合同式
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
合同式 をテンプレートにして作成
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開始行:
TITLE:合同式
#jsmath
**整数
-2以上の自然数\(\mathbb{N}\)はすべて素数(prime)と、その...
-最大公約数が1の場合、「互いに素」の関係となる&br;例. 5...
最大公約数 gcd 、最小公倍数 lcm は素因数分解をすることで...
例: 各素数の指数部の小さい方を掛け合わせると最大公約数に...
\(84\quad =\quad { 2 }^{ 2 }\times 3^{ 1 }\times 5^{ 0 }\...
\(gcd\left( 84,50 \right) \quad =\quad { 2 }^{ 1 }\times ...
ユークリッドの互除法は商(quotient)と余り(remainder)を交互...
(TODO)
**合同式
合同式は数を性質で分け集合に分類する事に利用できる。また...
たとえば以下のような問題があったとする
<問題>
1000000000000002は9で割り切れるか?3では?
小さな数から合同式で考えてみる
\(365\equiv 1\quad \left( mod\quad 7 \right) \)
これは\(365-1=364\)、\(364\)は\(7\)で割り切れる。というこ...
\(10\equiv 1\quad \left( mod\quad 9 \right) \)
これは\(10-1=9\)、\(9\)は\(9\)で割り切れる。ということを...
\({ 10 }^{ 2 }\equiv { 1 }^{ 2 }\quad \left( mod\quad 3,9...
これは\({10}^{2}-1=99\)、\(99\)は\(3\)や\(9\)で割り切れる...
合同式を自分が表現したい集合を表現する為に利用する事が大事
<問題>
1000000000000002は9で割り切れるか?3では?
これを合同式で考えると
\({ 10 }^{ 15 }+2\equiv { 1 }^{ 15 }+2\quad \left( mod\qu...
のように表せる。つまり元の数から\(3\)引き算しないと\(9\)...
**同値類
<問題>
\(\mathbb{Z}/\left( 5 \right) \)の同値類 \(C\left( x \rig...
整数の集合\(\mathbb{Z}\)に対して5で割り切れる0~4の余りを...
\(\mathbb{Z}/\left( 5 \right) \quad =\quad \left\{ C\left...
整数全体を「性質」により5つの集合に分け同値類としている...
*** \(\mathbb{Z}/\left( 5 \right) \)での積
| |C(0)|C(1)|C(2)|C(4)|C(4)|
|C(0)|C(0)|C(0)|C(0)|C(0)|C(0)|
|C(1)|C(0)|C(1)|C(2)|C(3)|C(4)|
|C(2)|C(0)|C(2)|C(4)|C(1)|C(3)|
|C(3)|C(0)|C(3)|C(1)|C(4)|C(2)|
|C(4)|C(0)|C(4)|C(3)|C(2)|C(1)|
<例>
行C(2)、列C(3)の積を計算してみる
C(2)の集合から合同式を作る
\(2\equiv 7\quad (mod5)\)
C(3)の集合から合同式を作る
\(3\equiv 8\quad (mod5)\)
\(C(2)\times C(3)\quad =\quad 2\times 3\equiv 7\times 8\q...
\(\left\{ 6,56 \right\} \in C(1)\) なので積の計算の結果...
これにより整数という無限の集合を5ブロックに完璧に分ける事...
**関数とは何か?
関数には幾つか種類がある
+物理的な働きを表す関数
+数式で表現される関数
+人工的に表現された関数
<具体例>
+モノが時間に従って落下する距離を表現した関数。\(y=4.9{t}...
+抽象的な計算に利用される関数。\(y=3{x}^{2}+2x+5\)等がある
+あみだくじ、バブルソート、ハノイの塔の一手順、確率の置換...
<補足>
何故、あみだくじは関数か?
関数は1対1に漏れなく対応し重複がない性質を持っていれば、...
以下のようなあみだくじがあるとする
&ref(amida.png);
あみだくじの各経路は漏れなく1対1に物事を対応させ、交点に...
つまり関数で表すと
f(A)=3'
f(B)=2
f(C)=1
f(D)=3
と表せる。従ってあみだくじは関数といえる。このような考え...
あみだくじの上側の集合をX={A,B,C,D}、下側の集合をY={1,2,3...
f:X→Y
このfの機能、x∈Xに対応するy∈Yは「あみだくじの図」で人工的...
ある一定のルールを守って、このような集合とfとの関係を作る...
