微積分と物理/実数の定義
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
微積分と物理/実数の定義 をテンプレートにして作成
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開始行:
#jsmath
数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデ...
&ref(liner1.png);
数直線上の\(1\)を基準にふたつの有理数の集合に切断してみる...
&font(Red){このふたつの集合を組みにした\((A,B)\)を「切断...
(\(A\)と\(B\)は同じ値として扱われる。好みで、どちらの表現...
切断は以下の論理命題で定義される
+\(\mathbb{Q}=A\cup B\)
+\(A\cap B=\emptyset ,A≠\emptyset ,B≠\emptyset \)
+\(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\)
+\(A\in \mathbb{Q}\quad ,\quad A≠\mathbb{Q} \)
+\(A\)には最大値が無い
+\((a\in A\quad \wedge \quad t\in \mathbb{Q} \quad \wedge...
\(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは...
\(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば...
\(A\)は有理数で、有理数の全体と同じではない。つまり有理数...
\(A\)は最大値を持たないが認識できる有理数\(t\)よりも大き...
切断の境目は無理数である場合と、有理数の場合である時の2種...
&ref(number1.png);
有理数の場合は、その境目をどちらかの集合に入れて置く事に...
上記の条件を踏まえて実際に\(1\)を基準に切断すると、その切...
\(切断\left( \quad A:=\left\{ a\in { \mathbb{Q} }|a<1 \ri...
\(\Rightarrow \quad 切断\left( \quad 0.\dot { 9 } \quad ,...
&ref(liner2.png);
&font(Red){''\(a\)は有理数なので以下のようにも表せる。こ...
&font(Red){\(\displaystyle a\quad =\quad \lim _{ n\righta...
補足:
\(a= \lim _{ n\rightarrow \infty }{ 1-{ \left( \frac { 1...
このように切断により集合\(B\)に必ず最小値の端を持つ事にな...
ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる...
\(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0...
有理数の境目を使って\(切断(A,B)\)を利用すると「切断( ...
**その他の証明
***上記の証明の逆パターン。この証明でも切断の境目はどちら...
どんな実数\(r\)に対しても、\(r\)より大きい有理数\(a\)と、...
\(r\in \mathbb{Q}\quad ,\quad r≠\mathbb{Q}\quad ,\quad r≠...
\(r\)は有理数の部分で空集合でない
\(r\left( a,b \right) =\left( \left\{ a\in \mathbb{Q}\wed...
\(r\)は有理数の部分集合なので\(a\notin r\)であるような有...
***無理数の場合
\(r\)が無理数と考えた場合、こうなる?(あってるかわからな...
切断の境目がどちらの集合の中にも含まれていない。有理数の...
\(r\left( a,b \right) =\left( \left\{ a\in \mathbb{Q}\wed...
自然数から整数、整数の比から有理数になり、有理数の切断か...
無理数が切断の境目に使用された場合、数の隙間が発生する。...
#hr
資料:「虚数の情緒」P454はこのデデキント切断を指して説明...
終了行:
#jsmath
数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデ...
&ref(liner1.png);
数直線上の\(1\)を基準にふたつの有理数の集合に切断してみる...
&font(Red){このふたつの集合を組みにした\((A,B)\)を「切断...
(\(A\)と\(B\)は同じ値として扱われる。好みで、どちらの表現...
切断は以下の論理命題で定義される
+\(\mathbb{Q}=A\cup B\)
+\(A\cap B=\emptyset ,A≠\emptyset ,B≠\emptyset \)
+\(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\)
+\(A\in \mathbb{Q}\quad ,\quad A≠\mathbb{Q} \)
+\(A\)には最大値が無い
+\((a\in A\quad \wedge \quad t\in \mathbb{Q} \quad \wedge...
\(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは...
\(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば...
\(A\)は有理数で、有理数の全体と同じではない。つまり有理数...
\(A\)は最大値を持たないが認識できる有理数\(t\)よりも大き...
切断の境目は無理数である場合と、有理数の場合である時の2種...
&ref(number1.png);
有理数の場合は、その境目をどちらかの集合に入れて置く事に...
上記の条件を踏まえて実際に\(1\)を基準に切断すると、その切...
\(切断\left( \quad A:=\left\{ a\in { \mathbb{Q} }|a<1 \ri...
\(\Rightarrow \quad 切断\left( \quad 0.\dot { 9 } \quad ,...
&ref(liner2.png);
&font(Red){''\(a\)は有理数なので以下のようにも表せる。こ...
&font(Red){\(\displaystyle a\quad =\quad \lim _{ n\righta...
補足:
\(a= \lim _{ n\rightarrow \infty }{ 1-{ \left( \frac { 1...
このように切断により集合\(B\)に必ず最小値の端を持つ事にな...
ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる...
\(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0...
有理数の境目を使って\(切断(A,B)\)を利用すると「切断( ...
**その他の証明
***上記の証明の逆パターン。この証明でも切断の境目はどちら...
どんな実数\(r\)に対しても、\(r\)より大きい有理数\(a\)と、...
\(r\in \mathbb{Q}\quad ,\quad r≠\mathbb{Q}\quad ,\quad r≠...
\(r\)は有理数の部分で空集合でない
\(r\left( a,b \right) =\left( \left\{ a\in \mathbb{Q}\wed...
\(r\)は有理数の部分集合なので\(a\notin r\)であるような有...
***無理数の場合
\(r\)が無理数と考えた場合、こうなる?(あってるかわからな...
切断の境目がどちらの集合の中にも含まれていない。有理数の...
\(r\left( a,b \right) =\left( \left\{ a\in \mathbb{Q}\wed...
自然数から整数、整数の比から有理数になり、有理数の切断か...
無理数が切断の境目に使用された場合、数の隙間が発生する。...
#hr
資料:「虚数の情緒」P454はこのデデキント切断を指して説明...
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