ゴミ箱
をテンプレートにして作成
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**ゴミ箱
**2016_11_16
#jsmath
memo
関数を傾きで割ると何になる?
y=mx+b → y/m=x+b/m
(もうちょっとまともな文章にする)
***結局、εとδは何を意味しているのか?
結局、εとδは何を意味しているのだろう? ここで関数の極限を...
関数の極限の収束は以下の論理式になる
\(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\...
&font(Red){\(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表...
では\(\delta\)は?
\(関数の極限の収束を考えた場合、\left| f\left( x \right) ...
\(この\varepsilon \delta でxとf\left( x \right) を包囲、...
\(ここで論理式に注目すると\deltaは「\exists \delta >0」と...
この場合\(\delta\)は「\(\varepsilon \delta \)の論理式の条...
\(\delta\)は条件さえ満たせば、どんな形でも良いものだとい...
ここで一つ疑問が出てくる。何故、逆関数であると言い切らな...
***εδ論法の根拠
TODO
この極限という機関の動力は無限に小さくなっていくεをガソリ...
自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して
\( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \...
が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなって...
+数列の初期値(この場合\(n=1\))が関数\(P(1)\)で成り立つ事...
+任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を...
//(\(p(k)\)は仮定。\(p(k+1)\)が証明)
+1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)...
***ニュートンラフソンの極限、εδの観察
**2016_12_11
***微分の極限の定義
\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left(...
\( \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\d...
**2016_11_9
\(f'\left( b \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f...
**2016_11_8
\(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad ,\quad f'\left( x \...
\(\displaystyle f'\left( a \right) =\lim _{ b\rightarrow ...
\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rig...
\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rig...
ここで、\(f\left( b \right) =0\)との連立方程式を\(b\)に対...
\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { 0 }{ ...
\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ }\) の極限の関...
\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\l...
これをεδ論法で考えるとこうなる
TODO
***ニュートンラフソンと極限の考えを接続したい
\(\lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right)...
これをなんとか論理的な証明を表現したい。εδ論法の機能は以...
①無限を定義
②無限を使って収束を定義(収束はアルキメデスの原則に従う。...
//③指数のマイナスに対する扱い、虚数の扱いに問題(情報不足)
(虚数の情緒P424とP450~を接続)
\(\lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a+\frac { f\left( a \ri...
**2016_10_21
#jsmath
ここではεδ論法(イプシロンデルタ論法)の仕組み。何の為に...
\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1...
\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\qu...
まず、各命題の意味を機能と仕組みの観点から考えて説明する
|\(\forall \varepsilon >0\)|0という下界を持つ単調減少する...
|\(\exists \delta >0\)|0という下界を持つ単調増加する選ば...
|\(\forall n\in \mathbb{N}\)|これは\(\forall \varepsilon ...
|\(n>\delta\)&br;\(\Rightarrow | { a }_{ n } | <\varep...
\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1...
\(\alpha=0\)として考えた際、&font(Red){''\(n\)に対応する...
数列の単調減少とは、すなわち任意の\(n=1,2,3...\)において\...
数列の下界が\(0\)とは、すなわち任意の\(n=1,2,3...\)におい...
<収束の証明手順まとめ>
+&font(Red){数列が単調増加(単調減少)する事を証明する};
+&font(Red){数列が上界(下界)を持つ事を証明する};
単調減少や下界は数の大小関係で説明できる。数の大小とは「...
\({a}_{n}\)と\(n\)という2軸上の点をなにかと比較したい時、...
&ref(epsdel2.png);
つまり\(\varepsilon\)と\(\delta\)は「一つ隣の点」と言える...
これと比較すれば証明が出来る
***証明
\({a}_{n}\)と\(n\)、\(\varepsilon\)と\(\delta\)は対応する...
\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n } \quad ,\quad n=\frac { 1 }...
\(n>\delta , \exists \delta >0\) より \(n>\delta>0\) ...
\(\forall \varepsilon >0 , \left| { a }_{ n } \right| <\v...
これを踏まえて\(\varepsilon\delta\)を「一つ隣の点(unity...
\(\varepsilon =\left\{ \varepsilon は\forall \varepsilon ...
\(\delta =\left\{ \delta は\exists \delta >0と\delta =\fr...
\(n=\left\{ n>\delta \right\} =\left\{ 2,3,4,5... \right...
\({ a }_{ n }=\left\{ \frac { 1 }{ n } \right\} =\left\{...
になります。補足:{}で括ることにより数列であることを表し...
&font(Red){''ここで\({ a }_{ n }\)に注目すると\(0\)の下界...
