高校数学/等差数列、等比数列、総和(シグマ)
をテンプレートにして作成
Unity学習帳2冊目
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開始行:
TITLE:等差数列、等比数列、総和(シグマ)
#contents
#jsmath
<シグマ記号の意味>
シグマは森と木の関係を見るような数学記号。「数列という無...
**等差数列(arithmetic progression)
\({ a }_{ n }={ a }_{1}+\left( n-1 \right) d\quad \quad \...
使用例:
\({ a }_{ 1 }=3,d=5\\ { a }_{ n }=\left\{ 3,8,13,18,23,\c...
***等差数列の総和(等差級数 arithmetic series)
&font(Red){一定の法則にしたがって変化する数を一定の順に並...
等差数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一...
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }...
使用例:
\(\displaystyle { a }_{ 1 }=3,d=5,n=8\\ Sn=3+8+13+18+23+2...
***等差数列の総和の公式の導出
まず総和内の数列を確認する
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }...
\(Sn\)の並びを逆にする
\( \quad =\quad { \left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) +\lef...
普通の並びの\(Sn\)と逆並びにした\(Sn\)を足し合わせる
\(\displaystyle \begin{matrix} { a }_{ 1 } & \left( { a }...
\(従って、2Sn=n\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad \)
\( 両辺を2で割って、Sn=\frac { n }{ 2 } \left( { 2a }_{ 1...
**等比数列(geometric progression)
等比数列は幾何数列と呼ばれることもある。英語では「geometr...
等比数列の総和は確率や積分、極限の計算等で非常に多く利用...
&font(120%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \...
使用例:
\({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=\left\{ 1,2,3,4\cdots \right\} \\ ...
***等比数列と対数との関係
等&font(Red){比};数列の一般項の対数をとると
\(\log { { a }_{ n } } =\log { { a }_{ 1 } } +\left( n-1 ...
となる
例:
\({ a }_{ n }=3\cdot { 5 }^{ n-1 }\\ { a }_{ 5 }=1875\\ \...
数列 \( \log { { a }_{ n } } \) は初項 \(\log { { a }_{ 1...
***等比数列の総和(等比級数、幾何級数 geometric series)
等比数列の総和は等比級数、幾何級数とも呼ばれる。等比数列...
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }...
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{...
この公式の\(a\)は初項と考えない方が良い。むしろ等比級数内...
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }...
<より一般的な公式>
\(k=m\)で\(k\ge 1\)である場合は以下になる
&font(Red){\(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }r^{ ...
使用例:
等比級数の内容を確認する
\(Sn=3+15+75+375+1875+9375+46875+234375=292968\\ \quad \q...
\({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=8\)
この等比級数の項の数は8個で初項は0乗から始まっている。\(k...
よってシグマの式は
\(\displaystyle Sn=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }r^{ k-1 } } ...
これに各値をあてはめると以下になる
\(\displaystyle Sn=\sum _{ k=1 }^{ 8 }{ 3\cdot { 5 }^{ k-...
使用例2:
等比級数とシグマを考える時、初項や等比、次数との関係をよ...
\(Sn=-2\pi +4{ \pi }^{ 2 }-8{ \pi }^{ 3 }={ \left( -2\p...
\({ a }=1,r=\left( -2\pi \right) ,n=3\)
この等比級数の項の数は3個で初項は\(1\)乗から始まっている...
よってシグマの式は
\(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }r^{ k } } =\fra...
これに各値をあてはめると以下になる
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi } \r...
<補足>
例えば \({ -5 }^{ 0 }=-1\) となるが \( { \left( -5 \right...
***等比数列の総和の公式の導出
非常に重要な考え方の一つ
公式の導出。最初に幾何級数を書く
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }{ r }^{ k-1 } }...
このシグマの式に対して「\(1-r\)」を掛ける事で、シンプルに...
\(\displaystyle \begin{eqnarray} (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }...
従ってr≠1の場合、幾何級数は以下の公式が利用できる
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }{ r }^{ k-1 } }...
***無限級数(infinite geometric series)
\(n\)に対して極限を利用すると収束や拡散、振動などが発生す...
<以下工事中TODO>
***忘備録メモ
シグマの計算
\(\displaystyle E\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ ...
順番
①数列や樹形図より期待値の式を作る
②期待値のシグマを解く
-等比をずらして引き算するとシグマのkが消せる
-kを消した数列から、もう一度シグマを組み、それをうまく変...
-等比数列公式内の等比rが0以上1以下の時、無限級数の収束。...
他例:
\(E=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ k{ \left( \frac { 1 }{ 2 }...
**等比数列の総和
資料:虚数の情緒 P448~P449 ここでは別の解釈で同じ計算を...
まず、P448の等比数列の総和\({K}_{n}\)を求めることを考える
\({ K }_{ n }=\left( 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4...
この数列を等比数列の式で表すと
\({ a }_{ n } = 1\cdot { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right)...
これをシグマの式で表すと
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( \frac { 1 }...
となる
等比数列の総和の公式は以下になる
\(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ ...
いきなり公式を使って計算しても良いがここでは、その構造と...
