[確率と統計/確率計算で利用する対数計算のバックアップソース(No.4)]

Unity学習帳2冊目確率と統計 / 確率計算で利用する対数計算のバックアップソース(No.4)

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TITLE:有理数を利用した関数の帰納的性質
#jsmath
**有理数を利用した関数の帰納的性質 [#z10c6636]

資料：「虚数の情緒P448～P449」

つまり、こういう事だと思う

\(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ k } } \quad =\quad \left\{ 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } }  \right\} \quad =\quad 1+\frac { 1 }{ 3 } \quad =\quad \frac { 4 }{ 3 } \)

\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ k } } \quad =\quad \left\{ \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } }  \right\} \quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \)
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 5 }  \right)  }^{ k } } \quad =\quad \left\{ \frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ { 5 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 5 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 5 }^{ n } }  \right\} \quad =\quad \frac { 1 }{ 4 } \)
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 6 }  \right)  }^{ k } } \quad =\quad \left\{ \frac { 1 }{ 6 } +\frac { 1 }{ { 6 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 6^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 6 }^{ n } }  \right\} \quad =\quad \frac { 1 }{ 5 } \)
\(\quad \cdots \)
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 1000 }  \right)  }^{ k } } \quad =\quad \left\{ \frac { 1 }{ 1000 } +\frac { 1 }{ { 1000 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 1000^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 1000 }^{ n } }  \right\} \quad =\quad \frac { 1 }{ 999 } \)

これは実数が\(1\)とその他の小数の数字に分離できるという事を示唆している

\(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ k } } =1+\frac { 1 }{ n-1 } \quad \quad \quad \quad \quad \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ k } } =\frac { 1 }{ n-1 } \quad \)

例えば、こんな感じになる

\(\displaystyle 3\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10001 }  \right)  }^{ k } } =3.0003\)

この帰納的性質は指数や対数の計算において面白い効果が期待できそうな可能性がある
資料：  [[初心者用　テイラー展開解説:http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/taylorexp/taylor1.htm]]

**確率計算で使いそうな解き方の忘備録 [#g24c225c]

\(\left( \frac { 4 }{ 5 }  \right) { \left( \frac { 1 }{ 5 }  \right)  }^{ x-1 }=\frac { 4 }{ 125 } \) 　　　この式の\(x\)を求めるには？

対数を利用する

\(\left( 0.8 \right) { (0.2) }^{ x-1 }=0.032\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad { (0.2) }^{ x-1 }=\frac { 0.032 }{ 0.8 } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad { (0.2) }^{ x-1 }=0.04\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad x-1=\log _{ 0.2 }{ 0.04 } \\ \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad x-1=\frac { \ln { 0.04 }  }{ \ln { 0.2 }  } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad x-1=2\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad x=3\)

#hr

対数の論理的同値は個人的に慣れるまで忘れやすいので注意

\(\log { p } =\log { q } \quad \Leftrightarrow \quad p=q \)

仕組み的に例を出すと以下になる

\(\log { { r }^{ 8 } } =\log { 942 } \quad \Leftrightarrow \quad { r }^{ 8 }=942\)   この時。両辺の底がそろっていれば、底の値自体はなんでもいい事に留意。ここから\(r\)を求めるならば

\(\log _{ e }{ { r }^{ 8 } } =\log _{ e }{ 942 } \quad \Leftrightarrow \quad 8\log _{ e }{ { r } } =\log _{ e }{ 942 } \quad \Leftrightarrow \quad \log _{ e }{ { r } } =\frac { \log _{ e }{ 942 }  }{ 8 } \quad \Leftrightarrow \quad \log _{ e }{ { r } } =0.856...\quad \Leftrightarrow \quad { r }={ e }^{ 0.856... }\quad \Leftrightarrow \quad { r }=2.353...\\ \log _{ 10 }{ { r }^{ 8 } } =\log _{ 10 }{ 942 } \quad \Leftrightarrow \quad 8\log _{ 10 }{ { r } } =\log _{ 10 }{ 942 } \quad \Leftrightarrow \quad \log _{ 10 }{ { r } } =\frac { \log _{ 10 }{ 942 }  }{ 8 } \quad \Leftrightarrow \quad \log _{ 10 }{ { r } } =0.371756...\quad \Leftrightarrow \quad { r }={ 10 }^{ 0.371756... }\quad \Leftrightarrow \quad { r }=2.353...\)

のように底を\(e\)にしても\(10\)にしても結果は変わらない
つまり、計算において底を揃えておけばいい時は、底の値を明記しないのが数学的暗黙の了解となっているらしい

#navi

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- 3: 2016-05-09 (月) 04:03:41 osinko
- 4: 2016-05-25 (水) 21:35:22 osinko
- 現: 2016-06-03 (金) 23:10:18 osinko

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