実務では\(\varepsilon=\frac { 1 }{ 1000000000000000000000...
無限に近い分母の数を入れても\(\left| { a }_{ n } \right|\...
**\(\forall n\in \mathbb{N}\)が無い場合を考える
ここまで一見、証明は出来たように見えますが実は細かい事を...
そこで、\(n\)が正の実数の値を取る場合(\(\forall n>0\))...
<原因>
例えば\(n\)が\(\pi\)や\(\sqrt { 2 } \)等のような実数だっ...
表現する事が出来ません。何故なら有理数では無理数である実...
\(\sqrt { 2 } = 1.4142135623730950488016887242097... \) ...
つまり二乗すると\(2\)になる有理数表現された数はない
//\(n\)が自然数でないという事は数列で考える事が出来ない。...
***2016_09_11
//よくドラマや映画で何故に大きな黒板に数式を書くのかなん...
\(D=\left\{ f\cdot \sigma |\sigma \in R \right\} \\ R=\le...
***2016_08_29
この6皿に対し料理の種類が2種であれば順列的に「二次の対称...
3種なら\(3×3×3×3×3×3={ 3 }^{ 6 }=729\)通りの対称性を持っ...
集合の観点で見ると、「 置換群R\(\subseteq\) 対称群S 」と...
***2016_08_20
このオイラーの定理の式はユークリッドの互除法や素因数分解...
\(p+r\equiv q+1\quad (mod\quad m)\quad という仮説を立てた...
rが0になることはp,qが互いに素となる?・・・(P37)
・・・考え中(否、余計なことは考えずに読み進めるべき)
***2016_06_09
シグマの等比を一つずらしたものと元のものを引き算して&font...
\(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r ...
\(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { ...
\(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a...
\(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ ...
これにより&font(Red){初項と末項のみが残る状態になり、両辺...
***2016_06_03
#jsmath
**無限級数の検証
あらゆる場面で登場する無限級数の基本的な仕組みを理解する...
資料:[[等比数列:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%...
**等比数列
&font(140%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \...
***等比数列の例
\(初項:{ a }_{ 1 }=1\quad ,\quad 公比:r=\frac { 1 }{ 4 } ...
0乗はどんな数字でも1になる。{}で囲んだカンマで区切られた...
***等差数列の和
#jsmath
&font(150%){\(\displaystyle{ S }_{ n }=\frac { n\left( { ...
尚、末項の \(l\) を \({ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d \)...
***等差数列の総和の計算例
\(1\)から\(10\)までの総和
初項:\(1\)、末項:\(10\)、公差:\(1\)、項数:\(10\)。 式は\(...
等差数列、\({ a }_{ n }=3+(n-1)\cdot 5\) の15項までの総和...
等差数列の総和の仕組みをシグマで考えると...
\(\displaystyle \quad 2\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ n } }...
&ref(sigma1.png);
途中の項数から始まる総和を求めたい場合、シグマ同士の引き...
TODO
***2016_05_22
***考察2
本で行っている計算を別のやり方、具体的には微積分を使って...
まず、放物線の形はどんなに拡大しようが縮小しようが形は変...
#youtube(ANe1G3wCVDc)
そして \(y={ x }^{ 2 }\) の第一象限での面積を考える
&ref(grp2.png);
\(y={ x }^{ 2 }\) のグラフ上の点は \(\left( x=\sqrt { y...
\(\displaystyle \int _{ 0 }^{ \sqrt { y } }{ { x }^{ 2 }...
となる。これは放物線のグラフの外側の面積なので内側の面積...
この矩形と積分の値を引き算すると内側が出てくる筈だ。これは
\(y\sqrt { y } -\frac { 1 }{ 3 } y{ \sqrt { y } }\quad =...
これに対する、乱数の試行範囲は\(y\)の値により\({ y }^{ 2 ...
&ref(grp3.png);
従って確率を求める式は、起こり得る全体の面積と希望するも...
\(\frac { \frac { 2 }{ 3 } y{ \sqrt { y } } }{ { y }^{ 2...
この式を使って確率の値を確かめると本と同じになることが確...
試しに\(y=16\)を求めてみる
\(\frac { 2 }{ 3 } \cdot \frac { \sqrt { 16 } }{ 16 } =0...
この\(y\)の値、つまり「実数の乱数の試行範囲」を限りなく大...
・・・なにか、ひっかかる・・・たぶん間違いがある。答えは...
***2015_11_04back
今度は数直線上の\(\frac { 1 }{ 3 } \)を基準にふたつの有理...
\(\displaystyle 切断\left( \quad A:=\left\{ a\in { { Q } ...