<TODO>
無限級数(等比数列の無限項の総和、つまり\(n\rightarrow \i...
\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n...
(補足:\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\ri...
**有理数を利用した関数の帰納的性質
資料:「虚数の情緒P448~P449」
つまり、こういう事だと思う
\(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
\(\quad \cdots \)
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
これは実数が\(1\)とその他の小数の数字に分離できるという事...
\(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
例えば、こんな感じになる
\(\displaystyle 3\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \fra...
この帰納的性質は指数や対数の計算において面白い効果が期待...
資料: [[初心者用 テイラー展開解説:http://www.ice.tohte...
**等比数列の検証
微積分で良く使う有用な計算技法をいくつかピックアップ
<等比数列でよくみられる計算原理>
\(\displaystyle \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3 } \times...
\(\displaystyle \rightarrow \quad \frac { 3\times 1 }{ 3\...
\(\displaystyle \rightarrow \quad 1\times \frac { 1 }{ 4 ...
\(\displaystyle \rightarrow \quad \frac { 1 }{ 4 } \left(...
この最後の式の"形"はよくみかける
==TODO==
等差数列、等比数列等の数列計算と漸化式、総和(シグマ)等...
ここでは積分などでよく利用する機会が多い等差数列、等比数...
**等差数列
#jsmath
ゲーム用途では一定間隔にグリッド状にオブジェクトを配置す...
以下のコードはunityで等差数列の式でパーティクルを配置して...
関数式であえてやるなら、こういうやり方になるかな、という...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class numberA : MonoBehaviour
{
float a1 = 2f;
float d = 1.5f;
int nn = 7;
float particleSize = 0.3f;
ParticleSystem pe;
ParticleSystem.Particle[] point;
void Start ()
{
pe = gameObject.AddComponent<ParticleSystem> ();
pe.startSpeed = 0;
pe.startLifetime = float.MaxValue; //寿命が有限なので...
CreatePoint ();
}
void CreatePoint ()
{
pe.Emit (nn);
point = new ParticleSystem.Particle[nn];
pe.GetParticles (point);
for (int n = 0; n < nn; n++) {
//パーティクルの配列は0を含むので等差数列の計算時は...
point [n].position = new Vector3 (ArithmeticProgres...
point [n].color = Color.white;
point [n].size = particleSize;
}
pe.SetParticles (point, nn);
}
float ArithmeticProgression (float a1, int n, float d)
{
float an = a1 + (n - 1) * d;
return an;
}
}
}}
***等比数列の和
<メモ>
#jsmath
総和の平方根の階差数列はnを大きくしていくと0.7071...に収...
\(\displaystyle\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } } -\sq...
#navi
終了行:
TITLE:等差数列、等比数列、総和(シグマ)
#contents
#jsmath
<シグマ記号の意味>
シグマは森と木の関係を見るような数学記号。「数列という無...
**等差数列(arithmetic progression)
\({ a }_{ n }={ a }_{1}+\left( n-1 \right) d\quad \quad \...
使用例:
\({ a }_{ 1 }=3,d=5\\ { a }_{ n }=\left\{ 3,8,13,18,23,\c...
***等差数列の総和(等差級数 arithmetic series)
&font(Red){一定の法則にしたがって変化する数を一定の順に並...
等差数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一...
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }...
使用例:
\(\displaystyle { a }_{ 1 }=3,d=5,n=8\\ Sn=3+8+13+18+23+2...
***等差数列の総和の公式の導出
まず総和内の数列を確認する
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }...
\(Sn\)の並びを逆にする
\( \quad =\quad { \left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) +\lef...
普通の並びの\(Sn\)と逆並びにした\(Sn\)を足し合わせる
\(\displaystyle \begin{matrix} { a }_{ 1 } & \left( { a }...
\(従って、2Sn=n\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad \)
\( 両辺を2で割って、Sn=\frac { n }{ 2 } \left( { 2a }_{ 1...
**等比数列(geometric progression)
等比数列は幾何数列と呼ばれることもある。英語では「geometr...
等比数列の総和は確率や積分、極限の計算等で非常に多く利用...
&font(120%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \...
使用例:
\({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=\left\{ 1,2,3,4\cdots \right\} \\ ...
***等比数列と対数との関係
等&font(Red){比};数列の一般項の対数をとると
\(\log { { a }_{ n } } =\log { { a }_{ 1 } } +\left( n-1 ...
となる
例:
\({ a }_{ n }=3\cdot { 5 }^{ n-1 }\\ { a }_{ 5 }=1875\\ \...
数列 \( \log { { a }_{ n } } \) は初項 \(\log { { a }_{ 1...
***等比数列の総和(等比級数、幾何級数 geometric series)
等比数列の総和は等比級数、幾何級数とも呼ばれる。等比数列...
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }...
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{...
この公式の\(a\)は初項と考えない方が良い。むしろ等比級数内...
\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }...
<より一般的な公式>
\(k=m\)で\(k\ge 1\)である場合は以下になる
&font(Red){\(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }r^{ ...
使用例:
等比級数の内容を確認する
\(Sn=3+15+75+375+1875+9375+46875+234375=292968\\ \quad \q...
