高校数学/相加相乗平均の関係
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
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開始行:
TITLE:相加平均と調和平均の関係
**相加相乗平均の関係
#jsmath
相加相乗平均の関係は以下の状態で変化しない
\(\displaystyle\ \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy } \qua...
この関係は微分を利用して[[平方根を求める等の漸化式を作る...
従って実際に、その関係が成立する事を検証して確かめておく
#hr
単純なケースから確かめていく
***① \({ r }^{ 2 }>0\quad \quad rが0以外の実数である場合...
|例|||
|\(r=2\)|\(4>0\)|成立|
|\(r=-2\)|\({ \left( -2 \right) }^{ 2 }>0\quad \rightarr...
***② \({ \left( a-b \right) }^{ 2 }>0 \quad \quad aとb...
アバウトな検証用コードを書く。条件を満たすランダムなa,bの...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Numbers4 : MonoBehaviour
{
void Start ()
{
float a, b, left;
bool success = true;
for (int i = 0; i < 50; i++) {
a = 0;
b = 0;
GenerateRandom (ref a, ref b);
left = Mathf.Pow ((a - b), 2);
print (string.Format ("{0} : {1} : {2}", a, b, left));
if (!(left > 0)) {
print ("成立しない!");
success = false;
}
}
if (success) {
print ("成立する");
}
}
static void GenerateRandom (ref float a, ref float b)
{
while (a == 0 || b == 0) {
a = Random.Range (-100f, 100f);
b = Random.Range (-100f, 100f);
}
}
}
}}
結果。「aとbが0以外の実数であれば式は成立する」事が確認で...
これは「括弧で囲まれた2乗の式は括弧の中がどんな式であれ...
***③\({ { a }^{ 2 }-2ab+{ b }^{ 2 } }>0\quad \quad \quad ...
③の式は②を展開したものになる。理屈で考えると成立しないと...
②のコードの15行目を
left = (a * a) - 2f * a * b + (b * b);
とする。結果。成立している事が確認できる
***④ \({ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }>2ab\quad \quad \quad a...
③の式から2abを右辺に移項させる。この時、左辺と右辺、不等...
コードを少し書き換えた。8、15~18行目を書き換えている
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Numbers4 : MonoBehaviour
{
void Start ()
{
float a, b, left, right;
bool success = true;
for (int i = 0; i < 50; i++) {
a = 0;
b = 0;
GenerateRandom (ref a, ref b);
left = (a * a) + (b * b);
right = 2f * a * b;
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} > {3}", a, ...
if (!(left > right)) {
print ("成立しない!");
success = false;
}
}
if (success) {
print ("成立する");
}
}
static void GenerateRandom (ref float a, ref float b)
{
while (a == 0 || b == 0) {
a = Random.Range (-100f, 100f);
b = Random.Range (-100f, 100f);
}
}
}
}}
結果。成立する事が確認できた。不等号を挟んだ移項は成立す...
***⑤ \({ \left( a+b \right) }^{ 2 }>0\quad \rightarrow \...
\(aとbが0以外の実数である場合、この式は成立するか?\)
これも普通に考えると成立する事が予想できる。コードの16行...
right = -2f * a * b;
に書き換えると確認できる。結果、成立する
***⑥不等号の向きが反転する条件は?
右辺と左辺が挟む不等号(<や>)の向きが変わる時はどんな...
例えば\(-2\)を掛けたり、その逆数である\(-\frac { 1 }{ 2 }...
例:④から考えると…
\(\displaystyle\ ({ a }^{ 2 }+b^{ 2 })\times \left( -2 \r...
\(\displaystyle\ ({ a }^{ 2 }+b^{ 2 })\times \left( -\fra...
コードで確かめる際は、15行目~18行目を
left = -2f * a * a + -2f * b * b;
right = -4f * a * b;
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} < {3}", a, ...
if (!(left < right)) {
もしくは
left = -((a * a) + (b * b)) / 2;
right = -a * b;
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} < {3}", a, ...
if (!(left < right)) {
として確認する。結果、成立する
***⑦\(\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) \times \frac...
15~18行目を以下に書き換え確認。成立する
left = ((a * a) + (b * b)) / 2f;
right = a * b;
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} > {3}", a, ...
if (!(left > right)) {
***⑧\(\frac { a+b }{ 2 } >\sqrt { ab } \quad \quad \quad ...
#jsmath
ここで式を少し書き換える。単純に\(a\)としていた文字を\(x\...
