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<シグマ記号の意味> 等差数列(arithmetic progression)\({ a }_{ n }={ a }_{1}+\left( n-1 \right) d\quad \quad \quad \quad ({ a }_{1}:初項\quad d:公差\quad n:項数)\) 使用例: 等差数列の総和(等差級数 arithmetic series)一定の法則にしたがって変化する数を一定の順に並べた数列の和の事を「級数」と呼ぶ。無限に並べた和を「無限級数」と呼ぶ。「等差数列の総和」は「等差級数」とも呼べる 等差数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式(公式)となっている。総和は\(Sn\) (おそらくSumNumberの略)で表される事が多い \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+\left( k-1 \right) d } \quad =\quad \frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \) 使用例: 等差数列の総和の公式の導出まず総和内の数列を確認する \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+\left( k-1 \right) d } \\ \quad =\quad { a }_{ 1 }+\left( { a }_{ 1 }+d \right) +\left( { a }_{ 1 }+2d \right) +\cdots +\left( { a }_{ 1 }+(n-3)d \right) +\left( { a }_{ 1 }+(n-2)d \right) +\left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \) \(Sn\)の並びを逆にする \( \quad =\quad { \left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) +\left( { a }_{ 1 }+(n-2)d \right) +\left( { a }_{ 1 }+(n-3)d \right) + }\cdots +\left( { a }_{ 1 }+2d \right) +\left( { a }_{ 1 }+d \right) +{ a }_{ 1 }\) 普通の並びの\(Sn\)と逆並びにした\(Sn\)を足し合わせる \(\displaystyle \begin{matrix} { a }_{ 1 } & \left( { a }_{ 1 }+d \right) & \left( { a }_{ 1 }+2d \right) \\ + & + & + \\ \left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & \quad \left( { a }_{ 1 }+(n-2)d \right) & \quad \left( { a }_{ 1 }+(n-3)d \right) \\ \parallel & \parallel & \parallel \\ \left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) + \end{matrix}\begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{matrix}\begin{matrix} \left( { a }_{ 1 }+(n-3)d \right) & \left( { a }_{ 1 }+(n-2)d \right) & \left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \\ + & + & + \\ \left( { a }_{ 1 }+2d \right) & \quad \left( { a }_{ 1 }+d \right) & \quad { a }_{ 1 } \\ \parallel & \parallel & \parallel \\ +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \end{matrix}\begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \quad \quad \quad \quad \longleftarrow ここはn項ある \end{matrix} \) \(従って、2Sn=n\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad \) \( 両辺を2で割って、Sn=\frac { n }{ 2 } \left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad となる\) 等比数列(geometric progression)等比数列は幾何数列と呼ばれることもある。英語では「geometric progression」 \({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad \quad ({ a }_{ 1 }:初項\quad r:公比\quad n:項数)\) 使用例: 等比数列と対数との関係等比数列の一般項の対数をとると 例: 数列 \( \log { { a }_{ n } } \) は初項 \(\log { { a }_{ 1 } } \)、公差 \(\log { r } \)の等差数列になる 等比数列の総和(等比級数、幾何級数 geometric series)等比数列の総和は等比級数、幾何級数とも呼ばれる。等比数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式となっている。なお、\(n\)を\(\infty \)にすると極限が計算できる点は非常に重要で、その場合、無限級数と呼ばれる \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } } \) この公式の\(a\)は初項と考えない方が良い。むしろ等比級数内の等比数列全体に適用される係数だと考えた方が良い。シグマの中の要素をずらす事で一般式も変化する。たとえば以下のように等比の要素を一要素、外に出して係数に含め一つずらす等ができる。これにより式を変形させたりする \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a } } { r }^{ k }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }r\cdot } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }r\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \quad =\quad \frac { { a }\left( r-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r } \) <より一般的な公式> \(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }r^{ k } } =\frac { { a }\left( { r }^{ m }-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r } \) 使用例: 等比級数の内容を確認する \({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=8\) \(\displaystyle Sn=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }r^{ k-1 } } =\frac { { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) これに各値をあてはめると以下になる \(\displaystyle Sn=\sum _{ k=1 }^{ 8 }{ 3\cdot { 5 }^{ k-1 } } =\frac { 3\times (1-{ 5 }^{ 8 }) }{ 1-5 } =292968\) 使用例2: \(Sn=-2\pi +4{ \pi }^{ 2 }-8{ \pi }^{ 3 }={ \left( -2\pi \right) }^{ 1 }+{ \left( -2\pi \right) }^{ 2 }+{ \left( -2\pi \right) }^{ 3 }\simeq -214.8549...