微積分と物理/単位計算
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
微積分と物理/単位計算 をテンプレートにして作成
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開始行:
#jsmath
**単位計算
何故、単位計算のような事を今考え直すかというと「速度の逆...
つまり日常に行う計算の中で、これらを利用した計算は"非常に...
この場合、計算を単位で考えるとシンプルに計算結果とその過...
速度とは分母、分子を持つ有理数か無理数、そして傾きになる...
この場合、速度の分母は時間(h)であり分子は距離(km)、これを...
では、この分母分子の逆をどう考えるか?速度の逆数。つまり...
計算では「1÷分数」をするとその答えは、そのひっくり返った...
しかし、繁分数の様に分母に有理数の足算がされたらどうなる...
\(\displaystyle \sqrt { 2 } =1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }...
この式は分解していくと、等差数列で表せるのか?等比数列?...
<これから確かめる>
繁分数は漸化式で表せるか?
繁分数は一般式で書き表せるのか?
繁分数はシグマで書き表せるのか?
***不思議な計算
指数法則で\(-1\)乗すると逆数になる
\({ 2 }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \)
\({ 2 }^{ -2 }=\frac { 1 }{ 4 } \)
\({ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ -1 }=2\)
\({ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ -2 }=4\)
\(\frac { 2 }{ \sqrt { 2 } } =\sqrt { 2 }\)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \simeq 0.7071...\)
\(\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } ={ \sqrt { 2 } }^{ -1 }=0....
\(0.7071...\times \sqrt { 2 } \simeq 1\)
\(0.7071...\times 2\simeq \sqrt { 2 } \)
\(\frac { 2 }{ 0.7071...\times 2 } =\frac { 1 }{ 0.7071.....
\(\sin { (45°)=0.7071... }\)
\(\cos { (45°)=0.7071... } \)
***ネイピア数
\(\displaystyle e=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left...
**アキレスと亀
資料:[[ゼノンのパラドックス:https://ja.wikipedia.org/wik...
あるところにアキレスと亀がいて2人は徒競走をすることとなっ...
&ref(race1.png);
①競争開始、アキレスが亀がいた位置まで移動する時間
\(\displaystyle c\quad (km)\quad \times \quad \frac { 1 }...
有限個の和を前提とした計算の為、有理数の体を守るように計...
②その間に亀が動く距離
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \quad (h)\quad \times \q...
③亀の移動先にアキレスが追い付く時間
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \cdot b\quad (km)\quad \...
④その間に亀が動く距離
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \...
⑤アキレスが④に追い付く時間
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \...
以後、②~③、④~⑤、の様に同じ計算を繰り返す事となる。この...
アキレスは亀に追いついても亀はさらにその先にいることにな...
しかし、ここで無限個の和、無限級数の計算を適用すると、こ...
つまり等比数列の総和=シグマで考える。アキレスが亀に追いつ...
\(\displaystyle \frac { c }{ a } +\left( \frac { c }{ a }...
のような計算となる。この「アキレスが亀に追いつく時間」は...
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \sum _{ k=1 }^{ \infty ...
になる。アキレスは亀よりも走るのが早い。つまり\(a>b\)。従...
これは等比数列の総和で考えた時、[[無限級数の計算:http://u...
\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ ...
を満たしている。これにより分子の指数が肩にある等比変数\(r...
\({ a }_{ 1 }=\frac { c }{ a } \quad (h)\quad ,\quad r=\f...
これを無限級数の式に当てはめる。分数の1の変形を利用して式...
\(\frac { c }{ a } \cdot \frac { 1 }{ 1-\frac { b }{ a } ...
となる。この計算で起きたことを少しまとめておきます
-等比数列の公比\(r\)に\(1\)未満の値が生じると級数計算に変...
-無限級数の公比\(r\)に単位の消滅があった。速度同士の割算...
-理屈で考えると単位が消滅した比の値に対して乗算除算で単位...