(意味が解らなければ[[基礎/数学に関する暗黙と習慣]]を参照)
式は\(\displaystyle\ \frac { a^{ 2 }+b^{ 2 } }{ 2 } >ab\)...
ここから変数\(x\)と\(y\)に、\(x=\sqrt { a } ,y=\sqrt { b ...
式は \(\displaystyle\ \frac { \sqrt { { a }^{ 2 } } +\sq...
この式が成立するかを確認する。コードを以下に書き換え実行...
left = (a + b) / 2f;
right = Mathf.Sqrt ((a * b));
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} > {3}", a, ...
if (!(left > right)) {
結果、「成立しない!」が表示されてしまう。どうやら計算が...
ここでコードの出力を観察してみると
right = Mathf.Sqrt ((a * b));
の部分で問題が発生している事に気が付く。原因は\(a,b\)の値...
<虚数が発生する一例>
Mathf.Sqrt ((-2 * 5)); → Mathf.Sqrt (-10);
お互いを掛け合わせると-10になる値。2乗すると-10になる数...
memo:(機会が出てきたら調べる)
-unityで虚数って、どうやって計算するの?
-不等号(<>)は虚数の振る舞いに対応しているの?
***⑨ \(\frac { a+b }{ 2 } \ge \sqrt { ab } \quad \quad \q...
これを確認してみる。条件を虚数を避ける様にする為、コード...
if (!(left >= right)) {
それと31、32行目を以下に書き換える
a = Random.Range (0f, 100f);
b = Random.Range (0f, 100f);
これを実行して結果、成立することが確認できる
この章の冒頭にあった相加相乗平均の関係の数式は
\(\displaystyle\ \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy } \qua...
であったので、これに沿うように\(a\)と\(b\)を\(x,y\)の変数...
変数になったことで値が条件を満たしていれば式は常にこの関...
この右辺や左辺に似た数式を見かけたときは、この相加相乗平...
ちなみに、この左辺右辺の数式は放物線上の2点の接線の交点...
終了行:
TITLE:相加平均と調和平均の関係
**相加相乗平均の関係
#jsmath
相加相乗平均の関係は以下の状態で変化しない
\(\displaystyle\ \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy } \qua...
この関係は微分を利用して[[平方根を求める等の漸化式を作る...
従って実際に、その関係が成立する事を検証して確かめておく
#hr
単純なケースから確かめていく
***① \({ r }^{ 2 }>0\quad \quad rが0以外の実数である場合...
|例|||
|\(r=2\)|\(4>0\)|成立|
|\(r=-2\)|\({ \left( -2 \right) }^{ 2 }>0\quad \rightarr...
***② \({ \left( a-b \right) }^{ 2 }>0 \quad \quad aとb...
アバウトな検証用コードを書く。条件を満たすランダムなa,bの...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Numbers4 : MonoBehaviour
{
void Start ()
{
float a, b, left;
bool success = true;
for (int i = 0; i < 50; i++) {
a = 0;
b = 0;
GenerateRandom (ref a, ref b);
left = Mathf.Pow ((a - b), 2);
print (string.Format ("{0} : {1} : {2}", a, b, left));
if (!(left > 0)) {
print ("成立しない!");
success = false;
}
}
if (success) {
print ("成立する");
}
}
static void GenerateRandom (ref float a, ref float b)
{
while (a == 0 || b == 0) {
a = Random.Range (-100f, 100f);
b = Random.Range (-100f, 100f);
}
}
}
}}
結果。「aとbが0以外の実数であれば式は成立する」事が確認で...
これは「括弧で囲まれた2乗の式は括弧の中がどんな式であれ...
***③\({ { a }^{ 2 }-2ab+{ b }^{ 2 } }>0\quad \quad \quad ...
③の式は②を展開したものになる。理屈で考えると成立しないと...
②のコードの15行目を
left = (a * a) - 2f * a * b + (b * b);
とする。結果。成立している事が確認できる
***④ \({ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }>2ab\quad \quad \quad a...
③の式から2abを右辺に移項させる。この時、左辺と右辺、不等...
