微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法 をテンプレートにして作成
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開始行:
#jsmath
εδ(イプシロン、デルタ)論法は極限に対する解釈を有限で扱...
論理記号を使って数学言語的に定義して行く。人間は無限を扱...
**関数\(f(x)\)に対する極限の式
#jsmath
関数\( f(x)\)が区間\(a\le x\le b\)において連続であるもの...
関数\( f(x)\) に対する極限の式 \(\displaystyle \lim _{ x\...
\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\qu...
となる。記述には論理記号や集合論の記号が利用されている。...
***見慣れない記号 \(\varepsilon \delta\) とは?
\(\varepsilon\)はイプシロンと読む。\(\delta\)はデルタと読...
ある質問に登場する数値を\(\varepsilon\)、返答に登場する数...
***\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0...
最初の2項。\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists ...
「任意の正数\(\varepsilon\)に対して適当な正数\(\delta\)が...
***\(s.t.\)
次の項 \(s.t.\) 。これは~ such that ~ という意味で「右...
ここで注意が必要なのは「&font(Red){''この式は存在しか主張...
つまり「ある条件下で存在する事は確実である」と仮定したら...
「実際に存在を証明する」という行為自体はこの式に含まれて...
手段が正しいものであるかどうかを確かめるために仮定を立て...
***\(\forall x\in { \mathbb{R} }\)
その次の項 \(\forall x\in { \mathbb{R} }\) は「任意の実...
***\(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad...
続く項は長いが一つの項になっている。\(A \Rightarrow B\) ...
\(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \l...
この式の意味は一度展開しないと意味が分かりづらい
まず\(A\)側の式を展開してみる
\(0<\left| x-a \right| <\delta \) この式は不等号で3項の...
\(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \rightarrow \quad \b...
次に\(x-a\)は絶対値記号 \(\left| \right|\) で囲まれてい...
\(①より\\ 0<x-a\quad \rightarrow \quad a<x\quad \cdots ③\...
\(②より\\ x-a<\delta \quad \rightarrow \quad x<a+\delta \...
\(⑤⑥より\\ a-\delta <x<a+\delta \)
まとめると\(A\)は以下になる
\(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cas...
次に\(B\)側の式を展開する
\(\left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon\)
これも同じように絶対値記号を外すために場合分けして展開する
\(f\left( x \right) -b<\varepsilon \quad \rightarrow \qua...
⑦⑧をまとめると\(B\)は \(b-\varepsilon <f\left( x \right) ...
ここで\(AB\)をあわせると
\(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cas...
となる
***論法を俯瞰してみる
#jsmath
\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\qu...
&ref(ip_del_1.png);
***論法をunityで検証する
俯瞰して眺めるとεδ論法は日本語に翻訳でき、またunityで扱う...
この際、数学者はこの論法を考えの検証に利用するが、プログ...
つまり、\(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left(...
#navi
終了行:
#jsmath
εδ(イプシロン、デルタ)論法は極限に対する解釈を有限で扱...
論理記号を使って数学言語的に定義して行く。人間は無限を扱...
**関数\(f(x)\)に対する極限の式
#jsmath
関数\( f(x)\)が区間\(a\le x\le b\)において連続であるもの...
関数\( f(x)\) に対する極限の式 \(\displaystyle \lim _{ x\...
\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\qu...
となる。記述には論理記号や集合論の記号が利用されている。...
***見慣れない記号 \(\varepsilon \delta\) とは?
\(\varepsilon\)はイプシロンと読む。\(\delta\)はデルタと読...
ある質問に登場する数値を\(\varepsilon\)、返答に登場する数...
***\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0...
最初の2項。\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists ...
「任意の正数\(\varepsilon\)に対して適当な正数\(\delta\)が...
***\(s.t.\)
次の項 \(s.t.\) 。これは~ such that ~ という意味で「右...
ここで注意が必要なのは「&font(Red){''この式は存在しか主張...
つまり「ある条件下で存在する事は確実である」と仮定したら...
「実際に存在を証明する」という行為自体はこの式に含まれて...
手段が正しいものであるかどうかを確かめるために仮定を立て...
***\(\forall x\in { \mathbb{R} }\)
その次の項 \(\forall x\in { \mathbb{R} }\) は「任意の実...
***\(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad...
続く項は長いが一つの項になっている。\(A \Rightarrow B\) ...
\(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \l...
この式の意味は一度展開しないと意味が分かりづらい
まず\(A\)側の式を展開してみる
\(0<\left| x-a \right| <\delta \) この式は不等号で3項の...
\(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \rightarrow \quad \b...
次に\(x-a\)は絶対値記号 \(\left| \right|\) で囲まれてい...
\(①より\\ 0<x-a\quad \rightarrow \quad a<x\quad \cdots ③\...
\(②より\\ x-a<\delta \quad \rightarrow \quad x<a+\delta \...
\(⑤⑥より\\ a-\delta <x<a+\delta \)
まとめると\(A\)は以下になる
\(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cas...
次に\(B\)側の式を展開する
\(\left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon\)
これも同じように絶対値記号を外すために場合分けして展開する
\(f\left( x \right) -b<\varepsilon \quad \rightarrow \qua...
⑦⑧をまとめると\(B\)は \(b-\varepsilon <f\left( x \right) ...
ここで\(AB\)をあわせると
\(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cas...
となる
***論法を俯瞰してみる
#jsmath
\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\qu...
&ref(ip_del_1.png);
***論法をunityで検証する
俯瞰して眺めるとεδ論法は日本語に翻訳でき、またunityで扱う...
この際、数学者はこの論法を考えの検証に利用するが、プログ...
つまり、\(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left(...
#navi
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