&ref(amida2.png);
f×f(A)=3
f×f(B)=2
f×f(C)=3'
f×f(D)=1
終了行:
TITLE:合同式
#jsmath
**整数
-2以上の自然数\(\mathbb{N}\)はすべて素数(prime)と、その...
-最大公約数が1の場合、「互いに素」の関係となる&br;例. 5...
最大公約数 gcd 、最小公倍数 lcm は素因数分解をすることで...
例: 各素数の指数部の小さい方を掛け合わせると最大公約数に...
\(84\quad =\quad { 2 }^{ 2 }\times 3^{ 1 }\times 5^{ 0 }\...
\(gcd\left( 84,50 \right) \quad =\quad { 2 }^{ 1 }\times ...
ユークリッドの互除法は商(quotient)と余り(remainder)を交互...
(TODO)
**合同式
合同式は数を性質で分け集合に分類する事に利用できる。また...
たとえば以下のような問題があったとする
<問題>
1000000000000002は9で割り切れるか?3では?
小さな数から合同式で考えてみる
\(365\equiv 1\quad \left( mod\quad 7 \right) \)
これは\(365-1=364\)、\(364\)は\(7\)で割り切れる。というこ...
\(10\equiv 1\quad \left( mod\quad 9 \right) \)
これは\(10-1=9\)、\(9\)は\(9\)で割り切れる。ということを...
\({ 10 }^{ 2 }\equiv { 1 }^{ 2 }\quad \left( mod\quad 3,9...
これは\({10}^{2}-1=99\)、\(99\)は\(3\)や\(9\)で割り切れる...
合同式を自分が表現したい集合を表現する為に利用する事が大事
<問題>
1000000000000002は9で割り切れるか?3では?
これを合同式で考えると
\({ 10 }^{ 15 }+2\equiv { 1 }^{ 15 }+2\quad \left( mod\qu...
のように表せる。つまり元の数から\(3\)引き算しないと\(9\)...
**同値類
<問題>
\(\mathbb{Z}/\left( 5 \right) \)の同値類 \(C\left( x \rig...
整数の集合\(\mathbb{Z}\)に対して5で割り切れる0~4の余りを...
\(\mathbb{Z}/\left( 5 \right) \quad =\quad \left\{ C\left...
整数全体を「性質」により5つの集合に分け同値類としている...
*** \(\mathbb{Z}/\left( 5 \right) \)での積
| |C(0)|C(1)|C(2)|C(4)|C(4)|
|C(0)|C(0)|C(0)|C(0)|C(0)|C(0)|
|C(1)|C(0)|C(1)|C(2)|C(3)|C(4)|
|C(2)|C(0)|C(2)|C(4)|C(1)|C(3)|
|C(3)|C(0)|C(3)|C(1)|C(4)|C(2)|
|C(4)|C(0)|C(4)|C(3)|C(2)|C(1)|
<例>
行C(2)、列C(3)の積を計算してみる
C(2)の集合から合同式を作る
\(2\equiv 7\quad (mod5)\)
C(3)の集合から合同式を作る
\(3\equiv 8\quad (mod5)\)
\(C(2)\times C(3)\quad =\quad 2\times 3\equiv 7\times 8\q...
\(\left\{ 6,56 \right\} \in C(1)\) なので積の計算の結果...
これにより整数という無限の集合を5ブロックに完璧に分ける事...
**関数とは何か?
関数には幾つか種類がある
+物理的な働きを表す関数
+数式で表現される関数
+人工的に表現された関数
<具体例>
+モノが時間に従って落下する距離を表現した関数。\(y=4.9{t}...
+抽象的な計算に利用される関数。\(y=3{x}^{2}+2x+5\)等がある
+あみだくじ、バブルソート、ハノイの塔の一手順、確率の置換...
<補足>
何故、あみだくじは関数か?
関数は1対1に漏れなく対応し重複がない性質を持っていれば、...
以下のようなあみだくじがあるとする
&ref(amida.png);
あみだくじの各経路は漏れなく1対1に物事を対応させ、交点に...
つまり関数で表すと
f(A)=3'
f(B)=2
f(C)=1
f(D)=3
と表せる。従ってあみだくじは関数といえる。このような考え...
あみだくじの上側の集合をX={A,B,C,D}、下側の集合をY={1,2,3...
f:X→Y
このfの機能、x∈Xに対応するy∈Yは「あみだくじの図」で人工的...
ある一定のルールを守って、このような集合とfとの関係を作る...
&ref(amida2.png);
f×f(A)=3
f×f(B)=2
f×f(C)=3'
f×f(D)=1
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