-結局、人類は今のところ\(0\)を無限小として見てるって事ら...
//まったく「無い」ゼロは存在しない
//凄く小さなチリのような1があって、それが紐形状らしい。そ...
//ゼロは両側に切断がある?
//プラス側の切断({a∈Q|a<0},{b∈Q|b>=0})
//マイナス側の切断({a∈Q|a=<0},{b∈Q|b>0})
//点が無限小の大きさを持っているなら、それを無限に足し合...
//それが数?
***方程式との合致
これは中学までの計算(旅人算)で、かかる時間を\(t\)として...
\(\begin{cases} bt+c\quad \cdots 亀の進んだ距離 \\ at+0\q...
この連立方程式を\(t\)について解くと「アキレスが亀に追いつ...
\(at=bt+c\quad \rightarrow \quad at-bt=c\quad \rightarrow...
となり、計算結果が無限級数の計算結果と合致する
**アルキメデスの公理
ふたつの数、\(\varepsilon,a\)を考える。ここで\(\varepsilo...
\(n\varepsilon>a\) は
\(\displaystyle \underbrace { \varepsilon +\varepsilon +\...
無限大のn個の\(\varepsilon\)の総和は必ずaより大きくなる事...
(ここで自然数が使われる事によって実数の定義に狂いなく定...
大小を逆にして\(n\varepsilon <a\quad \rightarrow \quad \v...
これが\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \fr...
資料:「虚数の情緒」P450
***無限小と無限大
資料:[[無限小(wikipedia):https://ja.wikipedia.org/wiki/%...
如何に小さい数=無限小
如何に大きい数=無限大
とすると間違う。無限小は欲すれば欲するだけ小さくなる、無...
比べる瞬間にそれは更新され大小を比べる意味は無くなる筈。...
必ず「限りなく近くなる(lim)」という言葉を加えて「すぐ隣...
***メモ
この\(\varepsilon\)は等差数列であっても良いし等比数列であ...
もし、この\(\varepsilon\)が
終了行:
#jsmath
**単位計算
何故、単位計算のような事を今考え直すかというと「速度の逆...
つまり日常に行う計算の中で、これらを利用した計算は"非常に...
この場合、計算を単位で考えるとシンプルに計算結果とその過...
速度とは分母、分子を持つ有理数か無理数、そして傾きになる...
この場合、速度の分母は時間(h)であり分子は距離(km)、これを...
では、この分母分子の逆をどう考えるか?速度の逆数。つまり...
計算では「1÷分数」をするとその答えは、そのひっくり返った...
しかし、繁分数の様に分母に有理数の足算がされたらどうなる...
\(\displaystyle \sqrt { 2 } =1+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }...
この式は分解していくと、等差数列で表せるのか?等比数列?...
<これから確かめる>
繁分数は漸化式で表せるか?
繁分数は一般式で書き表せるのか?
繁分数はシグマで書き表せるのか?
***不思議な計算
指数法則で\(-1\)乗すると逆数になる
\({ 2 }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \)
\({ 2 }^{ -2 }=\frac { 1 }{ 4 } \)
\({ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ -1 }=2\)
\({ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ -2 }=4\)
\(\frac { 2 }{ \sqrt { 2 } } =\sqrt { 2 }\)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \simeq 0.7071...\)
\(\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } ={ \sqrt { 2 } }^{ -1 }=0....
\(0.7071...\times \sqrt { 2 } \simeq 1\)
\(0.7071...\times 2\simeq \sqrt { 2 } \)
\(\frac { 2 }{ 0.7071...\times 2 } =\frac { 1 }{ 0.7071.....
\(\sin { (45°)=0.7071... }\)
\(\cos { (45°)=0.7071... } \)
***ネイピア数
\(\displaystyle e=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left...
**アキレスと亀
資料:[[ゼノンのパラドックス:https://ja.wikipedia.org/wik...
あるところにアキレスと亀がいて2人は徒競走をすることとなっ...