***2015_11_01back
\(\frac { 4 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 5 } +\...
分数に指数や累乗根が入きた場合、指数法則を使う事で考えや...
指数法則は掛算が足算に、割算が引算になったりする。ここに...
が、しかし、数的感覚(直観)と計算パターンから得られる答...
そして分数の逆数として組み合わせて考えると\(-1\)乗の考え...
\(\sqrt { 3 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { 1 }{ ...
\(\frac { 1 }{ 5 } \)を\(4\)個集めると\(\frac { 4 }{ 5 }\...
指数が絡んだ分数計算では等比が何時の間にか等差になってい...
続ける・・・
ここまで
\(\frac { 3 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } ...
であることを確認している。これはパターンだ。このまま、こ...
\(\frac { 3 }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ ...
\(\frac { 3 }{ \sqrt [ 4 ]{ 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ ...
\(\frac { 3 }{ \sqrt [ 5 ]{ 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ ...
このような計算が可能な事が計算機で確認できる。つまり
\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt { 3 } } \quad =\quad ...
\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } \quad =...
\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt [ 4 ]{ 3 } } \quad =...
\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt [ 5 ]{ 3 } } \quad =...
となる。そして...
\(\displaystyle \frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 }...
\(\displaystyle \frac { \sqrt [ 3 ]{ 3 } }{ \sqrt { 3 } ...
のような計算もできる。指数法則で考え直してみる
。これを応用して考えると...
\(\frac { 256 }{ \sqrt [ 8 ]{ 256 } } ={ \sqrt [ 8 ]{ 25...
のような計算も可能となる。これを何かに使えるかもしれない
***back2015_10_25
***極限
#jsmath
<アルキメデスの原則を論理記号を使って数式化したもの>
イプシロンデルタ論法を利用する
\(\forall \varepsilon ,a\in\mathbb{R}\quad \quad \exists ...
これを日本語に直すと「全ての正の実数\(\varepsilon,a\)に対...
#navi
#jsmath
***back1
unityで考えるとこうなるのかな?というコード(実際に計算で...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Cutter : MonoBehaviour
{
void Start ()
{
DedekindCut cut;
cut = new DedekindCut ();
cut.B = 2.5f;
print (string.Format ("DedekindCut( {0} , {1} )", c...
}
class DedekindCut
{
double a;
double b;
public double A {
get {
return a;
}
}
public double B {
set {
//一つ隣の点、計算機イプシロンが引算された値
//unityでの最小値 資料:http://d.hatena.ne.jp/nakamu...
a = value - 1.192093E-07;
b = value;
}
get {
return b;
}
}
}
}
}}
結果
DedekindCut( 2.4999998807907 , 2.5 )
#jsmath
<考え中>
根本的な考え違いをしていたらしい
「切断そのものを実数とみなす」
<メモ>
切断の境目が有理数で割り切れている時と無理数である時のケ...
割切れている時は、その値の表し方はAとBの2通りある。無理数...
数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデ...
&ref(liner1.png);
これから数直線上の1を基準に有理数の集合をふたつに切断する
境目が有理数の場合、その境目を切断したふたつのどちらかに...
+\(\mathbb{Q}=A\cup B\)
+\(A\cap B=0,A≠0,B≠0\)
+\(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\)
\(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは\...
\(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば...
上記の条件を踏まえて実際に1を基準に切断するとこうなる
&ref(liner2.png);
\(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|a<1 \right\} \quad ,\quad B:...
(補足:式の読み方→[[基礎/数学に関する暗黙と習慣]])
「1」は有理数で様々に表現できる。例えば\(\frac { 1 }{ 1 ...
次に集合\(A\)は認識出来うる、もっとも\(1\)に近い有理数と...
&font(140%){<実数の定義>};
-\(A\in \mathbb{Q}\quad ,\quad A≠\mathbb{Q} \quad ,\quad ...
-\(A\)には最大値が無い
-\((a\in A\quad \wedge \quad t\in \mathbb{Q} \quad \wedge...
&ref(number2.png);
&font(150%){''&font(Red){集合\(A\)を実数と呼ぶことが約束...
bは有理数なので以下のようにも表せる
\(\displaystyle b\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \times 3\q...
ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる...
\(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0...
*** tes
有理数の隙間(穴)に切断の境目がある。デデキントはこの隙...
次に数直線上の\(\sqrt { 2 } \)を基準に有理数の集合をふた...
<帰納を使った偶数の証明>
\(\begin{cases} { a }_{ 1 }=2 \\ { a }_{ n+1 }={ a }_{ n ...