\({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=8\)
この等比級数の項の数は8個で初項は0乗から始まっている。\(k...
よってシグマの式は
\(\displaystyle Sn=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }r^{ k-1 } } ...
これに各値をあてはめると以下になる
\(\displaystyle Sn=\sum _{ k=1 }^{ 8 }{ 3\cdot { 5 }^{ k-...
使用例2:
等比級数とシグマを考える時、初項や等比、次数との関係をよ...
\(Sn=-2\pi +4{ \pi }^{ 2 }-8{ \pi }^{ 3 }={ \left( -2\p...
\({ a }=1,r=\left( -2\pi \right) ,n=3\)
この等比級数の項の数は3個で初項は\(1\)乗から始まっている...
よってシグマの式は
\(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }r^{ k } } =\fra...
これに各値をあてはめると以下になる
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi } \r...
<補足>
例えば \({ -5 }^{ 0 }=-1\) となるが \( { \left( -5 \right...
***等比数列の総和の公式の導出
非常に重要な考え方の一つ
公式の導出。最初に幾何級数を書く
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }{ r }^{ k-1 } }...
このシグマの式に対して「\(1-r\)」を掛ける事で、シンプルに...
\(\displaystyle \begin{eqnarray} (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }...
従ってr≠1の場合、幾何級数は以下の公式が利用できる
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }{ r }^{ k-1 } }...
***無限級数(infinite geometric series)
\(n\)に対して極限を利用すると収束や拡散、振動などが発生す...
<以下工事中TODO>
***忘備録メモ
シグマの計算
\(\displaystyle E\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ ...
順番
①数列や樹形図より期待値の式を作る
②期待値のシグマを解く
-等比をずらして引き算するとシグマのkが消せる
-kを消した数列から、もう一度シグマを組み、それをうまく変...
-等比数列公式内の等比rが0以上1以下の時、無限級数の収束。...
他例:
\(E=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ k{ \left( \frac { 1 }{ 2 }...
**等比数列の総和
資料:虚数の情緒 P448~P449 ここでは別の解釈で同じ計算を...
まず、P448の等比数列の総和\({K}_{n}\)を求めることを考える
\({ K }_{ n }=\left( 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4...
この数列を等比数列の式で表すと
\({ a }_{ n } = 1\cdot { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right)...
これをシグマの式で表すと
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( \frac { 1 }...
となる
等比数列の総和の公式は以下になる
\(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ ...
いきなり公式を使って計算しても良いがここでは、その構造と...
<TODO>
無限級数(等比数列の無限項の総和、つまり\(n\rightarrow \i...
\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n...
(補足:\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\ri...
**有理数を利用した関数の帰納的性質
資料:「虚数の情緒P448~P449」
つまり、こういう事だと思う
\(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
\(\quad \cdots \)
\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
これは実数が\(1\)とその他の小数の数字に分離できるという事...
\(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac...
例えば、こんな感じになる
\(\displaystyle 3\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \fra...
この帰納的性質は指数や対数の計算において面白い効果が期待...
資料: [[初心者用 テイラー展開解説:http://www.ice.tohte...
**等比数列の検証
微積分で良く使う有用な計算技法をいくつかピックアップ
<等比数列でよくみられる計算原理>
\(\displaystyle \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3 } \times...
\(\displaystyle \rightarrow \quad \frac { 3\times 1 }{ 3\...
\(\displaystyle \rightarrow \quad 1\times \frac { 1 }{ 4 ...
\(\displaystyle \rightarrow \quad \frac { 1 }{ 4 } \left(...
この最後の式の"形"はよくみかける
==TODO==
等差数列、等比数列等の数列計算と漸化式、総和(シグマ)等...
ここでは積分などでよく利用する機会が多い等差数列、等比数...
**等差数列
#jsmath
ゲーム用途では一定間隔にグリッド状にオブジェクトを配置す...
以下のコードはunityで等差数列の式でパーティクルを配置して...
関数式であえてやるなら、こういうやり方になるかな、という...
#code(csharp){{
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class numberA : MonoBehaviour
{
float a1 = 2f;
float d = 1.5f;
int nn = 7;
float particleSize = 0.3f;
ParticleSystem pe;
ParticleSystem.Particle[] point;
void Start ()
{
pe = gameObject.AddComponent<ParticleSystem> ();
pe.startSpeed = 0;
pe.startLifetime = float.MaxValue; //寿命が有限なので...
CreatePoint ();
}
void CreatePoint ()
{
pe.Emit (nn);
point = new ParticleSystem.Particle[nn];
pe.GetParticles (point);
for (int n = 0; n < nn; n++) {
//パーティクルの配列は0を含むので等差数列の計算時は...
point [n].position = new Vector3 (ArithmeticProgres...
point [n].color = Color.white;
point [n].size = particleSize;
}
pe.SetParticles (point, nn);
}
float ArithmeticProgression (float a1, int n, float d)
{
float an = a1 + (n - 1) * d;
return an;
}
}
}}
***等比数列の和
<メモ>
#jsmath
総和の平方根の階差数列はnを大きくしていくと0.7071...に収...
\(\displaystyle\sqrt { \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } } -\sq...
#navi
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