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Unity学習帳2冊目
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TITLE:memo1
#jsmath
**P63~
**P58~61の理解(対称群の理解など)
資料:
-[[対称群:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B...
-[[頂点推移グラフ:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%82...
//ある学門に「幾何学を学ばざる者、この門をくぐるべからず...
順列の中から幾何的な図となる関係を見つけることができる。...
例:三次の対称群\({S}_{3}\)を考えると
\(\left| { S }_{ 3 } \right| \quad =\quad 3!\quad =\quad ...
順列に対し置換群の意味を振り分けると以下になる(\(\iota\)...
\(123\quad =\quad \iota \\ 132\quad =\quad \tau \cdot { \...
\({ S }_{ 3 }=\left\{ \quad \iota \quad ,\quad \tau \cdot...
これを頂点推移グラフにすると以下のような幾何図になり推移...
(数学を知らべていて考え方が図になって行くのは不思議な感...
&ref(rot2.png);
***対称群の中の置換群
テーブルの上の6皿の回転を数学的に表現した置換群R
\(R=\left\{ { \sigma }^{ k }|0\le k\le 5 \right\} =\left...
**P51~P57の理解
資料:[[イテレータ:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A...
プログラムコードで表現した方が話が早い
「プログラムの言葉」を「数学の言葉」で表しているだけ
//群は何層にも重なるあみだくじみたいなものでプログラマー...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class circle : MonoBehaviour
{
int[] X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, }; //番号の集合X こ...
char[] Y = { 'A', 'B', 'C', }; //料理の集合Y A=...
void Start()
{
//なっとくする群環体P54のプログラムコードによる再...
print( f(sigma(1-1)) );
print( f(sigma(2-1)) );
print( sigma(sigma(sigma(1-1))) ); //σ^3
}
//σ:X→X
//番号の回転関数σ(X上の置換)P53参照
private int sigma(int x)
{
int[] shift = { 5, 0, 1, 2, 3, 4, };
return shift[x];
}
//f:X→Y
//番号の集合Xから料理の集合Yへの関数 (意味や型の変...
private char f(int x)
{
int[] y = { 0, 1, 1, 0, 0, 2, }; //Yの集合から...
return Y[y[x]];
}
}
}}
<P56の二通りの料理の配置に関して>
\(f:X\rightarrow Y\) と \(g:X\rightarrow Y\) があるとす...
\(f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & A & B & ...
このfとgとの二項との間にテーブルの回転をモデル化した置換...
\(f=g\)と書いたらfとgは同値。\(f\equiv g\quad (mod\quad m...
色んなグループに世の中にある、あらゆるものは分けられる。...
**漸化式の性質
(自分が勝手に考えた間違っている可能性が高い記事です)
\(\sqrt { C } \)の漸化式は\({ x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 2 ...
この式を使い \(\sqrt { 2 } \) として \({ X }_{ n }=1\) で...
\({ x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( 1+\frac { 2 }{ 1 ...
この数列\(\left\{ \quad{ x }_{ n+1 }\quad ,\quad { x }_{...
この&font(Red){漸化式の関数を経由した数列の関係};を観察す...
\({ x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+1 }\quad \quad \quad 反射性NG\\...
従って同値性は持たず推移性を持つ事になる
値が回転ループすることもないし、ある具体的な値に固定化(...
この推移性はεδ論法によって確保されていると考えられる。\(\...
また、恒等や反転にあたる\(\iota \)(イオタ)や\(\tau \)(...
このような漸化式は対称性がないのでasymptote、アシメトリー...
グラフで見た時もεとδが0より常に大きいと考えれば輪になった...
(引き続き要調査)
メモ:もしパラメーターに虚数があれば輪や螺旋、渦巻になる...
**数え上げ
資料:書籍「なっとくする群環体」P59
2種の数え上げ
&ref(hex1.png);
**位相幾何学(topology)
資料:
-[[位相幾何学(トポロジー):https://ja.wikipedia.org/wiki...
-資料:書籍「なっとくする群環体」P48~P49
「位相幾何学として合同」な6角形の例(通常の合同とは変換の...
&ref(rigid1.png);
平面上の点の個数をp、それらを結ぶ線をq、線によって囲まれ...