この帰納を使って生成される数列が偶数であることを証明する
数列の漸化式は帰納的定義となる。帰納的に定義された対象(つ...
+\(p(1)\) が数列の一番端(1や0)が成り立つ事を示す&br;&br...
+任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を...
+1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)...
+従って、この数列が生成する値は偶数である事が結論づけられ...
ここから具体的に\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \inf...
この場合の極限の論証は以下になる
&font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exi...
テンプレートである基本の論証から\(\exists \delta \in { \m...
このように式に合わせてテンプレートを書き換えてεδ論法を利...
では論証の意味を検証していく
εδ論法はその内容を代数だけで考えるよりもグラフを見ながら...
&ref(epsdel1.png);
まず、論証式の括弧の一番内側から始める。内側に対して外側...
括弧の一番内側は\(\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\va...
次にひとつ外側の論証式、\(n>\delta \quad\)を見てみる。こ...
この\(\delta\)が、先ほどの説明にあった、「うまく定めたク...
A点を数列値。B点を極限まで近づけるための点(しかし、A点と...
このグラフ図の関係をそのまま利用するならば\(\varepsilon=2...
また、A点を\(\left( n,{ a }_{ n } \right)\)、B点を\(\le...
\(\displaystyle \lim _{ b-a\rightarrow 0 }{ \frac { f\lef...
従ってA点、B点は永久に重ならず、\({a}_{n}\)よりも大きい...
[[ネットの海で拾った画像。イメージとしてはこんな感じ(猫...
***実際に値を入れてその動きを確かめてみる
#jsmath
\(\varepsilon\) を論証を満たす範囲で小さくするとB点はA...
&font(Green){\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1000 } \)とする};
&font(Green){\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsil...
&font(Green){\(n>\delta\) と \(\forall n\in { \mathbb{...
&font(Green){ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1...
&font(Green){この時、A点は\(\left( 1001,\frac { 1 }{ 100...
もう一度、この計算を繰り返してみる
&font(Blue){\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1001000 } \)とす...
&font(Blue){\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilo...
&font(Blue){\(n>\delta\) と \(\forall n\in { \mathbb{N...
&font(Blue){ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1 ...
&font(Blue){この時、A点は\(\left( 1001001,\frac { 1 }{ 1...
もう一度、この計算を繰り返してみる
(以下略)
このようにεδ論法によって"作られた数式"を利用する事により\...
***おまけ(たぶんテンプレート論証に自然数の指定は必要ない...
#jsmath
εδ論法のテンプレートとなる基本フォーマットは以下の形を持...
&font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exi...
これは\(\varepsilon\)に正の数の整数を入れようとした時に気...
#hr
論証:&font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\qua...
例として\(\varepsilon =1000 \)とする
\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)より\(...
\(n>\delta\) と \(\forall n\in { \mathbb{N} }\) より...
<ToDO>
//ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1000 }\...
//この時、A点は\(\left( 1001,\frac { 1 }{ 1001 } \right...
この場合、εがカウンタになるので、&font(,#ffffcc){\(\foral...
#hr
<簡単な論理定項の紹介>
|否定詞|でない|\( \)|
|接続詞|または、ならば|\(s.t.\)(結論に関わる「ならば」)|
|量化詞|すべて、every,a|\(\forall\)(すべて) ,\( \exists...
これを、(傾き)微分係数\(f'\left( x \right) =\frac { y }...
\(\displaystyle \begin{cases} 0\quad <\quad \frac { \left...
となる。ここで、''\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは...
(この「適当」とはカタカナのテキトォーじゃなくて「適切と...
例えば放物線を描く関数 \(y=f(x)={x}^{2}\)の一点を\(x=p \...
\({ \left( a+\delta \right) }^{ 2 }=b+\varepsilon \quad...
ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\le...
また、 \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \...
これを展開すると
\(0<\left| x-2 \right| \quad \rightarrow \quad \begin{cas...
\(\left| x-2 \right| <\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \r...
\(\left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad \righta...
&font(Fuchsia){虚数と向き合う必要があるので、一端この問題...
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! TODO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
\({ \varepsilon }_{ n }<{ \varepsilon }_{ n-1 }\)とする...
<memo>
資料:[[高校数学/相加相乗平均の関係]]
\(\frac { a+b }{ 2 } \ge \sqrt { ab } \)
\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をし...
\(\displaystyle f'(x)\quad =\quad \frac { f(x) }{ x } \qu...
\(\displaystyle 0\quad <\quad \frac { \left| f(x)-b \righ...
