },f\cdot { \sigma }^{ 3 },f\cdot { \sigma }^{ 4 },f\cdot { \sigma }^{ 5 } \right\} \\ D=\left\{ f={ g }_{ 1 }=f\cdot { \nu }_{ 1 },f\cdot \sigma ={ g }_{ 2 }=f\cdot { \nu }_{ 2 },f\cdot { \sigma }^{ 2 }={ g }_{ 3 }=f\cdot { \nu }_{ 3 },f\cdot { \sigma }^{ 3 }={ g }_{ 4 }=f\cdot { \nu }_{ 4 },f\cdot { \sigma }^{ 4 }={ g }_{ 5 }=f\cdot { \nu }_{ 5 },f\cdot { \sigma }^{ 5 }={ g }_{ 6 }=f\cdot { \nu }_{ 6 } \right\} \quad \\ \left| D \right| も\left| R \right| も6個ずつある。違いはfを演算した後かどうか\\ そこで\\ { H }_{ j }=\left\{ \mu \in R|f\cdot \mu ={ g }_{ j } \right\} \\ \\ f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}\\ { H }_{ 1 }=\left\{ { \mu }_{ 1 }=\iota ,{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 3 } \right\} =\left\{ f\cdot { \mu }_{ 1 }=f=f\cdot { \sigma }^{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}={ g }_{ 1 }=f\cdot { \nu }_{ 1 }\quad ,\quad f\cdot { \mu }_{ 2 }=f=f\cdot { \sigma }^{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}={ g }_{ 1 }=f\cdot { \nu }_{ 1 } \right\} \\ \left| { H }_{ 1 } \right| =2\\ { H }_{ 2 }=\left\{ { \mu }_{ 1 }={ \sigma },{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 4 } \right\} =\left\{ f\cdot { \mu }_{ 1 }=f\cdot { \sigma }=f\cdot { \sigma }^{ 4 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & A & B & C & A & B \end{pmatrix}={ g }_{ 2 }=f\cdot { \nu }_{ 2 }\quad ,\quad f\cdot { \mu }_{ 2 }=f\cdot { \sigma }=f\cdot { \sigma }^{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & A & B & C & A & B \end{pmatrix}={ g }_{ 2 }=f\cdot { \nu }_{ 2 } \right\} \\ \left| { H }_{ 2 } \right| =2\\ { H }_{ 3 }=\left\{ { \mu }_{ 1 }={ \sigma }^{ 2 },{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 5 } \right\} =\left\{ f\cdot { \mu }_{ 1 }=f\cdot { \sigma }^{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 5 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ B & C & A & B & C & A \end{pmatrix}={ g }_{ 3 }=f\cdot { \nu }_{ 3 }\quad ,\quad f\cdot { \mu }_{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 5 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ B & C & A & B & C & A \end{pmatrix}={ g }_{ 3 }=f\cdot { \nu }_{ 3 } \right\} \\ \left| { H }_{ 3 } \right| =2\\ \\ 事実1:各集合{ H }_{ j }の要素の個数\left| { H }_{ j } \right| はすべて等しい。この場合k=2\\ \\ ①{ { H }_{ j }の各要素は互いに異なる。\mu }_{ 1 }\cdot { \nu }_{ 1 }≠{ \mu }_{ 2 }\cdot { \nu }_{ 1 }\rightarrow { \mu }_{ 1 }≠{ \mu }_{ 2 }\quad \quad 例:{ \nu }_{ 1 }=\iota とすると、{ \mu }_{ 1 }=\iota ,{ \mu }_{ 2 }={ \sigma }^{ 3 }\quad { \mu }_{ 1 }と{ \mu }_{ 2 }が同じになることはない\\ ②gを逆置換\left( 逆関数 \right) して元のfにもどせない要素\mu \in Rは{ H }_{ j }に含まれない\\ Xは番号の集合でYは料理の集合。f:X\rightarrow Y\quad ,\quad g:X\rightarrow Y\quad ,\quad { \sigma }^{ j }\in R\quad ,\quad \mu \in R\quad \quad 以上の事から\nu \in Rにならざる得なくなる\\ { \nu の逆置換\left( 逆関数 \right) は\quad \nu }^{ -1 }:X\rightarrow X\quad ,\quad { \nu }^{ -1 }\in R\quad \left( Rは置換群として定義しているので演算が閉じている。つまり逆元はRの中に必ずある \right) \\ \\ 例:\\ { g }_{ 2 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & A & B & C & A & B \end{pmatrix}\quad ,\quad { \mu }={ \sigma }\quad \rightarrow \quad \overbrace { { \nu }^{ -1 }={ \sigma }^{ 6-1 }={ \sigma }^{ 5 } }^{ P57のやり方で逆元を求める } \quad \rightarrow \quad { { g }_{ 2 } }\cdot { \nu }^{ -1 }=f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & C & A & B & C \end{pmatrix}=f\cdot { \mu }\cdot { \nu }^{ -1 }\quad \\ \\ \\ \\ ①と②は全てのパターンが漏れなく対応し異なる事を保証している（つまり数え上げの「組み合わせ」になっている） \) | |
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