確率と統計/期待値と鳩の巣原理
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
確率と統計/期待値と鳩の巣原理 をテンプレートにして作成
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開始行:
TITLE:鳩の巣原理
#jsmath
**期待値と鳩の巣原理
資料：[[幾何分布の期待値の導出:http://sucrose.hatenablog....
＜問題＞
&font(150%){&font(Blue){長縄跳び、1000回に1回しか失敗しな...
この問題のディテールを自分なりに確認してみる
***準備段階
順番に考えていく。確率は「起こり得る全体の中で希望するも...
1000回に1回しか失敗しない人の「縄跳びを一回跳ぶ事に失敗す...
ここで思考実験として「３人で縄跳びを一回跳ぶ」事を考える。
確率（正規化された量：実数）を論じるとき、事象で構成され...
この問題に当てはまる標本空間を考えると・・・
\(標本空間\Omega =\left\{ { \omega }_{ 1 }=一人が縄跳び...
となる、この標本空間から「３人で縄跳びを一回跳ぶ」樹形図...
&ref(prob7.png,100%);
樹形図の1分岐目が1人目が跳んだ事象を表し、2分岐目が2人目...
このような事象の成否によって無記憶性を持って分岐する確率...
＜[[二項分布:http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules...
\({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\...
この樹形図で「３人で縄跳びを一回跳ぶ事に成功する事象」を...
これを二項分布に当てはめると一番上のルートを表す式は \(p=...
\({ P }_{ 3 }\left( 3 \right) \quad =\quad \left( \begin{...
従ってその確率は\(\\ { 0.999 }^{ 3 }=0.997002999...\)とな...
では、「３人で縄跳びを一回跳ぶ事に失敗する事象」の確率は...
&font(Blue){３人で縄跳びを一回跳ぶ事に失敗した ⇒(ならば)...
&font(Fuchsia){ここでやりがちな間違いとは\({ 0.001 }^{ 30...
&ref(prob8.png,100%);
pocketCasで計算すると下記のように計算結果を出せるがこれを...
&ref(Formula2.png);
この失敗を計算する方法は実は確率の性質を利用する事で簡単...
確率の公理を利用すると以下のように考えられる（参考資料：...
\(\Omega =\left\{ P=成功した事象,Q=失敗した事象 \right\} ...
ここで、\(成功確率p=Pr(P)\)。\(失敗確率q=Pr(Q)\)と考える...
つまり、\(1-0.999^{ 30 }\)で「30人で縄跳びを一回跳ぶ事に...
ここまでをまとめると...
-30人で縄跳びを一回跳ぶ事に成功する確率は \(p={0.999}^{3...
-30人で縄跳びを一回跳ぶ事に失敗する確率は \(q=1-{0.999}^...
ちなみに\(\{ { 0.999 }^{ 1 },{ 0.999 }^{ 2 },{ 0.999 }^{ ...
&ref(grp1.png,100%);
まるで一次関数グラフのように直線に見えるが0.999の部分の値...
&ref(grp2.png,100%);
\({0.95}^{k}\)辺り（緑色の線グラフ）まで直線に近似してい...
＜おまけ＞
ちなみにpocketCasでは値を時間で変化させて視覚的にグラフの...
非常に面白い動きをするので見ておくといいと思います
//!x=-9.25601..35.9059,y=-0.359563..1.20372,T=0.7..1,TSt...
[seq(k,k,0,30)],[seq(T^k,k,0,30)]]
***期待値を求める
＜TODO:以下工事中＞
確率は「起こり得る全体の中で希望するものの割合である」。...
この考えは数学的帰納と相性が良い。つまり、式がシグマやパ...
//イコール全てが微積分で考えられる訳ではない？？（離散的...
<期待値の定義より再確認>
&font(120%){\(\displaystyle \underbrace { E\left[ X \righ...
確率（正規化された量：実数）を論じるとき、事象で構成され...
この問題に当てはまる、標本空間と確率分布を考えると・・・
-確率変数\(X\)は「標本空間内の事象（集合）」に\(1:1\)で対...
-確率分布\(Pr\)は「確率変数である実数」に\(1:1\)で対応し...
&ref(prob4.png,100%);
標本空間内の要素はこうなる
\(\Omega\)={\({\omega}_{1}\)=0回連続で飛んで1回目でひっか...
\({\omega}_{2}\)=1回連続で飛んで2回目でひっかかった事...
\({\omega}_{3}\)=2回連続で飛んで3回目でひっかかった事...
...,
\({\omega}_{n}\)=n-1回連続で飛んでn回目でひっかかった...
30人が縄跳びを連続で飛べた回数を確率変数\(X\)とする。つまり
\(X\left( \Omega \right) =\left\{ { c }_{ 1 }=0,{ c }_{ ...
標本空間と確率変数との関係はシグマにより\(k\)がインクリメ...
\(X\left( \Omega \right) ={ c }_{ k }\left( { \omega }_...
この標本空間、確率変数に対応する確率分布（関数）は幾何分...
&ref(prob6.png,100%);
・・・なんかおかしい・・・？全部足し合わせて期待値になり...
あ、ちがう。３０人でけいさんしてない・・・あああ
&ref(prob5.png,100%);
**鳩の巣原理2
資料：虚数の情緒P490
P493の確率リストをpocketCasで計算しグラフで表示してみる
&ref(hato1.png);
＜pocketCasでのコード＞
seq(1-(∏(365-n,n,0,a-1)/365^a),a=0..5)
order:=100
[[seq(b,b=0..order)],[seq(1-(∏(365-n,n,0,a-1)/365^a),a=0...