終了行:
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**2016_11_16
#jsmath
memo
関数を傾きで割ると何になる?
y=mx+b → y/m=x+b/m
(もうちょっとまともな文章にする)
***結局、εとδは何を意味しているのか?
結局、εとδは何を意味しているのだろう? ここで関数の極限を...
関数の極限の収束は以下の論理式になる
\(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\...
&font(Red){\(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表...
では\(\delta\)は?
\(関数の極限の収束を考えた場合、\left| f\left( x \right) ...
\(この\varepsilon \delta でxとf\left( x \right) を包囲、...
\(ここで論理式に注目すると\deltaは「\exists \delta >0」と...
この場合\(\delta\)は「\(\varepsilon \delta \)の論理式の条...
\(\delta\)は条件さえ満たせば、どんな形でも良いものだとい...
ここで一つ疑問が出てくる。何故、逆関数であると言い切らな...
***εδ論法の根拠
TODO
この極限という機関の動力は無限に小さくなっていくεをガソリ...
自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して
\( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \...
が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなって...
+数列の初期値(この場合\(n=1\))が関数\(P(1)\)で成り立つ事...
+任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を...
//(\(p(k)\)は仮定。\(p(k+1)\)が証明)
+1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)...
***ニュートンラフソンの極限、εδの観察
**2016_12_11
***微分の極限の定義
\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left(...
\( \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\d...
**2016_11_9
\(f'\left( b \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f...
**2016_11_8
\(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad ,\quad f'\left( x \...
\(\displaystyle f'\left( a \right) =\lim _{ b\rightarrow ...
\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rig...
\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad \quad \lim _{ b\rig...
ここで、\(f\left( b \right) =0\)との連立方程式を\(b\)に対...
\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b-\frac { 0 }{ ...
\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ }\) の極限の関...
\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\l...
これをεδ論法で考えるとこうなる
TODO
***ニュートンラフソンと極限の考えを接続したい
\(\lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right)...
これをなんとか論理的な証明を表現したい。εδ論法の機能は以...
①無限を定義
②無限を使って収束を定義(収束はアルキメデスの原則に従う。...
//③指数のマイナスに対する扱い、虚数の扱いに問題(情報不足)
(虚数の情緒P424とP450~を接続)
\(\lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a+\frac { f\left( a \ri...
**2016_10_21
#jsmath
ここではεδ論法(イプシロンデルタ論法)の仕組み。何の為に...
\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1...
\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\qu...
まず、各命題の意味を機能と仕組みの観点から考えて説明する
|\(\forall \varepsilon >0\)|0という下界を持つ単調減少する...
|\(\exists \delta >0\)|0という下界を持つ単調増加する選ば...
|\(\forall n\in \mathbb{N}\)|これは\(\forall \varepsilon ...
|\(n>\delta\)&br;\(\Rightarrow | { a }_{ n } | <\varep...
\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1...
\(\alpha=0\)として考えた際、&font(Red){''\(n\)に対応する...
数列の単調減少とは、すなわち任意の\(n=1,2,3...\)において\...
数列の下界が\(0\)とは、すなわち任意の\(n=1,2,3...\)におい...
<収束の証明手順まとめ>
+&font(Red){数列が単調増加(単調減少)する事を証明する};
+&font(Red){数列が上界(下界)を持つ事を証明する};
単調減少や下界は数の大小関係で説明できる。数の大小とは「...
\({a}_{n}\)と\(n\)という2軸上の点をなにかと比較したい時、...
&ref(epsdel2.png);
つまり\(\varepsilon\)と\(\delta\)は「一つ隣の点」と言える...
これと比較すれば証明が出来る
***証明
\({a}_{n}\)と\(n\)、\(\varepsilon\)と\(\delta\)は対応する...
\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n } \quad ,\quad n=\frac { 1 }...
\(n>\delta , \exists \delta >0\) より \(n>\delta>0\) ...
\(\forall \varepsilon >0 , \left| { a }_{ n } \right| <\v...
これを踏まえて\(\varepsilon\delta\)を「一つ隣の点(unity...
\(\varepsilon =\left\{ \varepsilon は\forall \varepsilon ...
\(\delta =\left\{ \delta は\exists \delta >0と\delta =\fr...
\(n=\left\{ n>\delta \right\} =\left\{ 2,3,4,5... \right...
\({ a }_{ n }=\left\{ \frac { 1 }{ n } \right\} =\left\{...
になります。補足:{}で括ることにより数列であることを表し...
&font(Red){''ここで\({ a }_{ n }\)に注目すると\(0\)の下界...
実務では\(\varepsilon=\frac { 1 }{ 1000000000000000000000...
無限に近い分母の数を入れても\(\left| { a }_{ n } \right|\...
