17: 2016-06-08 (水) 18:31:07 osinko  |
現: 2016-06-09 (木) 17:35:22 osinko |
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| | 使用例: | | 使用例: |
| - | \({ a }_{ 1 }=3,r=5\\ { a }_{ n }=\left\{ 3,15,75,375,1875,\cdots 3\cdot 5^{ n-1 } \right\} \) | + | \({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=\left\{ 1,2,3,4\cdots \right\} \\ { a }_{ n }=\left\{ 3,15,75,375,1875,\cdots 3\cdot 5^{ n-1 } \right\} \) |
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| | ***等比数列と対数との関係 [#d6eac638] | | ***等比数列と対数との関係 [#d6eac638] |
| | 等比数列の総和は等比級数、幾何級数とも呼ばれる。等比数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式となっている。なお、\(n\)を\(\infty \)にすると極限が計算できる点は非常に重要で、その場合、無限級数と呼ばれる | | 等比数列の総和は等比級数、幾何級数とも呼ばれる。等比数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式となっている。なお、\(n\)を\(\infty \)にすると極限が計算できる点は非常に重要で、その場合、無限級数と呼ばれる |
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| - | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) | + | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) |
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| - | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } } \) | + | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } } \) |
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| - | シグマの中の要素をずらす事で一般式を利用できる。たとえば以下のように等比を一要素、外に出して一つずらす等、等比はこのようなテクニックが使える | + | この公式の\(a\)は初項と考えない方が良い。むしろ等比級数内の等比数列全体に適用される係数だと考えた方が良い。シグマの中の要素をずらす事で一般式も変化する。たとえば以下のように等比の要素を一要素、外に出して係数に含め一つずらす等ができる。これにより式を変形させたりする |
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| - | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }r\cdot } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }r\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }\left( r-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r }\) | + | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a } } { r }^{ k }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }r\cdot } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }r\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \quad =\quad \frac { { a }\left( r-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r } \) |
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| | <より一般的な公式> | | <より一般的な公式> |
| - | \(k=m\)である場合は以下になる。級数内部を数列的に眺めた時、等比部分が０乗から始まっているなら、\({a}_{1}({r}^{0}-{r}^{n+0})={a}_{1}(1-{r}^{n})\)、１乗以上から始まっている場合なら、\({a}_{1}({r}^{m}-{r}^{n+1})\)となる | + | \(k=m\)で\(k\ge 1\)である場合は以下になる |
| - | （等比の指数部計算が0乗から始まって欲しい状況がよくあるからこうなっている。公式を丸憶えせず導出から憶えた方が良い（少し先に書いてる）。級数内部の要素が一つずれ込む理由もわかる） | + | |
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| - | &font(Red){\(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }_{ 1 }r^{ k } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ m }-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r } \)}; | + | &font(Red){\(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }r^{ k } } =\frac { { a }\left( { r }^{ m }-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r } \)}; |
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| | 使用例： | | 使用例： |
| - | \({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=8 \\ この等比級数の等比部分は0乗から始まっている \\ Sn=3+15+75+375+1875+9375+46875+234375=292968\\ もしくは\\ Sn=\frac { 3\times (1-{ 5 }^{ 8 }) }{ 1-5 } =292968\) | + | |
| | + | 等比級数の内容を確認する |
| | + | \(Sn=3+15+75+375+1875+9375+46875+234375=292968\\ \quad \quad =3\cdot { 5 }^{ 0 }+3\cdot { 5 }^{ 1 }+3\cdot { 5 }^{ 2 }+3\cdot { 5 }^{ 3 }+3\cdot { 5 }^{ 4 }+3\cdot { 5 }^{ 5 }+3\cdot { 5 }^{ 6 }+3\cdot { 5 }^{ 7 }=292968\) |
| | + | |
| | + | \({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=8\) |
| | + | この等比級数の項の数は8個で初項は0乗から始まっている。\(k=\left\{ 1,2,3,\cdots 8 \right\} \)とカウントアップされる場合、シグマ内部の数式は\(0\)乗の為に\(k-1\)される必要がある |
| | + | よってシグマの式は |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle Sn=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }r^{ k-1 } } =\frac { { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) |
| | + | |
| | + | これに各値をあてはめると以下になる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle Sn=\sum _{ k=1 }^{ 8 }{ 3\cdot { 5 }^{ k-1 } } =\frac { 3\times (1-{ 5 }^{ 8 }) }{ 1-5 } =292968\) |
| | | | |
| | 使用例２： | | 使用例２： |
| - | 等比数列とシグマを考える時、初項や等比、次数との関係をよく考えながら式を進める必要がある | + | 等比級数とシグマを考える時、初項や等比、次数との関係をよく考えながら式を進める必要がある |
