確率と統計​/確率計算で利用する対数計算

確率計算で使いそうな解き方の忘備録

\(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) { \left( \frac { 1 }{ 5 } \right) }^{ x-1 }=\frac { 4 }{ 125 } \) 　　　この式の\(x\)を求めるには？

対数を利用する

\(\left( 0.8 \right) { (0.2) }^{ x-1 }=0.032\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad { (0.2) }^{ x-1 }=\frac { 0.032 }{ 0.8 } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad { (0.2) }^{ x-1 }=0.04\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad x-1=\log _{ 0.2 }{ 0.04 } \\ \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad x-1=\frac { \ln { 0.04 } }{ \ln { 0.2 } } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad x-1=2\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad x=3\)

対数の論理的同値は個人的に慣れるまで忘れやすいので注意

\(\log { p } =\log { q } \quad \Leftrightarrow \quad p=q \)

仕組み的に例を出すと以下になる

\(\log { { r }^{ 8 } } =\log { 942 } \quad \Leftrightarrow \quad { r }^{ 8 }=942\) この時。両辺の底がそろっていれば、底の値自体はなんでもいい事に留意。ここから\(r\)を求めるならば

\(\log _{ e }{ { r }^{ 8 } } =\log _{ e }{ 942 } \quad \Leftrightarrow \quad 8\log _{ e }{ { r } } =\log _{ e }{ 942 } \quad \Leftrightarrow \quad \log _{ e }{ { r } } =\frac { \log _{ e }{ 942 } }{ 8 } \quad \Leftrightarrow \quad \log _{ e }{ { r } } =0.856...\quad \Leftrightarrow \quad { r }={ e }^{ 0.856... }\quad \Leftrightarrow \quad { r }=2.353...\\ \log _{ 10 }{ { r }^{ 8 } } =\log _{ 10 }{ 942 } \quad \Leftrightarrow \quad 8\log _{ 10 }{ { r } } =\log _{ 10 }{ 942 } \quad \Leftrightarrow \quad \log _{ 10 }{ { r } } =\frac { \log _{ 10 }{ 942 } }{ 8 } \quad \Leftrightarrow \quad \log _{ 10 }{ { r } } =0.371756...\quad \Leftrightarrow \quad { r }={ 10 }^{ 0.371756... }\quad \Leftrightarrow \quad { r }=2.353...\)

のように底を\(e\)にしても\(10\)にしても結果は変わらない
つまり、計算において底を揃えておけばいい時は、底の値を明記しないのが数学的暗黙の了解となっているらしい

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