\) \({ a }=1,r=\left( -2\pi \right) ,n=3\) \(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }r^{ k } } =\frac { { a }\left( { r }^{ m }-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r }\) これに各値をあてはめると以下になる \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi } \right) ^{ k } } \quad =\quad \frac { 1\cdot ({ \left( -2{ \pi } \right) }^{ 1 }-{ \left( -2{ \pi } \right) }^{ 3+1 }) }{ 1-{ \left( -2{ \pi } \right) } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }-{ 16{ \pi } }^{ 4 } }{ 1+2{ \pi } } \quad \simeq \quad -214.8549...\) <補足> 等比数列の総和の公式の導出非常に重要な考え方の一つ \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }{ r }^{ k-1 } } ={ a }{ r }^{ 0 }+{ a }{ r }^{ 1 }+{ a }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }{ r }^{ n-1 }\) このシグマの式に対して「\(1-r\)」を掛ける事で、シンプルになる右辺の式を見つける事が出来る \(\displaystyle \begin{eqnarray} (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ a { r }^{ k-1 } } & = & \left( 1-r \right) \left( { a }{ r }^{ 0 }+{ a }{ r }^{ 1 }+{ a }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }{ r }^{ n-1 } \right) \\ \quad & = & { a }{ r }^{ 0 }+{ a }{ r }^{ 1 }+{ a }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }{ r }^{ n-1 }-{ a }{ r }^{ 1 }-{ a }{ r }^{ 2 }-{ a }{ r }^{ 3 }-\cdots -{ a }{ r }^{ n } \\ \quad & = & { a }{ r }^{ 0 }-{ a }{ r }^{ n } \\ \quad & = & { a }-{ { a }r }^{ n } \\ \quad & = & { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \end{eqnarray}\) 従ってr≠1の場合、幾何級数は以下の公式が利用できる \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) 無限級数(infinite geometric series)\(n\)に対して極限を利用すると収束や拡散、振動などが発生する。特に収束は確率計算や積分で重要。以下に利用例を併記する <以下工事中TODO> 忘備録メモシグマの計算 \(\displaystyle E\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ pk{ \left( 1-p \right) }^{ k } } \quad =\quad p\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ k{ \left( 1-p \right) }^{ k } } \\ \\ 数列で考える\\ \\ E=\left\{ p(1-p)+2p{ (1-p) }^{ 2 }+3p{ (1-p) }^{ 3 }+\cdots \right\} \\ \\ E(1-p)=\left\{ p{ (1-p) }^{ 2 }+2p{ (1-p) }^{ 3 }+3p{ (1-p) }^{ 4 }+\cdots \right\} \\ \\ 引き算して数列を整理。kを消す\\ \\ E-E(1-p)=E-E+pE=pE\\ pE=\left\{ p(1-p)+p{ (1-p) }^{ 2 }+p{ (1-p) }^{ 3 }+\cdots \right\} \quad =\quad p\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( 1-p \right) }^{ k } } \\ pE\quad =\quad p\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( 1-p \right) }^{ k } } \quad =\quad p\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( 1-p \right) }\cdot { \left( 1-p \right) }^{ k-1 } } \\ \\ 等比数列の公式\cdots \quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } より\\ \\ E\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( 1-p \right) }\cdot { \left( 1-p \right) }^{ k-1 } } \quad =\quad \frac { \left( 1-p \right) \left( 1-\overbrace { \left( 1-p \right) ^{ n } }^{ 0\le (1-p)\le 1より無限級数の収束で0になる } \right) }{ 1-(1-p) } \quad =\quad \frac { \left( 1-p \right) \left( 1-0 \right) }{ 1-1+p } \quad =\quad \frac { 1-p }{ p } \) 順番
他例: 等比数列の総和資料:虚数の情緒 P448~P449 ここでは別の解釈で同じ計算をやる まず、P448の等比数列の総和\({K}_{n}\)を求めることを考える 等比数列の総和の公式は以下になる <TODO> 無限級数(等比数列の無限項の総和、つまり\(n\rightarrow \infty \))の場合、\(-1<r<1\) であるなら収束が発生して総和の式が変わる \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n }= } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-0 \right) }{ 1-{ r } } =\frac { { a }_{ 1 } }{ 1-{ r } } \quad \quad (-1<r<1) \) (補足:\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { r }^{ n }= } 0 }\)の収束が発生する) 有理数を利用した関数の帰納的性質資料:「虚数の情緒P448~P449」 つまり、こういう事だと思う \(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ k } } \quad =\quad \left\{ 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right\} \quad =\quad 1+\frac { 1 }{ 3 } \quad =\quad \frac { 4 }{ 3 } \) \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ k } } \quad =\quad \left\{ \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right\} \quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \) これは実数が\(1\)とその他の小数の数字に分離できるという事を示唆している \(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ n } \right) }^{ k } } =1+\frac { 1 }{ n-1 } \quad \quad \quad \quad \quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ n } \right) }^{ k } } =\frac { 1 }{ n-1 } \quad \) 例えば、こんな感じになる \(\displaystyle 3\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10001 } \right) }^{ k } } =3.0003\) この帰納的性質は指数や対数の計算において面白い効果が期待できそうな可能性がある 等比数列の検証微積分で良く使う有用な計算技法をいくつかピックアップ <等比数列でよくみられる計算原理> \(\displaystyle \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 3 } \) \(\displaystyle \rightarrow \quad \frac { 3\times 1 }{ 3\times 4 } +\frac { 1 }{ 3\times 4 } =\frac { 4 }{ 12 } =\frac { 1 }{ 3 } \) \(\displaystyle \rightarrow \quad 1\times \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3\times 4 } =\frac { 1 }{ 3 } \quad \rightarrow \quad 1\times \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 3 } \) \(\displaystyle \rightarrow \quad \frac { 1 }{ 4 } \left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \right) =\frac { 1 }{ 3 } \\ \) この最後の式の"形"はよくみかける ==TODO== 等差数列、等比数列等の数列計算と漸化式、総和(シグマ)等はお互いに強く関係している(公式を利用してお互いに相互変換できる) 等差数列ゲーム用途では一定間隔にグリッド状にオブジェクトを配置するなどに使える数式です。初項で初期位置を決めて公差で間隔を決定します
等比数列の和<メモ> 総和の平方根の階差数列はnを大きくしていくと0.7071...に収束する(イプシロンデルタ論法の下地?) \(\displaystyle\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } } -\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n }{ k } } \\ \\ \displaystyle\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } =\frac { n(a+l) }{ 2 } \\ l=a+(n-1)d,a=1,d=1\quad \rightarrow \quad \frac { n(a+a+(n-1)d) }{ 2 } =\frac { n(1+1+(n-1)1) }{ 2 } =\frac { n(2+(n-1)) }{ 2 } =\frac { n(n+1) }{ 2 } \\ \rightarrow \displaystyle\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } =\frac { n(n+1) }{ 2 } \\ \\ \displaystyle\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } } -\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n }{ k } } =\sqrt { \frac { (n+1)\{ (n+1)+1\} }{ 2 } } -\sqrt { \frac { n(n+1) }{ 2 } } =\sqrt { \frac { (n+1)(n+2) }{ 2 } } -\sqrt { \frac { n(n+1) }{ 2 } } \\ \rightarrow \quad \frac { \sqrt { n+1 } \sqrt { n+2 } }{ \sqrt { 2 } } -\frac { \sqrt { n } \sqrt { n+1 } }{ \sqrt { 2 } } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { n+1 } (\sqrt { n+2 } -\sqrt { n } ) }{ \sqrt { 2 } } \\ \\ \rightarrow \quad \frac { \sqrt { n+1 } (\sqrt { n+2 } -\sqrt { n } )(\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) }{ \sqrt { 2 } (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { n+1 } (n+2-n) }{ \sqrt { 2 } (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) } \quad \rightarrow \quad \frac { 2\sqrt { n+1 } }{ \sqrt { 2 } (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) } \\ \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { n+1 } }{ (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } ) } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { n+1 } \times \frac { 1 }{ n } }{ (\sqrt { n+2 } +\sqrt { n } )\times \frac { 1 }{ n } } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { \frac { n+1 }{ n } } }{ \sqrt { \frac { n+2 }{ n } } +\sqrt { \frac { n }{ n } } } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { 1+\frac { 1 }{ n } } }{ \sqrt { 1+\frac { 2 }{ n } } +1 } \\ \\ \rightarrow \displaystyle\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { 1+\frac { 1 }{ n } } }{ \sqrt { 1+\frac { 2 }{ n } } +1 } } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { 1+0 } }{ \sqrt { 1+0 } +1 } \quad \rightarrow \quad \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \quad =\quad 0.7071...\) |