&ref(race1.png);
①競争開始、アキレスが亀がいた位置まで移動する時間
\(\displaystyle c\quad (km)\quad \times \quad \frac { 1 }...
有限個の和を前提とした計算の為、有理数の体を守るように計...
②その間に亀が動く距離
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \quad (h)\quad \times \q...
③亀の移動先にアキレスが追い付く時間
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \cdot b\quad (km)\quad \...
④その間に亀が動く距離
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \...
⑤アキレスが④に追い付く時間
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \...
以後、②~③、④~⑤、の様に同じ計算を繰り返す事となる。この...
アキレスは亀に追いついても亀はさらにその先にいることにな...
しかし、ここで無限個の和、無限級数の計算を適用すると、こ...
つまり等比数列の総和=シグマで考える。アキレスが亀に追いつ...
\(\displaystyle \frac { c }{ a } +\left( \frac { c }{ a }...
のような計算となる。この「アキレスが亀に追いつく時間」は...
\(\displaystyle \frac { c }{ a } \sum _{ k=1 }^{ \infty ...
になる。アキレスは亀よりも走るのが早い。つまり\(a>b\)。従...
これは等比数列の総和で考えた時、[[無限級数の計算:http://u...
\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ ...
を満たしている。これにより分子の指数が肩にある等比変数\(r...
\({ a }_{ 1 }=\frac { c }{ a } \quad (h)\quad ,\quad r=\f...
これを無限級数の式に当てはめる。分数の1の変形を利用して式...
\(\frac { c }{ a } \cdot \frac { 1 }{ 1-\frac { b }{ a } ...
となる。この計算で起きたことを少しまとめておきます
-等比数列の公比\(r\)に\(1\)未満の値が生じると級数計算に変...
-無限級数の公比\(r\)に単位の消滅があった。速度同士の割算...
-理屈で考えると単位が消滅した比の値に対して乗算除算で単位...
-結局、人類は今のところ\(0\)を無限小として見てるって事ら...
//まったく「無い」ゼロは存在しない
//凄く小さなチリのような1があって、それが紐形状らしい。そ...
//ゼロは両側に切断がある?
//プラス側の切断({a∈Q|a<0},{b∈Q|b>=0})
//マイナス側の切断({a∈Q|a=<0},{b∈Q|b>0})
//点が無限小の大きさを持っているなら、それを無限に足し合...
//それが数?
***方程式との合致
これは中学までの計算(旅人算)で、かかる時間を\(t\)として...
\(\begin{cases} bt+c\quad \cdots 亀の進んだ距離 \\ at+0\q...
この連立方程式を\(t\)について解くと「アキレスが亀に追いつ...
\(at=bt+c\quad \rightarrow \quad at-bt=c\quad \rightarrow...
となり、計算結果が無限級数の計算結果と合致する
**アルキメデスの公理
ふたつの数、\(\varepsilon,a\)を考える。ここで\(\varepsilo...
\(n\varepsilon>a\) は
\(\displaystyle \underbrace { \varepsilon +\varepsilon +\...
無限大のn個の\(\varepsilon\)の総和は必ずaより大きくなる事...
(ここで自然数が使われる事によって実数の定義に狂いなく定...
大小を逆にして\(n\varepsilon <a\quad \rightarrow \quad \v...
これが\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \fr...
資料:「虚数の情緒」P450
***無限小と無限大
資料:[[無限小(wikipedia):https://ja.wikipedia.org/wiki/%...
如何に小さい数=無限小
如何に大きい数=無限大
とすると間違う。無限小は欲すれば欲するだけ小さくなる、無...
比べる瞬間にそれは更新され大小を比べる意味は無くなる筈。...
必ず「限りなく近くなる(lim)」という言葉を加えて「すぐ隣...
***メモ
この\(\varepsilon\)は等差数列であっても良いし等比数列であ...
もし、この\(\varepsilon\)が
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