(ア)p=6,q=6,r=1
(イ)p=6,q=5,r=0
(ウ)p=6,q=9,r=4
これらはオイラーの定理 \( p-q+r=1\) を満たしている。(...
これらは変換群と呼ばれるものになるらしい
**同値関係
-資料:書籍「なっとくする群環体」P38
以下の3つの条件を満たせば&font(Red){同値関係として認めら...
\(反射性:\quad x\sim x\\ 対称性:\quad x\sim y\quad \right...
読み:\(\sim\) はチルダと読める。\(\wedge\) は「かつ」。\...
チルダは抽象化された二項の同値関係を表現するときに使われ...
具体例を列挙してみる
***「\(\sim\) 」を「=」と考えた場合
\( x=x\quad 反射性OK\\ x=y\quad \rightarrow \quad y=x\qua...
つまり2項を「=」で挟んだ式、「○=△」等は○と△は同値関係であ...
***「\( \sim\) 」を「\(\equiv \)」と考えた場合
+\(x\equiv x\quad \left( mod\quad m \right) \)
+\(x\equiv y\quad \rightarrow \quad y\equiv x\quad \left(...
+\(x\equiv y\quad \wedge \quad y\equiv z\quad \rightarrow...
検証(以下の式の変形には資料:書籍「なっとくする群環体」...
+\(x-x=0\cdot mと変形できるので反射性OK\)
+\(x-y=q\cdot m\quad \rightarrow \quad y-x=-q\cdot mと変...
+\(x-z=(x-y)+(y-z)=q\cdot m+r\cdot m=(q+r)\cdot mなので推...
つまり2項を「\(\equiv \)」で挟んだ式、「○\(\equiv \)△」等...
***「\(\sim\) 」を「<」と考えた場合
\(x<x\quad \quad \quad 反射性NG\\ x<y\quad \rightarrow \q...
つまり2項を「<」で挟んだ式、「○<△」等は○と△は同値関係で...
***「\(\sim\) 」を「\(\le\)」と考えた場合
\(x\le x\quad \quad \quad 反射性??\\ x\le y\quad \rightar...
つまり2項を「\(\le\)」で挟んだ式、「○\(\le\)△」等は○と△は...
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TITLE:memo1
#jsmath
**P63~
**P58~61の理解(対称群の理解など)
資料:
-[[対称群:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B...
-[[頂点推移グラフ:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%82...
//ある学門に「幾何学を学ばざる者、この門をくぐるべからず...
順列の中から幾何的な図となる関係を見つけることができる。...
例:三次の対称群\({S}_{3}\)を考えると
\(\left| { S }_{ 3 } \right| \quad =\quad 3!\quad =\quad ...
順列に対し置換群の意味を振り分けると以下になる(\(\iota\)...
\(123\quad =\quad \iota \\ 132\quad =\quad \tau \cdot { \...
\({ S }_{ 3 }=\left\{ \quad \iota \quad ,\quad \tau \cdot...
これを頂点推移グラフにすると以下のような幾何図になり推移...
(数学を知らべていて考え方が図になって行くのは不思議な感...
&ref(rot2.png);
***対称群の中の置換群
テーブルの上の6皿の回転を数学的に表現した置換群R
\(R=\left\{ { \sigma }^{ k }|0\le k\le 5 \right\} =\left...
**P51~P57の理解
資料:[[イテレータ:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A...
プログラムコードで表現した方が話が早い
「プログラムの言葉」を「数学の言葉」で表しているだけ
//群は何層にも重なるあみだくじみたいなものでプログラマー...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class circle : MonoBehaviour
{
int[] X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, }; //番号の集合X こ...
char[] Y = { 'A', 'B', 'C', }; //料理の集合Y A=...
void Start()
{
//なっとくする群環体P54のプログラムコードによる再...
print( f(sigma(1-1)) );
print( f(sigma(2-1)) );
print( sigma(sigma(sigma(1-1))) ); //σ^3
}
//σ:X→X
//番号の回転関数σ(X上の置換)P53参照
private int sigma(int x)
{
int[] shift = { 5, 0, 1, 2, 3, 4, };
return shift[x];
}
//f:X→Y
//番号の集合Xから料理の集合Yへの関数 (意味や型の変...
private char f(int x)
{
int[] y = { 0, 1, 1, 0, 0, 2, }; //Yの集合から...
return Y[y[x]];
}
}
}}
<P56の二通りの料理の配置に関して>
\(f:X\rightarrow Y\) と \(g:X\rightarrow Y\) があるとす...