**\(\forall n\in \mathbb{N}\)が無い場合を考える
ここまで一見、証明は出来たように見えますが実は細かい事を...
そこで、\(n\)が正の実数の値を取る場合(\(\forall n>0\))...
<原因>
例えば\(n\)が\(\pi\)や\(\sqrt { 2 } \)等のような実数だっ...
表現する事が出来ません。何故なら有理数では無理数である実...
\(\sqrt { 2 } = 1.4142135623730950488016887242097... \) ...
つまり二乗すると\(2\)になる有理数表現された数はない
//\(n\)が自然数でないという事は数列で考える事が出来ない。...
***2016_09_11
//よくドラマや映画で何故に大きな黒板に数式を書くのかなん...
\(D=\left\{ f\cdot \sigma |\sigma \in R \right\} \\ R=\le...
***2016_08_29
この6皿に対し料理の種類が2種であれば順列的に「二次の対称...
3種なら\(3×3×3×3×3×3={ 3 }^{ 6 }=729\)通りの対称性を持っ...
集合の観点で見ると、「 置換群R\(\subseteq\) 対称群S 」と...
***2016_08_20
このオイラーの定理の式はユークリッドの互除法や素因数分解...
\(p+r\equiv q+1\quad (mod\quad m)\quad という仮説を立てた...
rが0になることはp,qが互いに素となる?・・・(P37)
・・・考え中(否、余計なことは考えずに読み進めるべき)
***2016_06_09
シグマの等比を一つずらしたものと元のものを引き算して&font...
\(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r ...
\(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { ...
\(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a...
\(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ ...
これにより&font(Red){初項と末項のみが残る状態になり、両辺...
***2016_06_03
#jsmath
**無限級数の検証
あらゆる場面で登場する無限級数の基本的な仕組みを理解する...
資料:[[等比数列:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%...
**等比数列
&font(140%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \...
***等比数列の例
\(初項:{ a }_{ 1 }=1\quad ,\quad 公比:r=\frac { 1 }{ 4 } ...
0乗はどんな数字でも1になる。{}で囲んだカンマで区切られた...
***等差数列の和
#jsmath
&font(150%){\(\displaystyle{ S }_{ n }=\frac { n\left( { ...
尚、末項の \(l\) を \({ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d \)...
***等差数列の総和の計算例
\(1\)から\(10\)までの総和
初項:\(1\)、末項:\(10\)、公差:\(1\)、項数:\(10\)。 式は\(...
等差数列、\({ a }_{ n }=3+(n-1)\cdot 5\) の15項までの総和...
等差数列の総和の仕組みをシグマで考えると...
\(\displaystyle \quad 2\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ n } }...
&ref(sigma1.png);
途中の項数から始まる総和を求めたい場合、シグマ同士の引き...
TODO
***2016_05_22
***考察2
本で行っている計算を別のやり方、具体的には微積分を使って...
まず、放物線の形はどんなに拡大しようが縮小しようが形は変...
#youtube(ANe1G3wCVDc)
そして \(y={ x }^{ 2 }\) の第一象限での面積を考える
&ref(grp2.png);
\(y={ x }^{ 2 }\) のグラフ上の点は \(\left( x=\sqrt { y...
\(\displaystyle \int _{ 0 }^{ \sqrt { y } }{ { x }^{ 2 }...
となる。これは放物線のグラフの外側の面積なので内側の面積...
この矩形と積分の値を引き算すると内側が出てくる筈だ。これは
\(y\sqrt { y } -\frac { 1 }{ 3 } y{ \sqrt { y } }\quad =...
これに対する、乱数の試行範囲は\(y\)の値により\({ y }^{ 2 ...
&ref(grp3.png);
従って確率を求める式は、起こり得る全体の面積と希望するも...
\(\frac { \frac { 2 }{ 3 } y{ \sqrt { y } } }{ { y }^{ 2...
この式を使って確率の値を確かめると本と同じになることが確...
試しに\(y=16\)を求めてみる
\(\frac { 2 }{ 3 } \cdot \frac { \sqrt { 16 } }{ 16 } =0...
この\(y\)の値、つまり「実数の乱数の試行範囲」を限りなく大...
・・・なにか、ひっかかる・・・たぶん間違いがある。答えは...
***2015_11_04back
今度は数直線上の\(\frac { 1 }{ 3 } \)を基準にふたつの有理...
\(\displaystyle 切断\left( \quad A:=\left\{ a\in { { Q } ...
***2015_11_01back
\(\frac { 4 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 5 } +\...
分数に指数や累乗根が入きた場合、指数法則を使う事で考えや...