グラフはまるでフォトショップでのトーンカーブのようにＳ字...
終了行:
TITLE:鳩の巣原理
#jsmath
**期待値と鳩の巣原理
資料：[[幾何分布の期待値の導出:http://sucrose.hatenablog....
＜問題＞
&font(150%){&font(Blue){長縄跳び、1000回に1回しか失敗しな...
この問題のディテールを自分なりに確認してみる
***準備段階
順番に考えていく。確率は「起こり得る全体の中で希望するも...
1000回に1回しか失敗しない人の「縄跳びを一回跳ぶ事に失敗す...
ここで思考実験として「３人で縄跳びを一回跳ぶ」事を考える。
確率（正規化された量：実数）を論じるとき、事象で構成され...
この問題に当てはまる標本空間を考えると・・・
\(標本空間\Omega =\left\{ { \omega }_{ 1 }=一人が縄跳び...
となる、この標本空間から「３人で縄跳びを一回跳ぶ」樹形図...
&ref(prob7.png,100%);
樹形図の1分岐目が1人目が跳んだ事象を表し、2分岐目が2人目...
このような事象の成否によって無記憶性を持って分岐する確率...
＜[[二項分布:http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules...
\({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\...
この樹形図で「３人で縄跳びを一回跳ぶ事に成功する事象」を...
これを二項分布に当てはめると一番上のルートを表す式は \(p=...
\({ P }_{ 3 }\left( 3 \right) \quad =\quad \left( \begin{...
従ってその確率は\(\\ { 0.999 }^{ 3 }=0.997002999...\)とな...
では、「３人で縄跳びを一回跳ぶ事に失敗する事象」の確率は...
&font(Blue){３人で縄跳びを一回跳ぶ事に失敗した ⇒(ならば)...
&font(Fuchsia){ここでやりがちな間違いとは\({ 0.001 }^{ 30...
&ref(prob8.png,100%);
pocketCasで計算すると下記のように計算結果を出せるがこれを...
&ref(Formula2.png);
この失敗を計算する方法は実は確率の性質を利用する事で簡単...
確率の公理を利用すると以下のように考えられる（参考資料：...
\(\Omega =\left\{ P=成功した事象,Q=失敗した事象 \right\} ...
ここで、\(成功確率p=Pr(P)\)。\(失敗確率q=Pr(Q)\)と考える...
つまり、\(1-0.999^{ 30 }\)で「30人で縄跳びを一回跳ぶ事に...
ここまでをまとめると...
-30人で縄跳びを一回跳ぶ事に成功する確率は \(p={0.999}^{3...
-30人で縄跳びを一回跳ぶ事に失敗する確率は \(q=1-{0.999}^...
ちなみに\(\{ { 0.999 }^{ 1 },{ 0.999 }^{ 2 },{ 0.999 }^{ ...
&ref(grp1.png,100%);
まるで一次関数グラフのように直線に見えるが0.999の部分の値...
&ref(grp2.png,100%);
\({0.95}^{k}\)辺り（緑色の線グラフ）まで直線に近似してい...
＜おまけ＞
ちなみにpocketCasでは値を時間で変化させて視覚的にグラフの...
非常に面白い動きをするので見ておくといいと思います
//!x=-9.25601..35.9059,y=-0.359563..1.20372,T=0.7..1,TSt...
[seq(k,k,0,30)],[seq(T^k,k,0,30)]]
***期待値を求める
＜TODO:以下工事中＞
確率は「起こり得る全体の中で希望するものの割合である」。...
この考えは数学的帰納と相性が良い。つまり、式がシグマやパ...
//イコール全てが微積分で考えられる訳ではない？？（離散的...
<期待値の定義より再確認>
&font(120%){\(\displaystyle \underbrace { E\left[ X \righ...
確率（正規化された量：実数）を論じるとき、事象で構成され...
この問題に当てはまる、標本空間と確率分布を考えると・・・
-確率変数\(X\)は「標本空間内の事象（集合）」に\(1:1\)で対...
-確率分布\(Pr\)は「確率変数である実数」に\(1:1\)で対応し...
&ref(prob4.png,100%);
標本空間内の要素はこうなる
\(\Omega\)={\({\omega}_{1}\)=0回連続で飛んで1回目でひっか...
\({\omega}_{2}\)=1回連続で飛んで2回目でひっかかった事...
\({\omega}_{3}\)=2回連続で飛んで3回目でひっかかった事...
...,
\({\omega}_{n}\)=n-1回連続で飛んでn回目でひっかかった...
30人が縄跳びを連続で飛べた回数を確率変数\(X\)とする。つまり
\(X\left( \Omega \right) =\left\{ { c }_{ 1 }=0,{ c }_{ ...
標本空間と確率変数との関係はシグマにより\(k\)がインクリメ...
\(X\left( \Omega \right) ={ c }_{ k }\left( { \omega }_...
この標本空間、確率変数に対応する確率分布（関数）は幾何分...
&ref(prob6.png,100%);
・・・なんかおかしい・・・？全部足し合わせて期待値になり...
あ、ちがう。３０人でけいさんしてない・・・あああ
&ref(prob5.png,100%);
**鳩の巣原理2
資料：虚数の情緒P490
P493の確率リストをpocketCasで計算しグラフで表示してみる
&ref(hato1.png);
＜pocketCasでのコード＞
seq(1-(∏(365-n,n,0,a-1)/365^a),a=0..5)
order:=100
[[seq(b,b=0..order)],[seq(1-(∏(365-n,n,0,a-1)/365^a),a=0...
グラフはまるでフォトショップでのトーンカーブのようにＳ字...
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