\(f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & A & B & ...
このfとgとの二項との間にテーブルの回転をモデル化した置換...
\(f=g\)と書いたらfとgは同値。\(f\equiv g\quad (mod\quad m...
色んなグループに世の中にある、あらゆるものは分けられる。...
**漸化式の性質
(自分が勝手に考えた間違っている可能性が高い記事です)
\(\sqrt { C } \)の漸化式は\({ x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 2 ...
この式を使い \(\sqrt { 2 } \) として \({ X }_{ n }=1\) で...
\({ x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( 1+\frac { 2 }{ 1 ...
この数列\(\left\{ \quad{ x }_{ n+1 }\quad ,\quad { x }_{...
この&font(Red){漸化式の関数を経由した数列の関係};を観察す...
\({ x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+1 }\quad \quad \quad 反射性NG\\...
従って同値性は持たず推移性を持つ事になる
値が回転ループすることもないし、ある具体的な値に固定化(...
この推移性はεδ論法によって確保されていると考えられる。\(\...
また、恒等や反転にあたる\(\iota \)(イオタ)や\(\tau \)(...
このような漸化式は対称性がないのでasymptote、アシメトリー...
グラフで見た時もεとδが0より常に大きいと考えれば輪になった...
(引き続き要調査)
メモ:もしパラメーターに虚数があれば輪や螺旋、渦巻になる...
**数え上げ
資料:書籍「なっとくする群環体」P59
2種の数え上げ
&ref(hex1.png);
**位相幾何学(topology)
資料:
-[[位相幾何学(トポロジー):https://ja.wikipedia.org/wiki...
-資料:書籍「なっとくする群環体」P48~P49
「位相幾何学として合同」な6角形の例(通常の合同とは変換の...
&ref(rigid1.png);
平面上の点の個数をp、それらを結ぶ線をq、線によって囲まれ...
(ア)p=6,q=6,r=1
(イ)p=6,q=5,r=0
(ウ)p=6,q=9,r=4
これらはオイラーの定理 \( p-q+r=1\) を満たしている。(...
これらは変換群と呼ばれるものになるらしい
**同値関係
-資料:書籍「なっとくする群環体」P38
以下の3つの条件を満たせば&font(Red){同値関係として認めら...
\(反射性:\quad x\sim x\\ 対称性:\quad x\sim y\quad \right...
読み:\(\sim\) はチルダと読める。\(\wedge\) は「かつ」。\...
チルダは抽象化された二項の同値関係を表現するときに使われ...
具体例を列挙してみる
***「\(\sim\) 」を「=」と考えた場合
\( x=x\quad 反射性OK\\ x=y\quad \rightarrow \quad y=x\qua...
つまり2項を「=」で挟んだ式、「○=△」等は○と△は同値関係であ...
***「\( \sim\) 」を「\(\equiv \)」と考えた場合
+\(x\equiv x\quad \left( mod\quad m \right) \)
+\(x\equiv y\quad \rightarrow \quad y\equiv x\quad \left(...
+\(x\equiv y\quad \wedge \quad y\equiv z\quad \rightarrow...
検証(以下の式の変形には資料:書籍「なっとくする群環体」...
+\(x-x=0\cdot mと変形できるので反射性OK\)
+\(x-y=q\cdot m\quad \rightarrow \quad y-x=-q\cdot mと変...
+\(x-z=(x-y)+(y-z)=q\cdot m+r\cdot m=(q+r)\cdot mなので推...
つまり2項を「\(\equiv \)」で挟んだ式、「○\(\equiv \)△」等...
***「\(\sim\) 」を「<」と考えた場合
\(x<x\quad \quad \quad 反射性NG\\ x<y\quad \rightarrow \q...
つまり2項を「<」で挟んだ式、「○<△」等は○と△は同値関係で...
***「\(\sim\) 」を「\(\le\)」と考えた場合
\(x\le x\quad \quad \quad 反射性??\\ x\le y\quad \rightar...
つまり2項を「\(\le\)」で挟んだ式、「○\(\le\)△」等は○と△は...
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