指数法則は掛算が足算に、割算が引算になったりする。ここに...
が、しかし、数的感覚(直観)と計算パターンから得られる答...
そして分数の逆数として組み合わせて考えると\(-1\)乗の考え...
\(\sqrt { 3 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { 1 }{ ...
\(\frac { 1 }{ 5 } \)を\(4\)個集めると\(\frac { 4 }{ 5 }\...
指数が絡んだ分数計算では等比が何時の間にか等差になってい...
続ける・・・
ここまで
\(\frac { 3 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } ...
であることを確認している。これはパターンだ。このまま、こ...
\(\frac { 3 }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ ...
\(\frac { 3 }{ \sqrt [ 4 ]{ 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ ...
\(\frac { 3 }{ \sqrt [ 5 ]{ 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ ...
このような計算が可能な事が計算機で確認できる。つまり
\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt { 3 } } \quad =\quad ...
\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 } } \quad =...
\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt [ 4 ]{ 3 } } \quad =...
\(\displaystyle \frac { 3 }{ \sqrt [ 5 ]{ 3 } } \quad =...
となる。そして...
\(\displaystyle \frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt [ 3 ]{ 3 }...
\(\displaystyle \frac { \sqrt [ 3 ]{ 3 } }{ \sqrt { 3 } ...
のような計算もできる。指数法則で考え直してみる
。これを応用して考えると...
\(\frac { 256 }{ \sqrt [ 8 ]{ 256 } } ={ \sqrt [ 8 ]{ 25...
のような計算も可能となる。これを何かに使えるかもしれない
***back2015_10_25
***極限
#jsmath
<アルキメデスの原則を論理記号を使って数式化したもの>
イプシロンデルタ論法を利用する
\(\forall \varepsilon ,a\in\mathbb{R}\quad \quad \exists ...
これを日本語に直すと「全ての正の実数\(\varepsilon,a\)に対...
#navi
#jsmath
***back1
unityで考えるとこうなるのかな?というコード(実際に計算で...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Cutter : MonoBehaviour
{
void Start ()
{
DedekindCut cut;
cut = new DedekindCut ();
cut.B = 2.5f;
print (string.Format ("DedekindCut( {0} , {1} )", c...
}
class DedekindCut
{
double a;
double b;
public double A {
get {
return a;
}
}
public double B {
set {
//一つ隣の点、計算機イプシロンが引算された値
//unityでの最小値 資料:http://d.hatena.ne.jp/nakamu...
a = value - 1.192093E-07;
b = value;
}
get {
return b;
}
}
}
}
}}
結果
DedekindCut( 2.4999998807907 , 2.5 )
#jsmath
<考え中>
根本的な考え違いをしていたらしい
「切断そのものを実数とみなす」
<メモ>
切断の境目が有理数で割り切れている時と無理数である時のケ...
割切れている時は、その値の表し方はAとBの2通りある。無理数...
数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデ...
&ref(liner1.png);
これから数直線上の1を基準に有理数の集合をふたつに切断する
境目が有理数の場合、その境目を切断したふたつのどちらかに...
+\(\mathbb{Q}=A\cup B\)
+\(A\cap B=0,A≠0,B≠0\)
+\(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\)
\(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは\...
\(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば...
上記の条件を踏まえて実際に1を基準に切断するとこうなる
&ref(liner2.png);
\(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|a<1 \right\} \quad ,\quad B:...
(補足:式の読み方→[[基礎/数学に関する暗黙と習慣]])
「1」は有理数で様々に表現できる。例えば\(\frac { 1 }{ 1 ...
次に集合\(A\)は認識出来うる、もっとも\(1\)に近い有理数と...
&font(140%){<実数の定義>};
-\(A\in \mathbb{Q}\quad ,\quad A≠\mathbb{Q} \quad ,\quad ...
-\(A\)には最大値が無い
-\((a\in A\quad \wedge \quad t\in \mathbb{Q} \quad \wedge...
&ref(number2.png);
&font(150%){''&font(Red){集合\(A\)を実数と呼ぶことが約束...
bは有理数なので以下のようにも表せる
\(\displaystyle b\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \times 3\q...
ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる...
\(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0...
*** tes
有理数の隙間(穴)に切断の境目がある。デデキントはこの隙...
次に数直線上の\(\sqrt { 2 } \)を基準に有理数の集合をふた...
<帰納を使った偶数の証明>
\(\begin{cases} { a }_{ 1 }=2 \\ { a }_{ n+1 }={ a }_{ n ...
この帰納を使って生成される数列が偶数であることを証明する
数列の漸化式は帰納的定義となる。帰納的に定義された対象(つ...