コードを少し書き換えた。8、15~18行目を書き換えている
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Numbers4 : MonoBehaviour
{
void Start ()
{
float a, b, left, right;
bool success = true;
for (int i = 0; i < 50; i++) {
a = 0;
b = 0;
GenerateRandom (ref a, ref b);
left = (a * a) + (b * b);
right = 2f * a * b;
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} > {3}", a, ...
if (!(left > right)) {
print ("成立しない!");
success = false;
}
}
if (success) {
print ("成立する");
}
}
static void GenerateRandom (ref float a, ref float b)
{
while (a == 0 || b == 0) {
a = Random.Range (-100f, 100f);
b = Random.Range (-100f, 100f);
}
}
}
}}
結果。成立する事が確認できた。不等号を挟んだ移項は成立す...
***⑤ \({ \left( a+b \right) }^{ 2 }>0\quad \rightarrow \...
\(aとbが0以外の実数である場合、この式は成立するか?\)
これも普通に考えると成立する事が予想できる。コードの16行...
right = -2f * a * b;
に書き換えると確認できる。結果、成立する
***⑥不等号の向きが反転する条件は?
右辺と左辺が挟む不等号(<や>)の向きが変わる時はどんな...
例えば\(-2\)を掛けたり、その逆数である\(-\frac { 1 }{ 2 }...
例:④から考えると…
\(\displaystyle\ ({ a }^{ 2 }+b^{ 2 })\times \left( -2 \r...
\(\displaystyle\ ({ a }^{ 2 }+b^{ 2 })\times \left( -\fra...
コードで確かめる際は、15行目~18行目を
left = -2f * a * a + -2f * b * b;
right = -4f * a * b;
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} < {3}", a, ...
if (!(left < right)) {
もしくは
left = -((a * a) + (b * b)) / 2;
right = -a * b;
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} < {3}", a, ...
if (!(left < right)) {
として確認する。結果、成立する
***⑦\(\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) \times \frac...
15~18行目を以下に書き換え確認。成立する
left = ((a * a) + (b * b)) / 2f;
right = a * b;
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} > {3}", a, ...
if (!(left > right)) {
***⑧\(\frac { a+b }{ 2 } >\sqrt { ab } \quad \quad \quad ...
#jsmath
ここで式を少し書き換える。単純に\(a\)としていた文字を\(x\...
(意味が解らなければ[[基礎/数学に関する暗黙と習慣]]を参照)
式は\(\displaystyle\ \frac { a^{ 2 }+b^{ 2 } }{ 2 } >ab\)...
ここから変数\(x\)と\(y\)に、\(x=\sqrt { a } ,y=\sqrt { b ...
式は \(\displaystyle\ \frac { \sqrt { { a }^{ 2 } } +\sq...
この式が成立するかを確認する。コードを以下に書き換え実行...
left = (a + b) / 2f;
right = Mathf.Sqrt ((a * b));
print (string.Format ("a={0} : b={1} : {2} > {3}", a, ...
if (!(left > right)) {
結果、「成立しない!」が表示されてしまう。どうやら計算が...
ここでコードの出力を観察してみると
right = Mathf.Sqrt ((a * b));
の部分で問題が発生している事に気が付く。原因は\(a,b\)の値...
<虚数が発生する一例>
Mathf.Sqrt ((-2 * 5)); → Mathf.Sqrt (-10);
お互いを掛け合わせると-10になる値。2乗すると-10になる数...
memo:(機会が出てきたら調べる)
-unityで虚数って、どうやって計算するの?
-不等号(<>)は虚数の振る舞いに対応しているの?
***⑨ \(\frac { a+b }{ 2 } \ge \sqrt { ab } \quad \quad \q...
これを確認してみる。条件を虚数を避ける様にする為、コード...
if (!(left >= right)) {
それと31、32行目を以下に書き換える
a = Random.Range (0f, 100f);
b = Random.Range (0f, 100f);
これを実行して結果、成立することが確認できる
この章の冒頭にあった相加相乗平均の関係の数式は
\(\displaystyle\ \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy } \qua...
であったので、これに沿うように\(a\)と\(b\)を\(x,y\)の変数...
変数になったことで値が条件を満たしていれば式は常にこの関...
この右辺や左辺に似た数式を見かけたときは、この相加相乗平...
ちなみに、この左辺右辺の数式は放物線上の2点の接線の交点...
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