| - | この等比級数の等比部分は\(1\)乗から始まっている | + | |
| - | \(\displaystyle -2\pi +4{ \pi }^{ 2 }-8{ \pi }^{ 3 }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi } \right) ^{ k } } \quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( { -2\pi } \right) \cdot \left( -2{ \pi } \right) ^{ k-1 } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }\left( 1-{ (-2{ \pi }) }^{ 3 } \right) }{ 1-{ (-2\pi ) } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }\left( 1+8{ \pi }^{ 3 } \right) }{ 1+2{ \pi } } \quad \simeq \quad -214.8549...\\ もしくは、等比部分が1乗から始まっているので\\ \displaystyle -2\pi +4{ \pi }^{ 2 }-8{ \pi }^{ 3 }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi } \right) ^{ k } } \quad =\quad \frac { 1\cdot ({ \left( -2{ \pi } \right) }^{ 1 }-{ \left( -2{ \pi } \right) }^{ 3+1 }) }{ 1-{ \left( -2{ \pi } \right) } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }-{ (-2{ \pi }) }^{ 4 } }{ 1+2{ \pi } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }-{ 16{ \pi } }^{ 4 } }{ 1+2{ \pi } } \quad \simeq \quad -214.8549...\) | + | \(Sn=-2\pi +4{ \pi }^{ 2 }-8{ \pi }^{ 3 }={ \left( -2\pi \right) }^{ 1 }+{ \left( -2\pi \right) }^{ 2 }+{ \left( -2\pi \right) }^{ 3 }\simeq -214.8549...\) |
| | + | |
| | + | \({ a }=1,r=\left( -2\pi \right) ,n=3\) |
| | + | この等比級数の項の数は3個で初項は\(1\)乗から始まっている。\(k=\left\{ 1,2,3 \right\}\)とカウントアップされるのでシグマ内部の数式の\(k\)に対して操作は必要ない |
| | + | よってシグマの式は |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }r^{ k } } =\frac { { a }\left( { r }^{ m }-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r }\) |
| | + | |
| | + | これに各値をあてはめると以下になる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi } \right) ^{ k } } \quad =\quad \frac { 1\cdot ({ \left( -2{ \pi } \right) }^{ 1 }-{ \left( -2{ \pi } \right) }^{ 3+1 }) }{ 1-{ \left( -2{ \pi } \right) } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }-{ 16{ \pi } }^{ 4 } }{ 1+2{ \pi } } \quad \simeq \quad -214.8549...\) |
| | | | |
| | ＜補足＞ | | ＜補足＞ |
| | ***等比数列の総和の公式の導出 [#z4ff4d5d] | | ***等比数列の総和の公式の導出 [#z4ff4d5d] |
| | 非常に重要な考え方の一つ | | 非常に重要な考え方の一つ |
| - | シグマの等比を一つずらしたものと元のものを引き算して&font(Red){数列同士を打ち消し合い式をシンプルにする}; | + | 公式の導出。最初に幾何級数を書く |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }{ r }^{ k-1 } } ={ a }{ r }^{ 0 }+{ a }{ r }^{ 1 }+{ a }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }{ r }^{ n-1 }\) |
| | + | |
| | + | このシグマの式に対して「\(1-r\)」を掛ける事で、シンプルになる右辺の式を見つける事が出来る |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \begin{eqnarray} (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ a { r }^{ k-1 } } & = & \left( 1-r \right) \left( { a }{ r }^{ 0 }+{ a }{ r }^{ 1 }+{ a }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }{ r }^{ n-1 } \right) \\ \quad & = & { a }{ r }^{ 0 }+{ a }{ r }^{ 1 }+{ a }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }{ r }^{ n-1 }-{ a }{ r }^{ 1 }-{ a }{ r }^{ 2 }-{ a }{ r }^{ 3 }-\cdots -{ a }{ r }^{ n } \\ \quad & = & { a }{ r }^{ 0 }-{ a }{ r }^{ n } \\ \quad & = & { a }-{ { a }r }^{ n } \\ \quad & = & { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \end{eqnarray}\) |
| | | | |
| - | \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) | + | 従ってr≠1の場合、幾何級数は以下の公式が利用できる |
| - | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \) | + | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \) | + | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \) | + | |
| | | | |
| - | これにより&font(Red){初項と末項のみが残る状態になり、両辺を\((1-r)\)で割るだけで式はシンプルになる}; | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) |
| | | | |
| | ***無限級数（infinite geometric series） [#e78f345c] | | ***無限級数（infinite geometric series） [#e78f345c] |
| | int nn = 7; | | int nn = 7; |
| | float particleSize = 0.3f; | | float particleSize = 0.3f; |
| | + | |
| | ParticleSystem pe; | | ParticleSystem pe; |
| | ParticleSystem.Particle[] point; | | ParticleSystem.Particle[] point; |
| | pe.startSpeed = 0; | | pe.startSpeed = 0; |
| | pe.startLifetime = float.MaxValue; //寿命が有限なのでいつか消えます（無限寿命を指定する方法は仕様上無い？） | | pe.startLifetime = float.MaxValue; //寿命が有限なのでいつか消えます（無限寿命を指定する方法は仕様上無い？） |
| | + | |
| | CreatePoint (); | | CreatePoint (); |
| | } | | } |
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