+\(p(1)\) が数列の一番端(1や0)が成り立つ事を示す&br;&br...
+任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を...
+1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)...
+従って、この数列が生成する値は偶数である事が結論づけられ...
ここから具体的に\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \inf...
この場合の極限の論証は以下になる
&font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exi...
テンプレートである基本の論証から\(\exists \delta \in { \m...
このように式に合わせてテンプレートを書き換えてεδ論法を利...
では論証の意味を検証していく
εδ論法はその内容を代数だけで考えるよりもグラフを見ながら...
&ref(epsdel1.png);
まず、論証式の括弧の一番内側から始める。内側に対して外側...
括弧の一番内側は\(\left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\va...
次にひとつ外側の論証式、\(n>\delta \quad\)を見てみる。こ...
この\(\delta\)が、先ほどの説明にあった、「うまく定めたク...
A点を数列値。B点を極限まで近づけるための点(しかし、A点と...
このグラフ図の関係をそのまま利用するならば\(\varepsilon=2...
また、A点を\(\left( n,{ a }_{ n } \right)\)、B点を\(\le...
\(\displaystyle \lim _{ b-a\rightarrow 0 }{ \frac { f\lef...
従ってA点、B点は永久に重ならず、\({a}_{n}\)よりも大きい...
[[ネットの海で拾った画像。イメージとしてはこんな感じ(猫...
***実際に値を入れてその動きを確かめてみる
#jsmath
\(\varepsilon\) を論証を満たす範囲で小さくするとB点はA...
&font(Green){\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1000 } \)とする};
&font(Green){\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsil...
&font(Green){\(n>\delta\) と \(\forall n\in { \mathbb{...
&font(Green){ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1...
&font(Green){この時、A点は\(\left( 1001,\frac { 1 }{ 100...
もう一度、この計算を繰り返してみる
&font(Blue){\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1001000 } \)とす...
&font(Blue){\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilo...
&font(Blue){\(n>\delta\) と \(\forall n\in { \mathbb{N...
&font(Blue){ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1 ...
&font(Blue){この時、A点は\(\left( 1001001,\frac { 1 }{ 1...
もう一度、この計算を繰り返してみる
(以下略)
このようにεδ論法によって"作られた数式"を利用する事により\...
***おまけ(たぶんテンプレート論証に自然数の指定は必要ない...
#jsmath
εδ論法のテンプレートとなる基本フォーマットは以下の形を持...
&font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exi...
これは\(\varepsilon\)に正の数の整数を入れようとした時に気...
#hr
論証:&font(,#ffffcc){\(\forall \varepsilon >0\quad (\qua...
例として\(\varepsilon =1000 \)とする
\(\delta\)は\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon }\)より\(...
\(n>\delta\) と \(\forall n\in { \mathbb{N} }\) より...
<ToDO>
//ここまでをまとめると\(\varepsilon =\frac { 1 }{ 1000 }\...
//この時、A点は\(\left( 1001,\frac { 1 }{ 1001 } \right...
この場合、εがカウンタになるので、&font(,#ffffcc){\(\foral...
#hr
<簡単な論理定項の紹介>
|否定詞|でない|\( \)|
|接続詞|または、ならば|\(s.t.\)(結論に関わる「ならば」)|
|量化詞|すべて、every,a|\(\forall\)(すべて) ,\( \exists...
これを、(傾き)微分係数\(f'\left( x \right) =\frac { y }...
\(\displaystyle \begin{cases} 0\quad <\quad \frac { \left...
となる。ここで、''\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは...
(この「適当」とはカタカナのテキトォーじゃなくて「適切と...
例えば放物線を描く関数 \(y=f(x)={x}^{2}\)の一点を\(x=p \...
\({ \left( a+\delta \right) }^{ 2 }=b+\varepsilon \quad...
ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\le...
また、 \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \...
これを展開すると
\(0<\left| x-2 \right| \quad \rightarrow \quad \begin{cas...
\(\left| x-2 \right| <\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \r...
\(\left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad \righta...
&font(Fuchsia){虚数と向き合う必要があるので、一端この問題...
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! TODO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
\({ \varepsilon }_{ n }<{ \varepsilon }_{ n-1 }\)とする...
<memo>
資料:[[高校数学/相加相乗平均の関係]]
\(\frac { a+b }{ 2 } \ge \sqrt { ab } \)
\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をし...
\(\displaystyle f'(x)\quad =\quad \frac { f(x) }{ x } \qu...
\(\displaystyle 0\quad <\quad \frac { \left| f(x)-b \righ...
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